シリアルモジュール

抽象代数において、ユニシリアル加群 M は、部分加群が包含によって完全に順序付けられている環R上の加群である。これは、 Mの任意の2 つの部分加群N ₁およびN ₂に対して、またはが成り立つことを単に意味する。加群は、ユニシリアル加群の直和である場合にシリアル加群と呼ばれる。環Rは、それ自身の上の右加群としてユニシリアルである場合に右ユニシリアル環と呼ばれ、同様に、それ自身の上の右シリアル加群である場合に右シリアル環と呼ばれる。左ユニシリアル環と左シリアル環は同様の方法で定義され、一般に右側の対応する環とは区別される。 ${\displaystyle N_{1}\subseteq N_{2}}$${\displaystyle N_{2}\subseteq N_{1}}$

簡単な例として、任意の整数の商環 が挙げられます。この環は常に直列であり、nが素数累乗のときは単直列です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n>1}$

ユニシリアルという用語は、上記の定義とは異なる意味で使用されています。詳細については以下を参照してください。

連続環理論への重要な貢献者の部分的なアルファベット順リストには、数学者の浅野敬三、IS コーエン、PM コーン、ユウが含まれます。ドロズド、D. アイゼンバッド、A. ファッキーニ、AW ゴールディ、フィリップ グリフィス、I. カプランスキー、VV キリチェンコ、G. ケーテ、H. クッピッシュ、I. 村瀬、T. 中山、P. プジーホーダ、G. プニンスキー、R.戦場。^[1]

一般的な環理論の慣例に従い、左/右に依存する条件が辺の指定なしで与えられた場合 (たとえば、ユニシリアル、シリアル、アルティン、ネーター)、条件は左と右の両方で成立すると想定されます。特に指定がない限り、この記事の各環は単位 を持つ環であり、各モジュールは単位です。

ユニシリアルR加群Mでは、Mと 0 を除くすべての部分加群が同時に必須かつ余分であることは明らかです。Mに最大部分加群がある場合、Mは局所加群です。 Mは明らかに一様加群でもあり、したがって直接分解できません。 Mの有限生成部分加群はすべて単一の要素によって生成できることも簡単にわかります。したがって、 Mはベズー加群です。

自己準同型環End _R  Mは半局所環であり、 End _R M が最大で 2 つの極大右イデアルを持つという意味で局所環に非常に近いことが知られています。Mがアルティン環またはネーター環であると仮定すると、 End _R Mは局所環になります。   

単位元を持つ環は常に最大右イデアルを持つため、右ユニシリアル環は必然的に局所的である。前述のように、有限生成右イデアルは単一の元によって生成できるため、右ユニシリアル環は右ベズー環である。右シリアル環R は必然的に、各e _iが冪等元であり、e _i R が局所ユニシリアル加群である形式に因数分解される。これは、 Rが半完全環でもあることを示し、これは半局所環であることよりも強い条件である。 ${\displaystyle R=\oplus _{i=1}^{n}e_{i}R}$

ケーテは、アルティン主イデアル環（直列環の特殊なケース）の加群は巡回部分加群の直和であることを示した。後にコーエンとカプランスキーは、可換環 Rがその加群に対してこの性質を持つのは、 Rがアルティン主イデアル環である場合のみで あると決定した。中山は、アルティン直列環がその加群に対してこの性質を持つこと、そしてその逆は真ではないことを示した。

直列環の加群に関するおそらく最も一般的な結果は、Drozd と Warfield によるものです。直列環上のすべての有限生成加群は巡回ユニ直列部分加群の直和である (したがって直列である) と述べています。さらに環がノイザンであると仮定すると、有限生成加群と有限生成加群は一致するため、すべての有限生成加群は直列になります。

右直列であることは、環と加群の直積の下で保存され、環の商の下でも保存されます。ユニ直列であることは、環と加群の商に対しては保存されますが、積に対しては決して保存されません。Puninski によって証明されたように、直列加群の直和は必ずしも直列ではありませんが、ユニ直列加群の有限直和の直和は直列加群です。^[2]

ヤコブソンの予想はネーター級数環においても成り立つことが検証されている。 ^[3]

任意の単純なモジュールは自明にユニシリアルであり、同様に半単純なモジュールはシリアル モジュールです。

直列環の多くの例は、上記の構造のセクションから収集できます。すべての付値環は単直列環であり、すべてのアルティン主イデアル環は、半単純環によって示されるように直列環です。

より珍しい例としては、分割環T _n D上の上三角行列、素数特性pのある有限体に対する群環、巡回正規p-シロー部分群を持つ群Gなどがあります。   ${\displaystyle \mathbb {F} [G]}$

このセクションでは、主にノイザン直列環とそのサブクラスであるアルティン直列環を扱います。一般に、環はまず分解不可能な環に分解されます。これらの環の構造がわかれば、分解可能な環は分解不可能な環の直積になります。また、直列環などの半完全環の場合、基本環は元の環の森田同値です。したがって、 R が基本環Bを持つ直列環であり、Bの構造がわかっている場合、森田同値の理論により、Pが有限生成子Bであることがわかります。これが、結果が分解不可能な基本環として表現される理由です。 ${\displaystyle R\cong \mathrm {終了} _{B}(P)}$

1975 年、キリチェンコとウォーフィールドは、ネーター非アルティン直列環の構造の解析を独立して同時に発表しました。結果は同じでしたが、使用した方法は互いに大きく異なっていました。遺伝的、ネーター、素数環、および直列環上で定義された箙の研究は重要なツールでした。中核となる結果は、右ネーター、非アルティン、基本、分解不可能な直列環は、ネーター、ユニシリアル領域V上の行列環の一種として記述でき、そのヤコブソン根号J( V ) はゼロではないというものです。この行列環は、あるnに対してM _n ( V ) の部分環であり、対角線上および対角線上にVからの要素と J( V ) からの要素を持つ行列で構成されます。

アルティン直列環構造は、箙構造に応じて場合分けされます。基本的で分解不可能なアルティン直列環の箙構造は常に円または線であることがわかります。線箙の場合、環は分割環上の上三角行列に同型です(前の段落のネーター直列環の構造との類似性に注意)。円箙の場合の構造の完全な説明はこの記事の範囲を超えていますが、(Puninski 2002) で見つけることができます。そこに表示されている結果を言い換えると、箙が円である基本的アルティン直列環は、基本的で分解不可能な直列準フロベニウス環の「拡大」の準同型像です。

2 つのモジュールUとV は、単射と単射が存在する場合、で表される同じ単生類を持つと言われます。双対概念を定義することもできます。つまり、エピモーフィズムとエピモーフィズムが存在する場合、モジュールは同じエピモーフィズム クラスを持つと言われます。 ${\displaystyle [U]_{m}=[V]_{m}}$ ${\displaystyle U\rightarrow V}$${\displaystyle V\rightarrow U}$${\displaystyle [U]_{e}=[V]_{e}}$ ${\displaystyle U\rightarrow V}$${\displaystyle V\rightarrow U}$

クルル・シュミット定理の次の弱形式が成り立ちます。U ₁ , ..., U _n , V ₁ , ..., V _{t を}環R上のn + t 個の非ゼロ単直列右加群とします。このとき、直和および が同型R加群となるのは、 n = tであり、かつ任意のi = 1, 2, ..., nに対して およびとなるような1, 2, ..., nの 2 つの順列および が存在する場合のみです。 ${\displaystyle U_{1}\oplus \dots \oplus U_{n}}$${\displaystyle V_{1}\oplus \dots \oplus V_{t}}$ ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle [U_{i}]_{m}=[V_{\sigma (i)}]_{m}}$${\displaystyle [U_{i}]_{e}=[V_{\tau (i)}]_{e}}$

この結果は、Facchini によるものですが、2006 年に Příhoda によって、ユニシリアル モジュールの無限直和に拡張されました。この拡張には、いわゆる準小ユニシリアル モジュールが含まれます。これらのモジュールは、Nguyen Viet Dung と Facchini によって定義され、その存在は Puninski によって証明されました。Krull-Schmidt 定理の弱形式は、ユニシリアル モジュールだけでなく、他のいくつかのモジュール クラス (双一様モジュール、シリアル リング上の巡回提示モジュール、分解不可能な単射モジュール間の射の核、共一様提示モジュール) にも当てはまります。

右ユニシリアル環は右チェーン環^[4]または右付値環とも呼ばれる。この後者の用語は付値環を指し、これは定義上は可換なユニシリアル領域である。同様に、ユニシリアル加群はチェーン加群、シリアル加群はセミチェーン加群と呼ばれてきた。カテナリー環の概念は「チェーン」という名が付けられているが、一般にチェーン環とは関係がない。

1930年代、ゴットフリート・ケーテと浅野敬三は、すべての加群が巡回部分加群の直和である環の研究中に、Einreihig （文字通り「一級数」）という用語を導入した。 ^[5]このため、1970年代になっても、ユニシリアルは「アルティン主イデアル環」の意味で使用されていた。ケーテの論文では、ユニシリアル環が一意の合成級数を持つことも要求されており、これは右イデアルと左イデアルが線形順序であることを強制するだけでなく、左イデアルと右イデアルの連鎖には有限個のイデアルしか存在しないことを要求する。この歴史的前例のため、一部の著者は、アルティン条件または有限合成長条件をユニシリアル加群および環の定義に含めている。

ケーテの研究を発展させて、中山正はアルティン直列環を指すために一般化ユニシリアル環^[6]という用語を使用した。中山はそのような環上のすべての加群が直列であることを示した。アルティン直列環は中山代数と呼ばれることもあり、よく発達した加群理論を持っている。

ウォーフィールドは、任意の 2 つの有限生成サブモジュールAとBに対して、J (-) がモジュールのヤコブソン根号を表すという追加の特性を持つ直列モジュールに対して、同次直列モジュールという用語を使用しました。 ^[7]有限合成長を持つモジュールでは、これは合成因子が同型になるように強制する効果があり、そのため「同次」という形容詞が使われます。直列環Rが同次直列右イデアルの有限直和となるのは、Rが局所直列環上の完全なn  ×  n行列環に同型である場合のみです。このような環は、一次分解直列環としても知られています。^{[8] [9]}${\displaystyle A/J(A)\cong B/J(B)}$

• フランク・W・アンダーソン、ケント・R・フラー（1992）、環とモジュールのカテゴリ、シュプリンガー、pp. 347-349、ISBN 0-387-97845-3
• Chatters, AW; Hajarnavis, CR (1980)、「連鎖条件付き環」、数学研究ノート、第44巻、Pitman、ISBN 978-0-273-08446-4
• ファッキーニ、アルベルト（1998）、自己準同型環といくつかのクラスの加群における直和分解、ビルクハウザー出版社、ISBN 3-7643-5908-0
• フェイス、カール (1976)、代数。 II.リング理論。、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、No. 191。Springer-Verlag
• フェイス、カール（1999）「リングと物と20世紀の連想代数の素晴らしい配列」、数学調査とモノグラフ、65。アメリカ数学会、ISBN 0-8218-0993-8
• Hazewinkel, マイケル;グバレニ、ナディヤ。キリチェンコ、VV (2004)、代数、リング、モジュール。 Vol. 1.、Kluwer Academic Publishers、ISBN 1-4020-2690-0
• Puninski, Gennadi (2001a)、Serial rings、Kluwer Academic Publishers、ISBN 0-7923-7187-9

• アイゼンバッド、デイビッド、グリフィス、フィリップ (1971)、「シリアルリングの構造」、パシフィック J. 数学、36 : 109–121、doi : 10.2140/pjm.1971.36.109
• Facchini, Alberto (1996)、「Krull-Schmidt 法はシリアルモジュールでは失敗する」、Trans. Amer. Math. Soc.、348 (11): 4561–4575、doi : 10.1090/s0002-9947-96-01740-0
• Köthe、Gottfried (1935)、「Verallgemeinerte Abelsche Gruppen mit hyperkomplexem Operatorenring. (ドイツ語)」、Math。 Z.、39 : 31–44、土井:10.1007/bf01201343
• 中山正 (1941)、「フロベニウセアン代数について。II.」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、42 (1): 1–21、doi :10.2307/1968984、hdl : 10338.dmlcz/140501、JSTOR  1968984
• Příhoda, Pavel (2004)、「弱い Krull-Schmidt 定理と有限 Goldie 次元のシリアル モジュールの直和分解」、J. Algebra、281 : 332–341、doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.06.027
• Příhoda, Pavel (2006)、「ユニシリアルモジュールの無限直和に対する弱いクルル・シュミット定理のバージョン」、Comm. Algebra、34 (4): 1479–1487、doi :10.1080/00927870500455049
• Puninski, GT (2002)、「アルティニアンおよびノイザンシリアルリング」、J. Math. Sci. (ニューヨーク)、110 : 2330–2347、doi : 10.1023/A:1014906008243
• Puninski, Gennadi (2001b)、「ほぼ単純なユニシリアル領域上のモデル理論とシリアルモジュールの分解」、J. Pure Appl. Algebra、163 (3): 319–337、doi : 10.1016/s0022-4049(00)00140-7
• Puninski, Gennadi (2001c)、「例外的なユニシリアルリング上のモデル理論とシリアルモジュールの分解」、ロンドン数学会誌、64 (2): 311–326、doi :10.1112/s0024610701002344
• ウォーフィールド、ロバート B. ジュニア (1975)、「シリアルリングと有限に提示されたモジュール」、J. Algebra、37 (2): 187–222、doi : 10.1016/0021-8693(75)90074-5