普遍的な財産

数学、より具体的には圏論において、普遍的性質とは、ある構成の結果を同型性まで特徴付ける性質のことである。したがって、普遍的性質は、あるオブジェクトをそれらの構成に選択した方法とは独立して定義するために使用できる。たとえば、自然数から整数、整数から有理数、有理数から実数、多項式環をその係数の体から定義することは、すべて普遍的性質に基づいて行うことができる。特に、普遍的性質の概念により、実数のすべての構成が同等であるという簡単な証明が可能になる。つまり、それらが同じ普遍的性質を満たすことを証明すれば十分である。

技術的には、普遍的性質は、普遍射によってカテゴリと関数の観点から定義されます (以下の § 形式的定義を参照)。普遍射は、より抽象的に、コンマカテゴリの始端オブジェクトまたは終端オブジェクトとして考えることもできます(以下の § コンマカテゴリとの関連を参照)。

普遍的性質は数学のほぼあらゆるところで現れ、この概念を使うと、普遍的性質の一般的な性質を使って、そうでなければ退屈な検証が必要となるような性質を簡単に証明することができます。例えば、可換環 Rが与えられたとき、素イデアルpによるRの商環の分数の体は、 pにおけるRの局所化の留数体と同一視することができます。つまり、（これらすべての構成は普遍的性質によって定義できます）。 ${\displaystyle R_{p}/pR_{p}\cong \operatorname {Frac} (R/p)}$

普遍的性質によって定義できる他のオブジェクトには、すべての自由オブジェクト、直積と直和、自由群、自由格子、グロタンディーク群、距離空間の完備化、環の完備化、デデキント-マクニール完備化、積位相、ストーン-チェフのコンパクト化、テンソル積、逆極限と直極限、核と余核、商群、商ベクトル空間、その他の商空間などがあります。

普遍的性質の正式な定義を与える前に、そのような構成を研究する動機をいくつか示します。

• 与えられた構成の具体的な詳細は複雑かもしれませんが、その構成が普遍的性質を満たしていれば、それらの詳細はすべて忘れることができます。その構成について知っておくべきことはすべて、すでに普遍的性質に含まれています。具体的な詳細ではなく普遍的性質を使用すると、証明は短く簡潔になることがよくあります。たとえば、ベクトル空間のテンソル代数は構築が少し複雑ですが、その普遍的性質によって扱いやすくなります。
• 普遍的性質は、一意の同型性までオブジェクトを一意に定義します。^[1]したがって、2つのオブジェクトが同型であることを証明する1つの戦略は、それらが同じ普遍的性質を満たすことを示すことです。
• 普遍的構成は本質的に関数的である。カテゴリC内のすべてのオブジェクトに対して構成を実行できる場合、 C上の関数が得られる。さらに、この関数は普遍性の定義で使用される関数Uの右または左の随伴関数である。 ^[2]
• 普遍的な性質は数学のあらゆるところに存在します。それらの抽象的な性質を理解することで、これらすべての構成に関する情報が得られ、個々のインスタンスごとに同じ分析を繰り返すことを避けることができます。

普遍的構成の定義を理解するには、例を見ることが重要です。普遍的構成は、何もないところから定義されたわけではなく、数学者が多くの数学的構成のパターンに気づき始めた後に定義されたものです (以下の例を参照)。したがって、最初は定義が意味をなさないかもしれませんが、具体的な例と照らし合わせると明確になります。

をカテゴリと の間の関手とします。以下では、を の対象、をの対象、を の射とします。 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle h:A\to A'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

そして、関数子は、およびを、およびにマッピングします。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle F(A)}$${\displaystyle F(A')}$${\displaystyle F(h)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

からへの普遍射は${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$、一般に普遍特性と呼ばれる以下の特性を持つにおける唯一の対です。 ${\displaystyle (A,u:X\to F(A))}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

における形式の任意の射に対して 、次の図式がと可換となるようなにおける唯一の射が存在する。 ${\displaystyle f:X\to F(A')}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle h:A\to A'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

このカテゴリ概念を双対化する ことができます。からへの普遍射は、${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$次の普遍特性を満たす 唯一のペアです。${\displaystyle (A,u:F(A)\to X)}$

における形式の任意の射に対して、次の図式が可換となるような 唯一の射がに存在します。${\displaystyle f:F(A')\to X}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle h:A'\to A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

それぞれの定義において、矢印が逆になっていることに注意してください。どちらの定義も、数学に現れる普遍的な構成を記述するために必要ですが、カテゴリ理論に存在する固有の双対性によっても生じます。どちらの場合でも、上記のように動作するペアは普遍的な特性を満たしていると言えます。 ${\displaystyle (A,u)}$

普遍射は、コンマ カテゴリ(つまり、射がそれ自体でオブジェクトとして見られるカテゴリ) 内の始端オブジェクトと終端オブジェクトとして、より簡潔に記述できます。

を関数とし、を のオブジェクトとする。コンマ圏とは、 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle (X\downarrow F)}$

• オブジェクトは の形のペアであり、 はのオブジェクトである。${\displaystyle (B,f:X\to F(B))}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• からへの射はの射によって与えられ、図式は可換となる。${\displaystyle (B,f:X\to F(B))}$${\displaystyle (B',f':X\to F(B'))}$${\displaystyle h:B\to B'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

ここで、内のオブジェクトが初期値であると仮定します。すると、すべてのオブジェクトに対して、次の図が可換となる 一意の射が存在します。${\displaystyle (A,u:X\to F(A))}$${\displaystyle (X\downarrow F)}$${\displaystyle (A',f:X\to F(A'))}$${\displaystyle h:A\to A'}$

ここでの等式は、単に図が同じであることを意味することに注意してください。また、等式の右側の図は、から への普遍射を定義するときに提示された図とまったく同じであることにも注意してください。したがって、から への普遍射は${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$、コンマカテゴリ の初期オブジェクトと同等であることがわかります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (X\downarrow F)}$

逆に、コンマカテゴリは、 ${\displaystyle (F\downarrow X)}$

• オブジェクトは、オブジェクトの形のペアです。${\displaystyle (B,f:F(B)\to X)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• からへの射はの射によって与えられ、図式は可換となる。${\displaystyle (B,f:F(B)\to X)}$${\displaystyle (B',f':F(B')\to X)}$${\displaystyle h:B\to B'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

が 内の終端オブジェクトであるとします。このとき、すべてのオブジェクト に対して、次の図が可換となるような 一意の射が存在します。${\displaystyle (A,u:F(A)\to X)}$${\displaystyle (F\downarrow X)}$${\displaystyle (A',f:F(A')\to X)}$${\displaystyle h:A'\to A}$

等式の右側の図は、からへの普遍射${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$を定義するときに描かれた図と同じです。したがって、から への普遍射は、コンマカテゴリ の終端オブジェクトに対応します 。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (F\downarrow X)}$

以下に、一般的な考え方を強調するためのいくつかの例を示します。読者は、序文で言及されている記事を参考にして、他の多数の例を構築できます。

を体上のベクトル空間-Vectのカテゴリとし、を体上の代数-Algのカテゴリとする（単位的かつ結合的であると仮定）。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle U}$ : -代数→ -ベクトル${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

各代数にその基礎となるベクトル空間を割り当てる 忘却関手とする。

上の任意のベクトル空間 が与えられれば、テンソル代数を構築することができます。テンソル代数は、次の事実によって特徴付けられます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T(V)}$

「 から への任意の線型写像は、からへの代数準同型写像に一意に拡張できます。」${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T(V)}$${\displaystyle A}$

このステートメントは、包含写像であるペア がベクトル空間 から関数 への普遍射であるという事実を表現しているため、テンソル代数の初期特性です。 ${\displaystyle (T(V),i)}$${\displaystyle i:V\to U(T(V))}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$

この構成は任意のベクトル空間 に対して機能するため、は-Vectから-Algへの関数である と結論付けられます。これは、 が忘却関数の左随伴関数であることを意味します(随伴関数との関係については、以下のセクションを参照してください)。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$

カテゴリカル積は、普遍的な構成によって特徴付けることができます。具体的には、Setの直積、Grpの直積、または積が存在するTopの積位相を考慮することができます。

とを有限積を持つカテゴリの対象とする。との積は、 2つの射を伴う 対象×である。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \pi_{1}}$ :${\displaystyle X\times Y\to X}$

${\displaystyle \pi_{2}}$ :${\displaystyle X\times Y\to Y}$

および の任意の他の対象に対して、およびとなる一意の射が存在する。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle f:Z\to X}$${\displaystyle g:Z\to Y}$${\displaystyle h:Z\to X\times Y}$${\displaystyle f=\pi _{1}\circ h}$${\displaystyle g=\pi _{2}\circ h}$

この特徴を普遍的な性質として理解するには、カテゴリを積カテゴリとし、対角関数を定義する。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

および により、となります。すると はからのオブジェクトへの普遍射となります。 が から への任意の射である場合、それはから への射に続いて が成立することになります。 可換図として: ${\displaystyle \Delta (X)=(X,X)}$${\displaystyle \Delta (f:X\to Y)=(f,f)}$${\displaystyle (X\times Y,(\pi _{1},\pi _{2}))}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$${\displaystyle (f,g)}$${\displaystyle (Z,Z)}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle \Delta (h:Z\to X\times Y)=(h,h)}$${\displaystyle \Delta (Z)=(Z,Z)}$${\displaystyle \Delta (X\times Y)=(X\times Y,X\times Y)}$${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$

集合における直積の例では、射影はと の2 つの射影から構成されます。任意の集合と関数が与えられた場合、必要な図が可換となる唯一の写像は によって与えられます。^[3]${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$${\displaystyle \pi _{1}(x,y)=x}$${\displaystyle \pi _{2}(x,y)=y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle h=\langle x,y\rangle (z)=(f(z),g(z))}$

圏積は圏論における 特別な種類の極限です。上記の例を任意の極限と余極限に一般化することができます。

とを小さなインデックスカテゴリを持つカテゴリとし、を対応する関数カテゴリとします。対角関数${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$

は、 内の各オブジェクトを定数関数（つまり、内の各 に対して、内の各 に対して）にマッピングする関数であり、 内の各射を内の自然変換にマッピングする関数で、のすべてのオブジェクトに対して、 における成分がとして定義されます。言い換えると、自然変換は、のすべてのオブジェクトに対して定数成分を持つことで定義される変換です。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \Delta (N):{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \Delta (N)(X)=N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle \Delta (N)(f)=1_{N}}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle f:N\to M}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \Delta (f):\Delta (N)\to \Delta (M)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$$${\displaystyle \Delta (f)(X):\Delta (N)(X)\to \Delta (M)(X)=f:N\to M}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:N\to M}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$

関数( 内のオブジェクトと考えられる) が与えられた場合、の極限は、存在する場合、 からへの普遍射に他なりません。双対的に、の余極限はから への普遍射です。 ${\displaystyle F:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Delta }$

量を定義しても、その量の存在は保証されません。 関数とのオブジェクトが与えられた場合、からへの普遍射が存在する場合と存在しない場合があります。ただし、普遍射が存在する場合は、本質的に一意です。 具体的には、一意の同型を除いて一意です。 が別のペアである場合、となる一意の同型が存在します 。 これは、普遍射の定義に を代入することで簡単にわかります。${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (A,u)}$ ${\displaystyle (A',u')}$${\displaystyle k:A\to A'}$${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$${\displaystyle (A,u')}$

このように本質的に一意なのはペアです。オブジェクト自体は同型性までしか一意ではありません。実際、が普遍射で、が任意の同型である場合、ペア （ただし は普遍射）も普遍射です。 ${\displaystyle (A,u)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A,u)}$${\displaystyle k:A\to A'}$${\displaystyle (A',u')}$${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$

普遍射の定義は、さまざまな方法で言い換えることができます。を関数とし、を のオブジェクトとします。このとき、次のステートメントは同値です。 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• ${\displaystyle (A,u)}$はからへの普遍射である${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle (A,u)}$コンマカテゴリの最初のオブジェクトである ${\displaystyle (X\downarrow F)}$
• ${\displaystyle (A,F(\bullet )\circ u)}$は の表現であり、その成分は次のように定義される。${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(-))}$${\displaystyle (F(\bullet )\circ u)_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(B))}$

$${\displaystyle (F(\bullet )\circ u)_{B}(f:A\to B):X\to F(B)=F(f)\circ u:X\to F(B)}$$

各オブジェクトについて${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

二重のステートメントも同等です。

• ${\displaystyle (A,u)}$はからへの普遍射である${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle (A,u)}$コンマカテゴリの終端オブジェクトです${\displaystyle (F\downarrow X)}$
• ${\displaystyle (A,u\circ F(\bullet ))}$は の表現であり、その成分は次のように定義される。${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(-),X)}$${\displaystyle (u\circ F(\bullet ))_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(B,A)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(B),X)}$

$${\displaystyle (u\circ F(\bullet ))_{B}(f:B\to A):F(B)\to X=u\circ F(f):F(B)\to X}$$

各オブジェクトについて${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

が からへの普遍射であり、がから への普遍射であるとします。普遍射の普遍的性質により、任意の射が与えられた場合、次の図が可換となる唯一の射が存在します。 ${\displaystyle (A_{1},u_{1})}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (A_{2},u_{2})}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle h:X_{1}\to X_{2}}$${\displaystyle g:A_{1}\to A_{2}}$

のすべての対象がへの普遍射を許容する場合、 および の割り当ては関数 を定義します。すると、写像は( 上の恒等関数)から への自然な変換を定義します。すると、関数はへの左随伴とへの右随伴を持つ随伴関数のペアになります。 ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X_{i}\mapsto A_{i}}$${\displaystyle h\mapsto g}$${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle 1_{\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle F\circ G}$${\displaystyle (F,G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

同様の記述は、 からの終端射の双対状況にも当てはまります。 の任意の に対してそのような射が存在する場合、 はに右随伴する関数子を取得します( はに左随伴でもあるため)。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

実際、すべての随伴関数のペアは、このように普遍的な構成から生じます。 とを、単位元と余単位元を持つ随伴関数のペアとします(定義については随伴関数 の記事を参照してください)。すると、との各オブジェクトに対して普遍的な射が成り立ちます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• の各オブジェクトに対して、はから への普遍射です。つまり、 すべてに対して、次の図が可換となる唯一の が存在します。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle (F(X),\eta _{X})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f:X\to G(Y)}$${\displaystyle g:F(X)\to Y}$
• の各オブジェクトに対して、はから への普遍射です。つまり、 すべてに対して、次の図が可換となる唯一の が存在します。${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle (G(Y),\epsilon _{Y})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle g:F(X)\to Y}$${\displaystyle f:X\to G(Y)}$

普遍的な構成は随伴関数ペアよりも一般的です。普遍的な構成は最適化問題に似ています。この問題が のすべてのオブジェクト(と同等に、 のすべてのオブジェクト)に対して解を持つ場合にのみ、随伴ペアが生成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

さまざまな位相構成の普遍的性質は、1948 年にピエール サミュエルによって発表されました。これは後にブルバキによって広範に使用されました。密接に関連する随伴関手の概念は、1958 年にダニエル カンによって独立に導入されました。

• フリーオブジェクト
• 自然な変化
• 随伴関数
• モナド（圏論）
• 代数の多様性
• デカルトの閉カテゴリ

• Paul Cohn、『Universal Algebra』 （1981年）、 D.Reidel Publishing、オランダ。ISBN 90-277-1213-1。 
• Mac Lane, Saunders (1998)。Category for the Working Mathematician . Graduate Texts in Mathematics 5 (第 2 版)。Springer。ISBN 0-387-98403-8。
• ボルセ、F.カテゴリー代数ハンドブック: 第 1 巻 基礎カテゴリー理論(1994) ケンブリッジ大学出版局、(数学とその応用百科事典) ISBN 0-521-44178-1 
• N. ブルバキ、Livre II : Algèbre (1970)、Hermann、ISBN 0-201-00639-1。 
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K..群環入門。代数と応用、第 1 巻。Springer、2002 年。ISBN 978-1-4020-0238-0 
• ジェイコブソン。基礎代数 II。ドーバー。2009年。ISBN 0-486-47187 -X 

• nLab、 nカテゴリカルな観点に重点を置いた数学、物理学、哲学に関するウィキプロジェクト
• André Joyal、CatLab、カテゴリカル数学の解説に特化したウィキプロジェクト
• ヒルマン、クリス (2001)。カテゴリー入門。CiteSeerX 10.1.1.24.3264 : カテゴリー理論の正式な入門。
• J. アダメック、H. ヘルリッヒ、G. ステッカー、「抽象と具象のカテゴリー - 猫の喜び」
• スタンフォード哲学百科事典：「カテゴリー理論」—ジャン＝ピエール・マルキス著。豊富な参考文献。
• 圏論に関する学術会議一覧
• Baez, John、1996、「n カテゴリーの物語」。高階カテゴリーの非公式な入門書。
• WildCats は、 Mathematica用のカテゴリ理論パッケージです。オブジェクト、射、カテゴリ、関数、自然変換、普遍的特性の操作と視覚化を行います。
• The catsters は、カテゴリー理論に関する YouTube チャンネルです。
• 物理学のカテゴリー、論理、基礎に関連する講演の録画ビデオ アーカイブ。
• 有限集合のカテゴリにおけるカテゴリ構成の例を生成するインタラクティブな Web ページ。