ユニタリ群

数学において、n次ユニタリ群（U( n )と表記）は、n  ×  nユニタリ行列の群であり、群演算は行列乗算である。ユニタリ群は一般線型群GL( n , C )の部分群であり、その部分群として、行列式が 1であるユニタリ行列からなる特殊ユニタリ群を持つ。

単純なケースn = 1では、群U(1)は円群に対応し、乗法に関して絶対値が1であるすべての複素数の集合と同型である。すべてのユニタリ群には、この群のコピーが含まれる。

ユニタリ群 U( n ) はn ²次元の実 リー群である。U ( n )のリー代数はn  ×  nの歪エルミート行列で構成され、リー括弧は交換子によって与えられる。

一般ユニタリ群は、ユニタリ相似群とも呼ばれ、A ^∗ A が単位行列の非ゼロ倍数となるようなすべての行列 Aで構成され、ユニタリ群と単位行列のすべての正の倍数の群との積になります。

ユニタリ群は複素数以外の体上でも定義できます。超直交群は、特に有限体上のユニタリ群の古い名前です。

ユニタリ行列の行列式はノルム1の複素数なので、行列式は群準同型を与える。

${\displaystyle \det \colon \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1).}$

この準同型の核は、行列式が 1 であるユニタリ行列の集合です。この部分群は特殊ユニタリ群と呼ばれ、SU( n ) と表記されます。すると、リー群の短い完全列が得られます。

${\displaystyle 1\to \operatorname {SU} (n)\to \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1)\to 1.}$

上記の U( n ) から U(1) への写像にはセクションがあります。U(1) は、左上隅にe ^iθがあり、対角線の残りの部分に 1 がある U( n ) の対角部分群として見ることができます。したがって、U( n ) は U(1) と SU( n )の半直積です。

ユニタリ群 U( n ) は、 n > 1に対してアーベル群ではありません。 U( n )の中心は、 λ ∈ U(1)であるスカラー行列λIの集合です。これは、シューアの補題からわかります。すると、中心は U(1) と同型になります。 U( n )の中心はU( n )の1 次元アーベル正規部分群なので、ユニタリ群は半単純ではありませんが、簡約的です。

ユニタリ群U( n )は、n × n複素行列全体の成す集合M( n , C )の部分集合として相対位相を持ち、それ自体は2n2^次元ユークリッド空間に同相である。

位相空間として、U( n )はコンパクトかつ連結である。U( n )が連結であることを示すには、任意のユニタリ行列Aは別のユニタリ行列Sで対角化できることを思い出してください。任意の対角ユニタリ行列は、主対角線上に絶対値1の複素数を持たなければなりません。したがって、次のように書くことができます。

${\displaystyle A=S\,\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.}$

U( n )における恒等関数からAへの経路は次のように与えられる。

${\displaystyle t\mapsto S\,\operatorname {diag} \left(e^{it\theta _{1}},\dots ,e^{it\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.}$

ユニタリ群は単連結ではない。U( n )の基本群はすべてのnに対して無限巡回群である: ^[1]

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {U} (n))\cong \mathbf {Z} .}$

これを理解するには、U( n )をSU( n )とU(1)の半直積として分割すると、U( n )上に位相積構造が誘導され、

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {U} (n))\cong \pi _{1}(\operatorname {SU} (n))\times \pi _{1}(\operatorname {U} (1)).}$

さて、第一ユニタリ群U(1)は位相的には円であり、 Zと同型の基本群を持つことはよく知られているが、SU( n )は単連結である。^[2]

行列式写像det: U( n )→U(1)は基本群の同型写像を誘導し、分割U(1)→U( n )は逆写像を誘導する。

U( n )のワイル群は対称群Snであり、要素を並べ_替えることで対角トーラスに作用します。

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\mapsto \operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{\sigma (1)}},\dots ,e^{i\theta _{\sigma (n)}}\right)}$

ユニタリ群は、直交群、複素群、シンプレクティック群の 3 重交差です。

${\displaystyle \operatorname {U} (n)=\operatorname {O} (2n)\cap \operatorname {GL} (n,\mathbf {C} )\cap \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} ).}$

したがって、ユニタリ構造は、直交構造、複素構造、シンプレクティック構造として見ることができ、これらは互換性があることが求められます(つまり、複素構造とシンプレクティック形式で同じJ を使用し、このJが直交している必要があります。すべてのグループを行列グループとして記述すると、 J (直交している) が固定され、互換性が確保されます)。

実際、それはこれら3つのうちの2つの交差であり、したがって互換性のある直交複素構造はシンプレクティック構造を誘導し、以下同様である。^{[3] [4]}

方程式レベルでは、これは次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{array}{r|r}{\text{Symplectic}}&A^{\mathsf {T}}JA=J\\\hline {\text{Complex}}&A^{-1}JA=J\\\hline {\text{Orthogonal}}&A^{\mathsf {T}}=A^{-1}\end{array}}}$

これらの方程式の 2 つは、3 つ目の方程式を意味します。

形式のレベルでは、エルミート形式を実部と虚部に分解することでこれを見ることができます。実部は対称（直交）で、虚部は歪対称（シンプレクティック）です。これらは複素構造（互換性）によって関連しています。ほぼケーラー多様体では、この分解をh = g + iωと書くことができます。ここで、hはエルミート形式、gはリーマン計量、iはほぼ複素構造、ω はほぼシンプレクティック構造です。

リー群の観点から、これは次のように部分的に説明できます。O(2 n ) はGL(2 n , R )の最大コンパクト部分群であり、U( n ) はGL( n , C )と Sp(2 n ) の両方の最大コンパクト部分群です。したがって、交差O(2 n ) ∩ GL( n , C )またはO(2 n ) ∩ Sp(2 n )は、これら両方の最大コンパクト部分群であるため、U( n ) です。この観点から、予想外なのは、交差GL( n , C ) ∩ Sp(2 n ) = U( n )です。

直交群 O( n ) が特殊直交群SO( n ) を部分群として、射影直交群PO( n ) を商として、射影特殊直交群PSO( n )を部分商として持つのと同様に、ユニタリ群 U( n ) には特殊ユニタリ群SU( n )、射影ユニタリ群PU( n )、射影特殊ユニタリ群PSU( n ) が関連付けられています。これらは右の可換図によって のように関連しており、特に両方の射影群は等しい: PSU( n ) = PU( n )。

上記は古典的なユニタリ群（複素数上）に対するものです。有限体上のユニタリ群に対しても同様に特殊ユニタリ群と射影ユニタリ群が得られますが、一般にPSU( n , q ² ) ≠ PU( n , q ² )です。

G構造の言語では、U( n )構造を持つ多様体はほぼエルミート多様体です。

リー理論の観点から見ると、古典ユニタリ群はスタインバーグ群 ² A _nの実形式であり、スタインバーグ群は、一般線型群の図式自己同型（転置逆に対応するディンキン図式A _{n を}反転したもの）と拡大C / Rの体自己同型（つまり複素共役）の組み合わせから生じる代数群です。これらの自己同型は両方とも代数群の自己同型であり、位数 2 を持ち、可換であり、ユニタリ群は代数群としての積自己同型の不動点です。古典ユニタリ群はこの群の実形式であり、正定値である標準エルミート形式Ψ に対応します。

これはいくつかの方法で一般化できます。

• 他のエルミート形式に一般化すると不定ユニタリ群U( p , q )が得られる。
• 体の拡大は任意の 2 次可分代数、特に有限体の 2 次拡大に置き換えることができます。
• 他の図に一般化すると、リー型の他の群、すなわち他のスタインバーグ群 ² D _n、² E ₆、³ D _{4 、（} ² A _nに加えて）および鈴木–リー群が得られる。

  ${\displaystyle {}^{2}\!B_{2}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!F_{4}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!G_{2}\left(3^{2n+1}\right);}$

• 一般化ユニタリ群を代数群として考えると、その点をさまざまな代数上に取ることができます。

不定直交群と同様に、与えられたエルミート形式（必ずしも正定値ではないが、一般に非退化であるとみなされる）を保存する変換を考慮することによって、不定ユニタリ群を定義できます。ここでは、複素数上のベクトル空間を扱っています。

複素ベクトル空間V上のエルミート形式 Ψ が与えられたとき、ユニタリ群 U(Ψ) は形式を保存する変換の群、すなわち、すべてのv、w ∈ Vに対してΨ( Mv、Mw ) = Ψ( v、w )となる変換Mです。行列の観点では、形式を Φ で示される行列で表すと、 M ^∗ Φ M = Φとなります。

実数上の対称形式と同様に、エルミート形式は符号によって決定され、対角要素がp個、対角要素が −1 である対角形式とすべてユニタリ合同です。非退化仮定は、p + q = nと同等です。標準基底では、これは次のように二次形式として表されます。

${\displaystyle \lVert z\rVert _{\Psi }^{2}=\lVert z_{1}\rVert ^{2}+\dots +\lVert z_{p}\rVert ^{2}-\lVert z_{p+1}\rVert ^{2}-\dots -\lVert z_{n}\rVert ^{2}}$

対称形として次のように表すことができます。

${\displaystyle \Psi (w,z)={\bar {w}}_{1}z_{1}+\cdots +{\bar {w}}_{p}z_{p}-{\bar {w}}_{p+1}z_{p+1}-\cdots -{\bar {w}}_{n}z_{n}.}$

結果として得られるグループはU( p , q )と表記される。

q = p ^r個の元を持つ有限体F _q上には、 2次の自己同型（フロベニウス自己同型のr乗）を持つ唯一の二次拡大体F _{q ²}が存在する。これにより、 F _{q ²}ベクトル空間V上のエルミート形式を、c ∈ F _{q ²}に対してとなるF _q双線型写像として定義することができる。^{[説明が必要]}さらに、有限体上のベクトル空間上のすべての非退化エルミート形式は、単位行列で表される標準的な形式とユニタリ合同である。つまり、任意のエルミート形式は、 ${\displaystyle \alpha \colon x\mapsto x^{q}}$${\displaystyle \Psi \colon V\times V\to K}$${\displaystyle \Psi (w,v)=\alpha \left(\Psi (v,w)\right)}$${\displaystyle \Psi (w,cv)=c\Psi (w,v)}$

${\displaystyle \Psi (w,v)=w^{\alpha }\cdot v=\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{q}v_{i}}$

ここで、n次元空間Vの特定のF _{q ²}基底におけるw、v∈Vの座標を表します（ Grove 2002、Thm. 10.3）。 ${\displaystyle w_{i},v_{i}}$

したがって、拡大F _{q ²} / F _qに対して、 n次元の（一意の）ユニタリ群を定義することができ、著者に応じてU( n , q )またはU( n , q ² )と表記されます。行列式 1 の行列で構成されるユニタリ群の部分群は特殊ユニタリ群と呼ばれ、SU( n , q )またはSU( n , q ² )と表記されます。便宜上、この記事ではU( n , q ² )規則を使用します。 U( n , q ² )の中心は位数q + 1を持ち、ユニタリであるスカラー行列、つまり となる行列 cI V で構成されます。特殊_ユニタリ群の中心は位数gcd( n , q + 1)を持ち、 n を割り切る位数を持つユニタリ スカラーで構成されます。ユニタリ群をその中心で割った商は射影ユニタリ群PU( n , q ² )と呼ばれ、特殊ユニタリ群をその中心で割った商は射影特殊ユニタリ群PSU( n , q ² )と呼ばれます。ほとんどの場合 ( n > 1かつ( n , q ² ) ∉ {(2, 2 ² ), (2, 3 ² ), (3, 2 ² )} )、SU( n , q ² )は完全群であり、PSU ( n , q ² )は有限単純群です(Grove 2002、Thm. 11.22 および 11.26)。 ${\displaystyle c^{q+1}=1}$

より一般的には、体kと次数 2 の可分なk代数K (体拡大の場合もあるが、そうである必要はない) が与えられた場合、この拡大に関してユニタリ群を定義することができます。

まず、 Kの唯一のk自己同型が存在し、これは反転であり、k を正確に固定します( a ∈ kの場合に限ります)。^[5]これにより、複素共役と次数 2 の有限体拡大の共役が一般化され、上記のようにエルミート形式とユニタリ群を定義できるようになります。 ${\displaystyle a\mapsto {\bar {a}}}$${\displaystyle a={\bar {a}}}$

ユニタリ群を定義する方程式は、k上の多項式方程式です（ K上の方程式ではありません）。標準形式Φ = Iの場合、方程式は行列でA ^∗ A = Iとして与えられます（ は共役転置 ）。別の形式では、A ^∗ Φ A = Φです。したがって、ユニタリ群は代数群であり、k代数R上の点は次のように与えられます。 ${\displaystyle A^{*}={\bar {A}}^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle \operatorname {U} (n,K/k,\Phi )(R):=\left\{A\in \operatorname {GL} (n,K\otimes _{k}R):A^{*}\Phi A=\Phi \right\}.}$

体拡大C / Rと標準 (正定値) エルミート形式の場合、実点と複素点を持つ代数群が生成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {U} (n,\mathbf {C} /\mathbf {R} )(\mathbf {R} )&=\operatorname {U} (n)\\\operatorname {U} (n,\mathbf {C} /\mathbf {R} )(\mathbf {C} )&=\operatorname {GL} (n,\mathbf {C} ).\end{aligned}}}$

実際、ユニタリ群は線型代数群です。

二次加群のユニタリ群は、先ほど定義した線型代数群 U の一般化であり、多くの異なる古典代数群を特別なケースとして組み込んでいます。定義はアンソニー・バックの論文に遡ります。^[6]

これを定義するには、まず二次モジュールを定義する必要があります。

R を反自己同型J を持つ環とし、Rおよびの任意のrに対して成り立つものとする。定義 ${\displaystyle \varepsilon \in R^{\times }}$${\displaystyle r^{J^{2}}=\varepsilon r\varepsilon ^{-1}}$${\displaystyle \varepsilon ^{J}=\varepsilon ^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{\text{min}}&:=\left\{r\in R\ :\ r-r^{J}\varepsilon \right\},\\\Lambda _{\text{max}}&:=\left\{r\in R\ :\ r^{J}\varepsilon =-r\right\}.\end{aligned}}}$

Λ ⊆ R をRの加法部分群とするとき、かつのときΛ は形式パラメータと呼ばれます。 Rが環で Λ が形式パラメータであるようなペア( R , Λ)は形式環と呼ばれます。 ${\displaystyle \Lambda _{\text{min}}\subseteq \Lambda \subseteq \Lambda _{\text{max}}}$${\displaystyle r^{J}\Lambda r\subseteq \Lambda }$

M をR加群、f をM上のJセスクイリニア形式(つまり、任意のおよびに対して) とします。 および を定義すると、f はM上のΛ二次形式( h , q )を定義すると言われます。( R , Λ)上の二次加群は、 MがR加群で( h , q )がΛ 二次形式である ような三つ組( M , h , q )です。${\displaystyle f(xr,ys)=r^{J}f(x,y)s}$${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle r,s\in R}$${\displaystyle h(x,y):=f(x,y)+f(y,x)^{J}\varepsilon \in R}$${\displaystyle q(x):=f(x,x)\in R/\Lambda }$

形式環( R ,Λ)上のM上のJセスクイリニア形式fによって定義される任意の2次加群( M , h , q )には、ユニタリ群を関連付けることができる。

${\displaystyle U(M):=\{\sigma \in GL(M)\ :\ \forall x,y\in M,h(\sigma x,\sigma y)=h(x,y){\text{ and }}q(\sigma x)=q(x)\}.}$

Λ = Λ _max、Jが任意の非自明な反転 (つまり、ε = −1 ) である特殊なケースでは、「古典的な」ユニタリ群 (代数群として) が返されます。 ${\displaystyle J\neq id_{R},J^{2}=id_{R}}$

ユニタリ群は、実非可換変数の 2 つの多項式の自己同型です。

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}&=\left(u^{2}+v^{2}\right)+\left(w^{2}+x^{2}\right)+\left(y^{2}+z^{2}\right)+\ldots \\C_{2}&=\left(uv-vu\right)+\left(wx-xw\right)+\left(yz-zy\right)+\ldots \end{aligned}}}$

これらは複素形式の実部と虚部であることが簡単にわかります。2 つの不変量は別々に O(2 n ) と Sp(2 n ) の不変量です。これらを組み合わせると、両方のグループのサブグループである U( n )の不変量に​​なります。これらの不変量では変数は非可換でなければなりません。そうでない場合、2 番目の多項式は常にゼロになります。 ${\displaystyle Z{\overline {Z}}}$

U( n )の分類空間については、「U( n )の分類空間」の記事で説明されています。

• 特殊ユニタリ群
• 射影ユニタリ群
• 直交群
• シンプレクティック群

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• グローブ、ラリー C. (2002)、「古典群と幾何代数」、Graduate Studies in Mathematics、第 39 巻、プロビデンス、RI:アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2019-3、MR  1859189
• ホール、ブライアン C. (2015)、リー群、リー代数、および表現: 初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer、ISBN 978-3319134666