電界電子放出

電界電子放出は、電界放出( FE ) や電子電界放出とも呼ばれ、静電場によって誘起される電子の放出である。最も一般的な文脈は、固体表面から真空への電界放出である。しかし、電界放出は、固体または液体表面から真空、流体(例:空気)、または非導電性または弱導電性の誘電体への電界放出でも発生する可能性がある。半導体の価電子帯から伝導帯への電界誘起による電子の昇格(ツェナー効果) も、電界放出の一形態と見なすことができる。この用語は歴史的なものであり、表面光効果、熱電子放出(またはリチャードソン・ダッシュマン効果)、および「冷電子放出」、すなわち強い静的 (または準静的) 電界での電子放出という関連現象が、1880 年代から 1930 年代にかけて独立して発見され研究されたためである。修飾語なしの電界放出という用語が使用される場合、通常は「冷電子放出」を意味する。

純金属における電界放出は高電界で発生します。電界勾配は通常 1 ギガボルト/メートルを超え、仕事関数に大きく依存します。電界放出に基づく電子源にはさまざまな用途がありますが、電界放出は真空破壊や放電現象の望ましくない主原因となることが最も多く、技術者はこれを防ぐよう努めています。表面電界放出の用途の例としては、高解像度電子顕微鏡用の明るい電子源の構築や、宇宙船からの誘導電荷の放電などがあります。誘導電荷を除去する装置は電荷中和装置と呼ばれます。

電界放出は1920年代後半に電子の量子トンネル効果によって説明されました。これは初期の量子力学の勝利の1つでした。バルク金属からの電界放出の理論は、ラルフ・H・ファウラーとローター・ヴォルフガング・ノルドハイムによって提唱されました。^{[1]近似方程式のファミリーであるファウラー・ノルドハイム方程式は、彼らにちなんで名付けられました。厳密には、ファウラー・ノルドハイム方程式はバルク金属からの電界放出と（適切な修正により）他のバルク}結晶固体 にのみ適用されますが、他の材料からの電界放出を説明するために（大まかな近似として）よく使用されます。

電界電子放出、電界誘起電子放出、電界放出、電子電界放出は、この実験現象とその理論の総称です。ここでは最初の名前を使用します。

ファウラー・ノルドハイム トンネル効果は、非常に高い電界を印加することで電子伝導体の表面に生成される丸みを帯びた三角形の障壁を通過する電子の波動力学的トンネル効果です。個々の電子は、さまざまな状況で多くの材料からファウラー・ノルドハイム トンネル効果によって脱出することができます。

冷電界電子放出(CFE) は、特定の統計的放出方式に付けられた名前であり、この方式では、エミッター内の電子は最初は内部熱力学的平衡にあり、放出された電子のほとんどがエミッターのフェルミ準位に近い電子状態からファウラー・ノルドハイム・トンネル効果によって逃げ出します。 (対照的に、ショットキー放出方式では、ほとんどの電子は、フェルミ準位よりはるかに上の状態から、電界が減少した障壁の上から逃げ出します。) 適切な大きさの電界が印加されると、多くの固体および液体材料が CFE 方式で電子を放出できます。

ファウラー・ノルドハイム型方程式は、バルク金属の内部電子状態から CFE を記述するために導出された近似方程式のファミリーです。ファミリーの異なるメンバーは、現実への近似の度合いが異なります。近似方程式が必要なのは、トンネル障壁の物理的に現実的なモデルの場合、原理的にシュレーディンガー方程式を簡単な方法で正確に解くことは数学的に不可能だからです。ファウラー・ノルドハイム型方程式がバルク結晶固体以外の材料からの電界放出を有効的に記述できると信じる理論的な根拠はありません。

金属の場合、CFE 状態は室温よりはるかに高い温度まで広がります。エミッターの外部加熱を必要とする他の電子放出状態 (「熱電子放出」や「ショットキー放出」など) もあります。内部の電子が熱力学的平衡になく、放出電流が放出領域への電子の供給によって部分的にまたは完全に決定される放出状態もあります。この種の非平衡放出プロセスは、ほとんどの電子がトンネル効果によって逃げる場合は電界 (電子) 放出と呼ばれることがありますが、厳密には CFE ではなく、ファウラー・ノルドハイム型方程式では正確に説明されません。

注意が必要なのは、いくつかの文脈（例えば宇宙船工学）では、「電界放出」という名前が電子ではなくイオンの電界誘起放出（電界イオン放出）に適用され、いくつかの理論的な文脈では「電界放出」が電界電子放出と電界イオン放出の両方をカバーする一般名として使用されているためです。

歴史的に、電界電子放出の現象は、「エオナ効果」、「自己電子放出」、「冷放出」、「冷陰極放出」、「電界放出」、「電界電子放出」、「電子電界放出」など、さまざまな名前で知られています。

この記事の方程式は、国際量体系(ISQ)を使用して記述されています。これは、SI 単位の定義に使用される合理化メートルキログラム秒 (rmks) 方程式系に基づく、現代 (1970 年代以降) の国際システムです。古い電界放出文献 (および古い文献から方程式を直接コピーした論文) では、多くの場合、量ε ₀を使用しない古い方程式システムを使用して方程式が記述されています。この記事では、そのような方程式はすべて現代の国際形式に変換されています。わかりやすくするために、これは常に行う必要があります。

仕事関数は通常、電子ボルト (eV) の単位で表され、また電界の場合はナノメートルあたりのボルト (V/nm) の単位を使用すると便利な場合が多いため、ここではほとんどの普遍定数の値が eV、V、および nm を含む単位で表されます。電界放出の研究では、これがますます一般的な方法になりつつあります。ただし、ここでのすべての方程式は ISQ 互換の方程式であり、現代の国際システムで要求されているように、次元の一貫性が保たれています。そのステータスを示すために、普遍定数の数値は 7 桁の有効数字で表されます。値は、基本定数の 2006 年の値を使用して導出されます。

電界電子放出には長く複雑で厄介な歴史があります。このセクションでは、1928 年に最初の Fowler-Nordheim 型方程式が導出されるまでの初期の歴史について説明します。

^{振り返ってみると、1744年にJH Winkler [2]}が報告した電気放電は、CFE が彼のワイヤ電極から始めた可能性が高いようです。しかし、意味のある調査は、 1897年にJJ Thomson ^[3]が電子を特定し、熱放射^[4]と光放射^[5]の研究から、電子は金属内部（表面に吸着したガス分子からではなく）から放出される可能性があること、および印加電界がない場合には金属から逃げる電子は仕事関数障壁を乗り越えなければならないことが理解されるまで待たなければなりませんでした。

少なくとも1913年には、電界誘起放出は別の物理的効果であると疑われていた。^[6]しかし、真空技術と試料洗浄技術が大幅に改善されてから、このことが確立された。リリエンフェルト（主に医療用X線用電子源に関心があった）は、1922年に、彼が「自己電子放出」と呼んだ効果の実験的現象論を英語で初めて明確に発表した^[7]。彼は1910年頃からライプツィヒでこのテーマに取り組んでいた。クライントはこれとその他の初期の研究について述べている。^{[8] [9]}

1922 年以降、実験への関心が高まり、特にカリフォルニア州パサデナのカリフォルニア工科大学 (Caltech) のミリカン率いるグループ^[10]やロンドンのゼネラル・エレクトリック社のゴスリング率いるグループで関心が高まりました^[11] 。自己電子放出を理解するための試みには、実験的な電流 - 電圧 ( i - V ) データをさまざまな方法でプロットし、直線関係を探すことが含まれていました。電流は電圧とともに直線よりも急速に増加しましたが、log( i ) 対Vのプロットは直線ではありませんでした。^[10]ウォルター・H・ショットキー^[12]は 1923 年に、この効果は電界減少障壁を越える熱誘導放出によるものである可能性があると示唆しました。そうであれば、log( i ) 対√ Vのプロットは直線になるはずですが、そうではありませんでした。^[10]また、ショットキーの説明は、CFE に非常に弱い温度依存性しかないという実験的観察^[7]とも一致しません。これは当初見落とされていた点です。^[6]

突破口が開かれたのは、CC・ローリッセン^[13] （およびJ・ロバート・オッペンハイマー[ ^{14] ）が、log(} i )対1/ Vのプロットが良好な直線を生み出すことを発見したときだった。1928年初頭にミリカンとローリッセン^{[13]によって発表されたこの結果は、}ファウラーとノルドハイムにも知られていた。

オッペンハイマーは、原子からの電子の電界誘起トンネル効果（現在では電界イオン化と呼ばれている効果）がこのi ( V ) 依存性を持つと予測し^[14]、ミリカンとアイリングの公開された電界放出実験結果にこの依存性を発見し^[10]、CFE は表面金属原子の原子状軌道からの電子の電界誘起トンネル効果によるものだと提唱した。代わりのファウラー＝ノルドハイム理論^[1]は、ミリカン＝ローリッセンの研究結果と電流の温度に対する非常に弱い依存性の両方を説明した。ファウラー＝ノルドハイム理論は、CFE が現在金属伝導帯と呼んでいるものにおける自由電子型状態からの電界誘起トンネル効果によるもので、電子状態がフェルミ＝ディラック統計に従って占有されている場合、両方が結果であると予測した。

オッペンハイマーの理論は数学的にかなり間違っていました。^{[15]また、ファウラー・ノルドハイム理論のCFE}電流密度の最終式にも小さな数値的誤りがありましたが、これは1929年の論文（Stern、Gossling、Fowler 1929）で修正されました。^[16]

厳密に言えば、Fowler-Nordheim 1928 理論の障壁場が印加電圧に正確に比例し、放出面積が電圧に依存しない場合、Fowler-Nordheim 1928 理論では、(log( i / V ² ) vs. 1/ V ) の形のプロットが正確な直線になるはずであると予測されます。しかし、当時の実験技術は、Fowler-Nordheim の理論的結果と Millikan-Lauritsen の実験結果を区別できるほど十分ではありませんでした。

こうして、1928 年までにバルク金属からの CFE の起源に関する基本的な物理的理解が達成され、元のファウラー - ノルドハイム型方程式が導出されました。

文献では、ファウラー＝ノルドハイムの研究は、波動力学によって予測される電子トンネル効果の存在の証明としてよく紹介されている。これは正しいが、波動力学の妥当性は1928年までに広く受け入れられていた。ファウラー＝ノルドハイム論文のより重要な役割は、1927年にゾンマーフェルト^{[17]によって示唆されたように、}フェルミ＝ディラック統計が金属中の電子の挙動に適用されることを実験から説得力を持って証明したことである。ファウラー＝ノルドハイム理論の成功は、ゾンマーフェルトのアイデアの正しさを裏付けるのに大きく貢献し、現代の電子バンド理論^[18]の確立に大きく貢献した。特に、元のファウラー＝ノルドハイム型方程式は、電子スピンの存在の統計力学的な結果を実験的な凝縮物質効果の理論に組み込んだ最初の方程式の1つであった。ファウラー＝ノルドハイムの論文は、電界誘起電子放出と熱誘起電子放出の統一的な取り扱いの物理的基礎も確立した。^[18] 1928年以前は、金属には「熱電子」と「伝導電子」という2種類の電子が存在し、熱放出電子電流は熱電子の放出によるが、電界放出電流は伝導電子の放出によるという仮説が立てられていた。ファウラー＝ノルドハイムの1928年の研究は、熱電子が内部電子の別個のクラスとして存在する必要はないことを示唆した。電子はフェルミ＝ディラック統計に従って占有される単一のバンドから来ている可能性があるが、温度と印加電界の異なる条件下では統計的に異なる方法で放出される。

オッペンハイマー、ファウラー、ノルドハイムのアイデアは、 1928年後半のジョージ・ガモフ^[19]、ロナルド・W・ガーニー、エドワード・コンドン^{[20] [21]による原子核の}放射性崩壊理論（アルファ粒子トンネル効果による）の発展にも重要な刺激を与えた。^[22]

すでに述べたように、電界電子放出に関する初期の実験研究（1910-1920年）^[7]は、医療用途の小型X線管を開発したいというリリエンフェルトの願望によって推進されました。しかし、この技術が成功するには時期尚早でした。

1928 年のファウラー＝ノルドハイムの理論的研究の後、1937 年にエルヴィン・W・ミュラーが球面形状の電界電子顕微鏡(FEM) ^{[23] (「電界放出顕微鏡」とも呼ばれる) を開発し、大きな進歩を遂げました。この装置では、電子放出源は先端半径}rの鋭く尖ったワイヤです。これは真空容器内で、画像検出器 (元々は蛍光スクリーン) の反対側に、距離R を置いて配置されます。顕微鏡のスクリーンには、放出源の先端を横切る電流密度Jの分布の投影画像が、およそ ( R / r ) の倍率で、通常は 10 ⁵から 10 ^{6 の}倍率で表示されます。FEM の研究では、先端半径は通常 100 nm から 1 μm です。先端の尖ったワイヤの先端は、物理的な物体として言及される場合、「電界放出源」、「先端」、または (最近では)「ミュラー放出源」と呼ばれています。

エミッタ表面がきれいな場合、この FEM 画像は、(a) エミッタの材料、(b) 針/ワイヤ軸に対する材料の方向、(c) エミッタの端部の形状について、ある程度特徴を示します。FEM 画像では、暗い領域は、局所仕事関数φが比較的高い、および/または局所障壁場Fが比較的低いためJが比較的低い領域に対応し、明るい領域は、φが比較的低い、および/またはFが比較的高いためJが比較的高い領域に対応します。これは、ファウラー・ノルドハイム型方程式の指数によって予測されるとおりです [以下の式 (30) を参照]。

ガス原子（酸素など）の層がエミッター表面またはその一部に吸着すると、表面電気双極子が生成され、表面のこの部分の局所的な仕事関数が変化する可能性があります。これはFEM画像に影響します。また、仕事関数の変化は、ファウラー・ノルドハイムプロットを使用して測定できます（以下を参照）。このように、FEMは表面科学の初期の観察ツールになりました。^{[24] [25]}たとえば、1960年代には、FEMの結果が不均一触媒に関する議論に大きく貢献しました。^{[26] FEMは}表面原子拡散の研究にも使用されてきました。しかし、現在ではFEMは新しい表面科学技術にほぼ完全に取って代わられています。

FEM の開発とその後の実験の結果、エミッターが「クリーン」な状態にあるかどうか (FEM 画像検査から) を識別できるようになり、他の技術で確立されたクリーン サーフェスの仕事関数を示すようになりました。これは、標準的なファウラー - ノルドハイム型方程式の妥当性をテストするために設計された実験で重要でした。^{[27] [28]}これらの実験では、タングステンのクリーン サーフェスφ値を仮定して、ファウラー - ノルドハイム プロット (以下を参照) から電圧 - 障壁電界変換係数β の値を推定し、これをエミッター形状の電子顕微鏡観察と静電モデリングから得られた値と比較しました。約 10% 以内の一致が達成されました。ごく最近になって^[29]、逆の比較が可能になった。つまり、よく準備されたプローブを、よく準備された表面に非常に近づけることで、近似的に平行板の形状を仮定し、変換係数を1/ Wとすることができるようになった。ここで、Wは測定されたプローブとエミッターの距離である。結果として得られるファウラー・ノルドハイム・プロットを分析すると、独立して知られているエミッターの仕事関数に近い仕事関数値が得られる。

電界放出電子のエネルギー分布測定は 1939 年に初めて報告されました。^[30] 1959 年に Young によって理論的に実現され、^{[31] Young}と Mueller によって実験的に確認された球面形状で測定される量は放出電子の全エネルギー分布 (「全エネルギー分布」) であることがわかりました。これは、球面形状では、電子がエミッター内の 1 点の周りの角運動量がほぼ保存されるように移動するためです。したがって、放出時にエミッター表面に平行な方向にある運動エネルギーは、運動の半径方向に関連するエネルギーに変換されます。したがって、エネルギー分析装置で測定されるのは放出時の総エネルギーです。

1960年代に高感度電子エネルギー分析装置が開発され、全エネルギー分布の詳細な測定が可能になった。これは表面物理学の詳細な情報を反映しており、電界電子分光法の技術はしばらくの間栄えたが、その後、新しい表面科学技術に取って代わられた。^{[33] [34]}

電子顕微鏡やその他の電子ビーム装置（電子ビームリソグラフィーに使用されるものなど）で高解像度を達成するには、小型で光学的に明るく安定した電子源から始めると効果的です。ミュラー放出器の形状に基づく電子源は、最初の2つの基準を満たしています。個々の原子の最初の電子顕微鏡（EM）観察は、1970年にクルー、ウォール、ラングモアによって、初期の電界放出銃を備えた走査型電子顕微鏡を使用して行われました^[35]。

1950 年代以降、電子銃に使用するための電界放出源の開発に多大な努力が注がれてきました。^{[36] [37] [38]} [例: DD53] 軸上ビームを生成する方法は、電界誘起エミッターの構築、または(100) 配向のタングステンエミッターの平坦な頂点への低仕事関数吸着物質(通常は酸化ジルコニウム– ZrO)の選択的堆積によって開発されました。^[39]

室温で動作するソースには、真空システムの壁から到着する吸着分子ですぐに覆われてしまうという欠点があり、エミッターは時々高温に「フラッシュ」して洗浄する必要があります。今日では、ショットキー放出領域またはいわゆる温度場中間領域のいずれかで高温で動作するミュラーエミッターベースのソースを使用する方が一般的です。現代の高解像度電子顕微鏡や電子ビーム機器の多くは、何らかの形のミュラーエミッターベースの電子ソースを使用しています。現在、電子銃電界放出ソースとしてカーボンナノチューブ（CNT）を開発する試みが行われています。^{[40] [41]}

電子光学機器における電界放出源の使用には、荷電粒子光学の適切な理論の開発、^{[37] [42]}および関連するモデリングの開発が伴ってきた。ミュラー放出器にはさまざまな形状モデルが試されてきたが、最も優れているのは、1953 年に Dyke、Trolan、Dolan、Barnes によって導入された「直交円錐上の球」(SOC) モデルであると思われる。^[43] SOC 放出器モデルを使用した軌道追跡を含む重要なシミュレーションは、Wiesener と Everhart によって行われた。^{[44] [45] [46]}現在、ミュラー放出器からの電界放出をシミュレートする機能は、電子ビーム機器の設計に使用される商用電子光学プログラムに組み込まれていることが多い。効率的な最新の電界放出電子銃の設計には、高度に専門化された専門知識が必要である。

今日では、非常に鋭いエミッターを作製することが可能であり、これには単一原子で終わるエミッターも含まれます。この場合、電子放出は単一原子の結晶学的サイズの約2倍の領域から行われます。これは、エミッターのFEMと電界イオン顕微鏡（FIM）画像を比較することで実証されました。 ^[47]単一原子頂点ミュラーエミッターは、走査プローブ顕微鏡法とヘリウム走査イオン顕微鏡（He SIM）にも関連しています。^[48]これらを作製する技術は、長年研究されてきました。^{[47] [49]}関連する最近の重要な進歩は、3原子（「トリマー」）頂点が分解した場合に、それを元の状態に戻すための自動化技術の開発（He SIMでの使用向け）です。^[48]

大面積電界放出源は 1970 年代から関心を集めてきました。これらのデバイスでは、基板 (当初はシリコン) 上に高密度の個別の電界放出サイトが作成されます。この研究分野は、最初は「真空マイクロエレクトロニクス」と呼ばれていましたが、現在は「真空ナノエレクトロニクス」と呼ばれています。

元々の2種類のデバイスのうちの1つである「スピントアレイ」^[50]は、シリコン集積回路（IC）製造技術を使用して、モリブデンコーンが酸化膜内の小さな円筒形の空隙に堆積され、その空隙が中央の円形開口部を持つ対電極で覆われた規則的なアレイを作成しました。この全体的な形状は、空隙内で成長する カーボンナノチューブにも使用されています。

もう一つのオリジナルデバイスタイプは「レイサムエミッター」でした。^{[51] [52]}これらはMIMIV（金属-絶縁体-金属-絶縁体-真空）または、より一般的にはCDCDV（導体-誘電体-導体-誘電体-真空）デバイスであり、誘電体フィルムに導電性微粒子が含まれています。デバイスの電界放出は、その微細構造/ナノ構造が電界増強特性を持っているためです。この材料は、インクとして堆積できるため、IC製造技術が不要であるという潜在的な製造上の利点がありました。しかし、実際には、均一に信頼できるデバイスを製造することは困難であることが判明しました。

研究は、適切な電界増強特性を持つ薄膜として堆積/成長させることができる他の材料を探すために進みました。平行板配置では、プレート間の「マクロ」電界F _{M は}F _M = V / Wで与えられます。ここで、Wはプレート間隔、V は印加電圧です。1 つのプレート上に鋭い物体が作成されると、その頂点の局所電界F はF _Mよりも大きくなり、 F _Mと次のよう に関連付けることができます。

${\displaystyle F=\gamma F_{\mathrm {M} }.}$

パラメータγは「電界増強係数」と呼ばれ、基本的に物体の形状によって決まります。電界放出特性は局所電界Fによって決まるため、物体のγ値が高いほど、有意な放出が発生するF _Mの値は低くなります。したがって、 Wの値が一定であれば、有意な放出が発生する印加電圧V は低くなります。

1990年代半ばから約10年間、プラズマ蒸着した非晶質および「ダイヤモンドのような」炭素膜からの電界放出に大きな関心が寄せられました。^{[53] [54]しかし、その後、} CNTエミッターの登場や、放出部位が蒸着プロセス中に未知の方法で生成された粒子状炭素物体に関連している可能性があるという証拠が浮上したため、関心は薄れました。これは、工業規模の生産プロセスの品質管理に問題がある可能性があること を示唆していました。

^{CNTフィールドエミッター[41]}の「マット」形式と「成長アレイ」形式の両方での導入は大きな前進でした。その物理的特性と技術的応用の可能性の両方について、広範な研究が行われてきました。^{[40]フィールドエミッションに関して、CNTの利点は、その形状と高い}アスペクト比により、「自然なフィールド強化オブジェクト」となることです。

近年、他の形態の薄膜エミッターの開発への関心も高まっており、他の形態のカーボン（「カーボンナノウォール^[55]」など）や、さまざまな形態のワイドバンドギャップ半導体に基づくものの両方がある。^[56]特定の目標は、十分に高密度の個々の放出部位を持つ「高γ」ナノ構造を開発することである。ナノチューブウェブの形態のナノチューブ薄膜も、電界放出電極の開発に使用されている。^{[57] [58] [59]}製造パラメータを微調整することで、これらのウェブは個々の放出部位の最適な密度を実現できることが示されている。^{[57]これらのウェブを互いに垂直に配列した2層堆積によって作られた二重層電極は、ターンオン電界（10 μA/cm 2}の放出電流を達成するために必要な電界）を0.3 V/μmまで下げ、安定した電界放出性能を提供できることがわかっている。^[58]

すべての電界放出デバイス、特に「工業用真空条件」で動作するデバイスに共通する問題は、システムの他の場所から到着するガス原子の吸着によって放出性能が低下する可能性があること、および放出された電子がガス相原子や対向電極の表面上に衝突して生成されるイオンによる衝撃など、さまざまな望ましくない付随プロセスによってエミッターの形状が原則的に悪影響を受ける可能性があることです。したがって、重要な産業要件は「劣悪な真空条件での堅牢性」であり、新しいエミッター材料の研究ではこれを考慮する必要があります。

本稿執筆時点では、大面積電界放出源の最も有望な形態は（達成される平均放出電流密度の観点からは）スピントアレイと CNT に基づくさまざまな形態の源であると思われます。

大面積電界放出源の開発は、もともと、より効率的な新しい形式の電子情報ディスプレイを作成したいという願望によって推進されました。これらは「電界放出ディスプレイ」または「ナノエミッションディスプレイ」として知られています。いくつかのプロトタイプが実証されていますが、^[40]このようなディスプレイを信頼性の高い商用製品に開発することは、ソースの特性に直接関係しないさまざまな工業生産上の問題によって妨げられてきました[En08]。

大面積電界放出源^[40]の他の提案された用途としては、マイクロ波発生、宇宙船中和、X線発生、および（アレイ源の場合）多重電子ビームリソグラフィーなどがある。また、最近では「プラスチックエレクトロニクス」への幅広い傾向に沿って、フレキシブル基板上に大面積エミッターを開発する試みもある。

このようなアプリケーションの開発は、真空ナノエレクトロニクスの使命です。しかし、電界放出器は良好な超高真空の条件で最もよく機能します。現在までに最も成功したアプリケーション (FEM、FES、EM ガン) は、これらの条件で発生しました。残念ながら、電界放出器と産業用真空条件はうまく調和せず、このような条件で使用される電界放出源の良好な「真空堅牢性」を確実に保証するという関連する問題は、現在よりも優れたソリューション (おそらくより巧妙な材料ソリューション) をまだ待っています。

すでに述べたように、電界電子放出の最も初期の兆候は、それが引き起こす電気放電であったと考えられています。ファウラー・ノルドハイムの研究の後、電界電子放出は真空破壊と電気放電現象の考えられる主な根本原因の 1 つであることが理解されました。(関連する詳細なメカニズムと経路は非常に複雑になる可能性があり、単一の普遍的な原因はありません) ^[60]真空破壊が陰極からの電子放出によって引き起こされることがわかっている場合、そのメカニズムは小さな導電性の針状の表面突起からの電界電子放出であると当初考えられていました。望ましくない電界電子放出電流を生成する可能性のある電極の表面を丸く滑らかにする手順が使用されていました (現在も使用されています)。しかし、レイサムと他の研究者の研究^[51]は、放出が滑らかな表面の半導体介在物の存在と関連している可能性もあることを示しました。放出がどのように生成されるかという物理的方法はまだ完全には理解されていませんが、いわゆる「トリプル ジャンクション効果」が関係しているのではないかという疑いがあります。さらなる情報はレイサムの著書^[51]とオンライン参考文献^[60]に記載されています。

いくつかの電子デバイスでは、ある材料から別の材料への電子の移動、または（傾斜バンドの場合）あるバンドから別のバンドへの電子の移動（「ツェナートンネル効果」）は、ファウラー・ノルドハイムトンネル効果の一種とみなすことができる電界誘起トンネル効果によって起こります。たとえば、ローデリックの本では、金属と半導体の接触に関連する理論について説明しています。^[61]

この記事の次の部分では、バルク金属からの冷電界電子放出の基本理論を扱います。これは、次の理論を含む 4 つの主な段階で扱うのが最適です。(1) 丸みを帯びた三角形の障壁を通過する電子のトンネル効果を考慮して「脱出確率」の公式を導出する。(2) 「総エネルギー分布」を得るための内部電子状態の積分。(3) 放出電流密度を局所障壁場と局所仕事関数の関数として得るための 2 回目の積分。(4) これを印加電圧の関数としての電流の公式に変換する。大面積エミッターに必要な修正方程式と実験データ分析の問題は、個別に扱います。

ファウラー・ノルドハイム・トンネル効果は、電子が正確な三角形または丸みを帯びた三角形の障壁を通過する波動力学的トンネル効果です。2 つの基本的な状況が認識されています。(1) 電子が最初は局在状態にある場合、(2) 電子が最初は強く局在しておらず、進行波によって最もよく表される場合です。バルク金属伝導帯からの放出は 2 番目のタイプの状況であり、ここでの説明はこのケースに関連しています。また、障壁は 1 次元 (つまり、横方向の構造がない) であり、「散乱」または「共鳴」効果を引き起こす微細構造がないと想定されています。ファウラー・ノルドハイム・トンネル効果の説明を比較的簡単にするために、これらの仮定が必要ですが、物質の原子構造は実際には無視されています。

電子の場合、1次元シュレーディンガー方程式は次のように表される。

ここで、Ψ( x ) は電子の波動関数であり、エミッターの電気表面からの距離xの関数として表される、 ^[62] ħは換算プランク定数、mは電子の質量、U ( x ) は電子の位置エネルギー、E _nはx方向の運動に関連する全電子エネルギー、M ( x ) = [ U ( x ) − E _n ]は電子の駆動エネルギーと呼ばれる。^[63] M ( x ) は、仮想的な古典的な点電子のx方向の運動に関連する電子の運動エネルギーの負として解釈でき、障壁では正である。

トンネル障壁の形状は、M ( x ) > 0の領域での位置によってM ( x )がどのように変化するかによって決まります。電界放出理論では、正確な三角形(ET)障壁とショットキー・ノルドハイム(SN)障壁という2つのモデルが特別な地位を占めています。^{[64] [65]}これらはそれぞれ式(2)と式(3)で与えられます。

ここで、hは障壁のゼロ場高さ（または減少していない高さ）、 eは正の素電荷、Fは障壁場、ε _{0 は}電気定数です。慣例により、古典的な静電場は負であるにもかかわらず、Fは正とみなされます。SN 方程式は、古典的なイメージ ポテンシャル エネルギーを使用して、物理的効果「相関と交換」を表します。

与えられた障壁に内側から近づく電子の脱出確率（または「透過係数」または「浸透係数」）はhとFの関数であり、 D ( h , F )と表記される。トンネル理論の主な目的はD ( h , F ) を計算することである。ショットキー・ノルトハイム障壁などの物理的に現実的な障壁モデルの場合、シュレーディンガー方程式は簡単な方法で正確に解くことはできない。以下のいわゆる「半古典的」アプローチを使用することができる。パラメータG ( h , F ) はJWKB (ジェフリーズ・ウェンツェル・クラマース・ブリルアン)積分によって定義することができる: ^[66]

ここで積分は障壁（すなわち、 M > 0の領域 ）を横切って行われ、パラメータgは次式で与えられる普遍定数である。

フォーブスは、フローマンとフローマンによって証明された結果を再整理し、形式的には、1次元の扱いで、Dの正確な解は次のように書けることを示した^[67]。

ここでトンネル効果のプレファクター Pは、原理的には複素空間内の経路に沿った複雑な反復積分によって評価できる。^{[67] [68]} CFE領域では（定義により）G  ≫ 1となる。また、単純なモデルではP  ≈ 1となる。したがって、式（6）はいわゆる単純なJWKB式に簡約される。

正確な三角形の障壁については、式(2)を式(4)に代入すると、G ^ET = bh ^3/2 / Fとなり、ここで

このパラメータbは普遍定数であり、第2ファウラー・ノルドハイム定数と呼ばれることもある。他の形状の障壁については、次のように書く。

ここでν ( h , F )は一般に式(4)を用いて 数値積分によって決定しなければならない補正係数である。

標準的なファウラー・ノルドハイム型方程式を導出する際に使用される障壁モデルであるショットキー・ノルドハイム障壁^[69]は特別なケースである。この場合、補正係数は単一の変数f _hの関数であり、f _h  =  F / F _hで定義されることが知られている。ここで、F _hはショットキー・ノルドハイム障壁の高さをhから0に下げるために必要な磁場である。この磁場は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\it {\nu}}}$

パラメータf _{h は}0 から 1 までの範囲にあり、ゼロ場高さhのショットキー・ノルドハイム障壁に対して、スケールされた障壁場と呼ばれることもあります。

ショットキー・ノルドハイム障壁の場合、ν ( h , F ) は関数ν ( ℓ′ ) の特定の値ν ( f _h ) によって与えられます。後者はそれ自体が数理物理学の関数であり、主ショットキー・ノルドハイム障壁関数と呼ばれています。ν ( ℓ ′ )の明示的な級数展開は、 2008年の J. Deane の論文で導出されています。^[70] ν ( f _h )の次の良い単純な近似が見つかっています: ^[69]

崩壊幅（エネルギー）d _{h は}、障壁の高さhが増加するにつれて脱出確率Dがどれだけ速く減少するかを測定します。d _hは次のように定義されます。

hがd _hだけ増加すると、脱出確率Dはe（≈2.718282）に近い係数で減少します。正確な三角形の障壁に基づく基本モデルでは、ν  = 1、P  ≈ 1とすると、次の式が得られます 。

${\displaystyle d_{h}^{\mathrm {(el)} }={\frac {2F}{3b{\sqrt {h}}}}={\frac {eF}{g{\sqrt {h}}}}.}$

より一般的な式（12）から導かれる減衰幅d _{h は}、「減衰幅補正係数」λ _dによってこれと異なるため、

通常、補正係数は 1 として近似できます。

hが局所仕事関数φに等しい障壁の崩壊幅d _{F は}特に興味深い。数値的には次のように表される。

金属の場合、 d _Fの値は通常 0.2 eV 程度ですが、障壁場Fによって変化します。

歴史的な注釈が必要である。式(9)のようにショットキー・ノルドハイム障壁に補正係数が必要であるという考えは、1928年にノルドハイムによって導入されたが^[65]、係数の数学的分析は間違っていた。新しい（正しい）関数は1953年にバージェス、クローマー、ヒューストンによって導入され^[71]、その数学的展開は1956年にマーフィーとグッドによってさらに進められた。^[72]この補正関数は「特殊電界放出楕円関数」とも呼ばれ、「ノルドハイムパラメータ」として知られる数学的変数yの関数として表現された。数学的には、変数ℓ′ （= y ²）を使用する方がはるかに優れていることが最近（2006年から2008年）になってようやく認識された。そしてつい最近になって、この関数の正確な級数展開を展開し、その妥当性を証明することによって（ガウスの超幾何微分方程式の既知の特殊な解から始めて） ν ( ℓ′ ) の定義を完成することができた。また、近似値 (11) もつい最近になって発見された。近似値 (11) は同等の複雑さを持つ従来の近似値よりも優れており、最終的にはそれらに取って代わると思われる。これらの最近の進展とその意味は、やがて電界放出研究に大きな影響を与えるだろう。

これらの結果をまとめると次のようになります。適切な高さの適切に動作する障壁の上部よりかなり下をトンネルする場合、脱出確率D ( h , F ) は次のように正式に与えられます。

ここで、ν ( h , F ) は一般に数値積分によって求めなければならない補正係数である。ショットキー・ノルドハイム障壁の特殊なケースについては解析的な結果が存在し、ν ( h , F ) は上で述べたようにν ( f _h )によって与えられる。ν ( f _h ) の近似値 (11) は、あらゆる技術的目的には十分すぎるほどである。前因子Pも原理的にはhと (おそらく) Fの関数であるが、ここで説明する単純な物理モデルでは、通常、近似値P  = 1 とすれば十分である。厳密な三角形障壁は、シュレーディンガー方程式がファウラーとノルドハイムによって行われたように正確に解ける特殊なケースである。^[1]この物理的に非現実的なケースではν ( f _h ) = 1 であり、 Pの解析的近似値が存在する。

ここで説明するアプローチは、もともとは滑らかで、古典的な平坦な平面の放出面からのファウラー・ノルドハイム トンネル効果を説明するために開発されたものです。半径が 10 ～ 20 nm 程度の滑らかで古典的な曲面には適しています。より鋭い半径の面にも適応できますが、その場合、 νやDなどの量は、表面の曲率を説明するために使用されるパラメータの重要な関数になります。放出面が非常に鋭く、原子レベルの詳細を無視できない場合、および/またはトンネル効果の障壁が放出面の頂点の寸法よりも厚い場合は、より洗練されたアプローチが望ましいです。

冒頭で述べたように、ここで議論した電界電子放出の比較的単純な取り扱いでは、物質の原子構造の影響は無視されている。原子構造を適切に考慮に入れることは非常に難しい問題であり、進歩は限られている。^[33]しかし、ファウラー・ノルドハイムトンネル理論への主な影響は、（実際には）式（15）のPとνの値を、現時点では簡単に見積もることができない量だけ変化させることであると思われる。

これらの注釈はすべて、原理的には、（トンネル効果の前に）電子が進行波状態にあるとみなせるあらゆる導体からのファウラー・ノルドハイム・トンネル効果に当てはまります。このアプローチは、電子が最初は放射面またはその内部に非常に近い局在状態にある状況に（近似的に）適用するように調整できますが、これはこの記事の範囲外です。

放出された電子のエネルギー分布は、放出された電子のエネルギー分布を使用してエミッターの表面物理学の側面を調べる科学実験^[34]と、電子顕微鏡などの電子ビーム機器で使用される電界放出源の両方にとって重要です。^[42]後者の場合、分布の「幅」（エネルギー）は、ビームをどれだけ細かく焦点を合わせることができるかに影響します。

ここでの理論的説明はフォーブスのアプローチに従う。^[73] εがエミッターフェルミレベルに対する電子の全エネルギーを表し、K _pがエミッター表面に平行な電子の運動エネルギーを表す場合、電子の法線エネルギー ε _n（「順方向エネルギー」と呼ばれることもある）は次のように定義される。

理論的なエネルギー分布には 2 つの種類があります。1 つは通常エネルギー分布(NED) で、これは放出直後 (つまり、トンネル障壁のすぐ外側) のエネルギーε _{nの分布を示します。もう 1 つは}全エネルギー分布で、これは全エネルギーεの分布を示します。エミッタのフェルミ準位を基準ゼロ準位として使用する場合、εとε _{n は}両方とも正または負のいずれかになります。

エネルギー分析実験は1930年代から電界放出器で行われてきました。しかし、1950年代後半になって初めて、これらの実験では常に総エネルギー分布を測定していたことが認識されました（YoungとMueller [31] [,YM58]による）。これ^は、放出が他の平坦な表面上の小さな電界増強突起から発生する場合にも当てはまります（またはほぼ当てはまります）。^[34]

ゾンマーフェルト自由電子型モデルの枠組み内で全エネルギー分布を計算する方法を確認するには、PT エネルギー空間図(PT="parallel-total") を参照してください。

これは、水平軸に「平行運動エネルギー」K _p 、垂直軸に全エネルギーεを示しています。バルク金属内の電子は通常、 K _pとεの値が薄い網掛け領域内にあります。このエネルギー空間の各要素 d ε d K _{p は}、エミッター境界の内側に入射する電子電流密度に寄与していることがわかります。 ^[73]ここで、z _{S は}普遍定数（ここではゾンマーフェルト供給密度と呼ばれます）です。 ${\displaystyle z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }\mathrm {d} {\it {\epsilon }}\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }}$

はフェルミ・ディラック分布関数である： ${\displaystyle f_{\mathrm {FD} }}$

ここで、Tは熱力学温度、k _{B は}ボルツマン定数です。

この入射電流密度の要素は、次式で与えられる高さhの障壁を検出します。

対応する脱出確率はD ( h , F )であり、これは（近似的に）次の形式で展開される^[73]。

ここで、 D _{F は、}局所仕事関数φに等しい高さの障壁からの脱出確率である。したがって 、要素 d ε d K _{p は}放出電流密度に寄与し、要素範囲 d εのエネルギーを持つ入射電子による全寄与は、${\displaystyle z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }D\mathrm {d} {\it {\epsilon }}\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }}$

ここで積分は原理的には図に示されたストリップに沿って行われますが、実際には崩壊幅d _Fがフェルミエネルギー K _Fより非常に小さい場合（金属の場合は常にそうなります）、∞ まで拡張できます。積分の結果は次のように表すことができます。

ここで、およびは、局所仕事関数φに等しい、低減されていない高さhの障壁に適切な値であり、この式によって定義されます。 ${\displaystyle d_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle D_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle j_{\mathrm {F} }[\,=z_{\mathrm {S} }d_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} }]}$

与えられたエミッターに与えられた磁場が印加されると、はFに依存しないので、式 (21) は分布の形状 ( ε がフェルミ準位よりかなり下の負の値から増加するにつれて) が FD 分布関数を乗じた上昇指数関数になることを示しています。これにより、Young によって最初に予測されたおなじみの分布形状が生成されます。^[31]低温では、はフェルミ準位付近で 1 から 0 に急激に変化し、分布の FWHM は次のように表されます。${\displaystyle j_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )}$

実験的な CFE 全エネルギー分布がこの基本的な形状を持つという事実は、金属中の電子がフェルミ・ディラック統計に従うことを実験的に確認する良い証拠となります。

J – F形式のファウラー・ノルドハイム型方程式は、バルク金属の伝導帯の内部電子状態から放出される局所電流密度J を記述するために導出された（近似）理論方程式です。放出面の小さな均一領域の放出電流密度（ECD）J は、通常、その小さな領域を特徴付ける局所仕事関数φと局所障壁場Fの関数J ( φ , F ) として表されます。鋭く曲がった表面の場合、J は表面の曲率を記述するために使用されるパラメータによっても異なります。

元々の導出でなされた物理的仮定のため、^[1]ファウラー・ノルドハイム型方程式という用語は、ゼロ温度での ECD を記述する方程式にのみ長い間使用されてきた。しかし、この名前には、CFE 放出領域内の有限温度に有効な、わずかに修正された方程式 (以下で説明) も含めるようにする方が適切である。

電流密度は A/m ²で測定するのが最も適切です。小さな均一領域から放出される全電流密度は、全エネルギー分布j ( ε ) を全電子エネルギーεに関して積分することによって得られます。温度ゼロでは、フェルミ・ディラック分布関数は ε < 0に対してf _FD = 1、ε > 0に対してf _FD = 0です。したがって、 0 K での ECD、J ₀は式 (18) から次のように与えられます。

ここで、 は状態 F の有効供給であり、次の式で定義されます。厳密には、積分の下限は − K _F、K _Fはフェルミエネルギーです。ただし、d _{F が}K _Fよりも大幅に小さい場合 (金属の場合は常にそうなります)、積分へのK _F未満のエネルギーからの大きな寄与はなく、正式には –∞ まで拡張できます。 ${\displaystyle Z_{\mathrm {F} }\;[=z_{\mathrm {S} }{d_{\mathrm {F} }}^{2}]}$

結果（23）は、図1を参照することで、単純かつ有用な物理的解釈を与えることができる。図の点「F」の電子状態（「状態F」）は、「フェルミレベルで前進する状態」（すなわち、フェルミレベルの電子がエミッタ表面に対して垂直に、エミッタ表面に向かって移動する状態）である。0 Kでは、この状態の電子は、高さφの障壁に直面し、他の占有電子状態よりも高い脱出確率D _{F を持つ。したがって、} J _{0 を}Z _F D _Fと表記するのが便利である。ここで、「有効供給」Z _Fは、すべての放出が状態Fから発生する場合に、金属内部で状態Fによって運ばれなければならない電流密度である。

実際には、電流密度は主に状態 F にエネルギー的に近い一群の状態から生じ、そのほとんどはエネルギー空間図の濃い影付きの領域内にあります。自由電子モデルの場合、電流密度への寄与はエネルギー空間の面積に正比例するため (比例定数としてゾンマーフェルトの供給密度z _{Sを使用)、エネルギー空間図でサイズ}d _F ² (eV ²で測定) の領域内の電子状態から引き出された ECD と考えると便利です。つまり、図 1 の濃い影付きの領域内の状態から引き出された ECD と考えると便利です。(この近似は温度が上昇するにつれて徐々に悪くなります。)

Z _{F は}次の形式でも表記できます。

ここで、普遍定数aは、第一ファウラー・ノルドハイム定数とも呼ばれ、次のように表される。

これは、ファウラー・ノルドハイム型方程式に現れる 指数関数前因子a &nnbsp; φ ⁻¹ F ^{2が、自由電子モデルにおけるエミッタ表面への電子の有効供給に関係していることを明確に示しています。}

非ゼロ温度で有効な結果を得るために、式(23)からz _S d _F D _F = J ₀ / d _Fであることに留意する。したがって、式(21)を非ゼロ温度で積分すると、この置き換えを行い、フェルミ・ディラック分布関数の明示的な形式を挿入すると、ECD Jは次の形式で表すことができる。

ここでλT_は積分によって与えられる温度補正係数である。積分は、およびを書き、次に、と書き表すことで、標準的な結果に変換することができる：^[74]${\displaystyle w=d_{\mathrm {F} }/k_{\mathrm {B} }T}$${\displaystyle x=\epsilon /d_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle u=\exp(x)}$

これはw > 1（すなわちd _F / k _B T > 1 ）の場合に有効です。したがって、 k _B T < d _Fとなる温度の場合：

ここで、展開は ( π k _B T / d _F ) ≪ 1 の場合にのみ有効です。例の値 ( φ = 4.5 eV、F = 5 V/nm、T = 300 Kの場合) はλ _T = 1.024です。通常の考え方では、CFE 領域では、λ _Tは他の不確実性と比較して常に小さく、通常は室温での電流密度の式に明示的に含める必要はありません。

金属の放出領域は、実際には、与えられた放出方程式のファミリーが数学的に適切である障壁フィールドFと温度Tの範囲によって定義されます。障壁フィールドF が、0 K で金属放出に対して CFE 領域が機能するのに十分高い場合、条件k _B T < d _{F は}CFE 放出領域の正式な上限 (温度) を提供します。ただし、(導出の他の部分で行われた近似により) 条件k _B T < 0.7 d _Fの方がより実用的な限界であると主張されています。これは、約 1.09 のλ _T値に対応し、(この例では) CFE 領域の上限温度は約 1770 K です。この限界は障壁フィールドの関数です。^{[33] [72]}

ここでの結果(28)は、どんな形状の障壁にも当てはまることに注意する(ただし、d _Fは障壁によって異なる)。

結果 (23) は、原子レベルの効果を考慮した場合、バンド構造がもはや自由電子的でなくなったときに何が起こるかについてもある程度理解することにつながります。原子イオンコアが存在するため、表面障壁、および表面の電子波動関数は異なります。これは、補正係数、プレファクターP、および (限られた範囲で) 補正係数λ _dの値に影響します。これらの変化は、今度はパラメーターD _Fおよび (限られた範囲で) パラメーターd _Fの値に影響します。実際の金属の場合、供給密度はエネルギー空間内の位置によって変化し、ポイント "F" での値はゾンマーフェルトの供給密度と異なる場合があります。この効果は、電子バンド構造補正係数λ _{B を}式 (23) に導入することで考慮できます。Modinos はこの係数の計算方法について説明しており、この係数は 0.1 から 1 の間になる可能性が高いと推定しています。これらの限界の外側にある可能性はあるが、 0.01 < λB < 10の_範囲外にある可能性はほとんどない。^[75]${\displaystyle \nu }$

総供給補正係数λZ_をλTλBλd2 と定義し、上記の式_を組み合わせると、いわゆる物理的に完全なファウラー・ノルドハイム型方程式が得_られる。[ ^{76 ]}

ここで、[= ( φ , F )] は、高さφが減少していない障壁の指数補正係数です。これは、ファウラー・ノルドハイム型の最も一般的な方程式です。このファミリーの他の方程式は、含まれる 3 つの補正係数、P _{F 、}およびλ _Zに特定の式を代入することで得られます。学部生の教科書の電界放出の説明に登場する、いわゆる基本的なファウラー・ノルドハイム型方程式は、λ _Z → 1、P _F → 1、→ 1と置くことで得られます。これは、障壁を物理的現実よりも強くするため、適切な定量的予測は得られません。いわゆる標準的なファウラー・ノルドハイム型方程式は、もともとマーフィーとグッドによって開発され^[72]、過去の文献で多用されているが、λ _Z → t _F ⁻²、P _F → 1、→ v _Fと置くことで得られる。ここでv _Fはv ( f )であり、 f はh = φと置くことで得られるf _hの値であり、t _{F は}関連するパラメータ（1に近い値）である。^[69]${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$

ここで説明したより完全な理論では、係数t _F ^{−2 は補正係数}λ _d ²の構成要素です[ ^[67]を参照。λ _d ^{2 はそこで}λ _Dと表記されています]。t F ⁻²_を個別に特定し続けることに大きな価値はありません。おそらく、現在の知識では、金属からの CFE のモデリングに基づく単純な Fowler–Nordheim 型方程式の最良の近似は、 λ Z → 1 、 P F → 1 、 → v ( f ) と置くことで得られます。これ_は、 1956年_にDykeとDolanによって使用された Fowler–Nordheim 型方程式を再生成するもので、「簡略化された標準 Fowler–Nordheim 型方程式」と呼ぶことができます。 ${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$

明示的には、この推奨される簡略化された標準ファウラー・ノルドハイム型方程式と関連する公式は次のとおりです。

ここでF _{φ は}、局所仕事関数φに等しい、高さが低減されていないショットキー・ノルドハイム障壁をゼロにするために必要な電界であり、f は高さが低減されていないショットキー・ノルドハイム障壁のスケーリングされた障壁電界である。[この量f は、より正確にはf _φ ^SNと表記することもできるが、単純なf が式 (2.16)のf _φ ^SNで表される量を意味するという慣例を採用すると、このファウラー・ノルドハイム型方程式がすっきりして見える。] 例の場合 ( φ = 4.5 eV、F = 5 V/nm )、f ≈ 0.36およびv ( f ) ≈ 0.58 である。これらのパラメータの実際的な範囲については^、[77]でさらに議論されている。

変数f (スケールされた障壁場)は、過去の電界放出の文献で広く使用されている変数y (ノルトハイムパラメータ) と同じではないこと、および「 v ( f )」は電界放出の文献に出てくる量「 v ( y )」と同じ数学的な意味と値を持たないことに注意する。ここで説明する改訂理論の文脈では、v ( y ) の式とv ( y ) の値の表は無視するか、v ( f ^{1/2 ) の値として扱う必要がある。} v ( f )のより正確な値が必要な場合は、^[69]で、 v ( f ) の値を 8×10 ⁻¹⁰より優れた絶対数学的精度で与える式が提供される。ただし、絶対数学的精度が 0.0025 より優れた値をもたらす上記の近似式 (30c) は、あらゆる技術的目的に十分な精度の値を与えるはずである。^[69]

ファウラー・ノルドハイム型方程式を導出する方法について歴史的な注釈が必要である。自由電子理論を用いてこれらの方程式を導出するアプローチはいくつか考えられる。ここで使用するアプローチは2004年にフォーブスによって導入されたもので、「平行運動エネルギーK _{p を}積分の最初の変数として使用して、全エネルギー分布を介して積分する」と説明できる。^[73]基本的に、これは「表面ブリルアンゾーンにわたって積分する」というモディノス手順^{[33] [75]}（より高度な量子力学的処理）の自由電子版である。対照的に、1959年のヤング^[31] 、 1973年のガズクとプラマー^[34]、および1984年のモディノス^[33]によるCFEの自由電子処理も全エネルギー分布を介して積分するが、積分の最初の変数として法線エネルギーε _n（または関連量）を使用する。

1928 年の Nordheim の独創的な論文^[78]に基づく、問題を別の形で定式化し、最初にK _{p を}使用し、次にε _n (または関連する量) を積分の変数として使用する、より古いアプローチもあります。これは、「通常エネルギー分布による積分」として知られています。このアプローチは、一部の著者によって引き続き使用されています。特に共鳴現象を議論する場合にいくつかの利点がありますが、積分の最初の段階でフェルミ–ディラック分布関数の積分が必要です。自由電子に似ていない電子バンド構造の場合、これは非常に複雑でエラーが発生しやすい数学につながる可能性があります (半導体に関する Stratton の研究のように)。^[79]さらに、通常エネルギー分布による積分では、実験的に測定された電子エネルギー分布は生成されません。

一般的に、ここで使用されているアプローチは理解しやすく、より単純な数学につながります。

また、この方法は原理的に、実際のバルク結晶固体を扱う際に用いられるより洗練された方法に近い。その方法の第一歩は、波数ベクトル空間（k空間）内の一定エネルギー面上でECDへの寄与を積分するか、または関連する表面ブリルアンゾーン上で寄与を積分することである。^{[34] [33] Forbes}の方法は、変数K _{pを使用して放射面に対して垂直な方向の軸を中心に円筒対称性を持つリング状の積分要素を定義し、} k空間内の球面上で積分するか、または円形リング要素を使用して（拡張された）表面ブリルアンゾーン上で積分するかのいずれかである。

前のセクションでは、ファウラー・ノルドハイム型方程式の導出方法について説明しました。厳密に言えば、これらの方程式はバルク金属からのCFEにのみ適用されます。次のセクションの考え方は、より一般的にCFEに適用されますが、式(30)を使用して説明します。

CFE の場合、基本的な理論的処理により、放出面上の局所位置における局所放出電流密度Jと局所障壁場Fの関係が提供されます。実験では、放出面の特定の部分からの放出電流i を、ある対向電極に印加された電圧Vの関数として測定します。これらの変数をJおよびFに関連付けるために、補助方程式が使用されます。

電圧から障壁電界への変換係数 βは次のように定義されます。

Fの値はエミッタ表面上の位置によって変化し、それに応じてβの値も変化します。

金属エミッターの場合、与えられた位置のβ値は、次の条件下では一定（電圧に依存せず）となる。(1)装置は「ダイオード」配置であり、存在する電極はエミッターと一連の「周囲」のみで、そのすべての部分が同じ電圧になっている。(2)有意な電界放出真空空間電荷（FEVSC）は存在しない（これは、約10 ⁹ A/m ²以上の非常に高い放出電流密度を除いて当てはまる^{[27] [80]}）。(3)局所的な仕事関数の不均一性の結果として、有意な「パッチフィールド」は存在しない^{[63] （これは通常当てはまると想定されるが、状況によっては当てはまらない場合がある）。非金属の場合、「電界浸透」および「}バンドベンディング」と呼ばれる物理的効果[M084]により、 βは印加電圧の関数になる可能性があるが、驚くべきことに、この効果についての研究はほとんど行われていない。

放出電流密度J は、エミッタ表面上の位置によって変化します。エミッタの特定の部分からの総放出電流i は、この部分にわたってJ を積分することによって得られます。 i ( V )の簡単な式を得るには、次の手順を使用します。エミッタ表面のこの部分内で基準点 "r" (通常は電流密度が最も高い点) を選択し、この基準点の電流密度をJ _{rで表します。次に、}概念放出領域(点 "r" を基準) と 呼ばれるパラメータA _{r を次のように定義します。}

ここで積分は、関心のあるエミッターの部分にわたって行われます。

このパラメータA _{r は}、1929 年に Stern、Gossling、Fowler によって CFE 理論に導入されました (彼らはこれを「加重平均面積」と呼びました)。^[16]実際のエミッターの場合、Fowler–Nordheim タイプの方程式で使用される放出電流密度は、常に何らかの基準点における電流密度です (ただし、これは通常明記されません)。長年確立された慣例により、この基準電流密度は単純な記号Jで表され、対応する局所場と変換係数は、上記の下付き文字「r」なしで単純な記号Fとβで表されます。以下では、この慣例を使用します。

概念的な放射面積Ar_は、多くの場合、基準となる局所電界（したがって電圧）の関数となり、^[30]場合によっては温度の重要な関数となることもあります。

A _{r は}数学的な定義を持つため、電界電子（放出）顕微鏡で単一点放出源から放出が観察される領域と必ずしも一致するわけではありません。多数の個別の放出サイトを含む大面積放出源の場合、A _{r は}、視覚的に観察される放出源の「マクロ的」幾何学的領域（A _M ）よりも常に非常に非常に^{[明確化が必要]}小さくなります（以下を参照）。

これらの補助方程式を式（30a）に組み込むと、

これは、 i – V形式の簡略化された標準ファウラー・ノルドハイム型方程式です。対応する「物理的に完全な」方程式は、 λ _Z P _Fを乗算することで得られます。

前のセクションの式は、CFE モードで動作するすべてのフィールド エミッターに適用されます。ただし、多数の個別の放出サイトを含む大面積エミッターの場合は、さらに発展させる必要があります。

このようなエミッターの場合、概念的な放出面積は、物理的エミッターの視覚的に観察される見かけの「マクロ的」幾何学的面積（A _{M ）よりも常に非常に非常に}^{[説明が必要]小さくなります。}放出の面積効率である無次元パラメータα _{r は}、次のように定義できます 。

また、「マクロ的」（または「平均」）放出電流密度J _M （エミッターの幾何学的面積A _Mにわたって平均）は、上で使用した 基準電流密度J _{rと次のように関連付けて定義できます。}

これにより、簡略化された標準ファウラー・ノルドハイム型方程式の次の「大面積バージョン」が得られます。

これらの式には両方とも、放出面積効率α _{r が}含まれています。任意のエミッターについて、このパラメーターの値は、通常、よくわかっていません。一般に、α _{r は、異なるエミッター材料間、および異なる方法で準備および処理された同じ材料の異なるサンプル間で大きく異なります。10} ⁻¹⁰から 10 ⁻⁶の範囲の値である可能性が高いと思われますが、この範囲外の値になる可能性もあります。

式(36)のαrの存在は、文献でしばしば引用されるマクロな電流密度（スピントアレイ^[50]以外の多くの形式の大面積エミッタでは_{典型的には10A/} ^{m2 ）と、実際の放出部位での局所的な電流密度（大きく変化する可能性があるが、一般的には109A}  /m2^程度、あるいはそれよりわずかに小さい可能性がある ）との間の差を説明しています。

大面積エミッターに関する技術文献の大部分は、局所電流密度とマクロ電流密度、または概念的エミッション面積A _rとマクロ面積A _Mを明確に区別しておらず、引用された式からパラメーターα _{r を}省略しています。解釈の誤りを避けるために注意が必要です。

変換係数β _{r を、}エミッターとその周囲の全体的な形状に関連する「マクロ部分」と、エミッター表面の非常に局所的な構造が電界を強化する能力に関連する「ローカル部分」に分割すると便利な場合もあります。これは通常、「マクロフィールド」F _{M を}定義することによって行われます。これは、強化を引き起こすローカル構造がない場合に放出サイトに存在するフィールドです。このフィールドF _Mは、次のように定義される 「電圧からマクロフィールドへの変換係数」β _{Mによって印加電圧に関連付けられます。}

距離Wで分離された 2 つの平行プレートで構成され、そのうちの 1 つに発光ナノ構造が作成されたシステムの一般的なケースでは、 β _M = 1/ Wです。

「場の増強係数」γは次のように定義され、 β _rとβ _Mの値と関連付けられる。

式(31)を用いると、次の式が得られる。

ここで、通常の慣例に従い、参照点に関連するパラメータから接尾辞「r」が削除されました。さまざまなエミッター形状、特に「柱上の半球」に対して、古典的な静電気を使用してγを推定するための公式が存在します。 ^[81]

式(40)は、 FまたはβVのいずれかをどこでも に置き換えたファウラー・ノルドハイム型方程式のバージョンを書くことができることを意味している。これは、局所エミッタナノ構造の電界増強特性に主な関心がある技術的応用でよく行われる。しかし、過去のいくつかの研究では、障壁電界Fと巨視的電界F _Mを明確に区別しなかったために混乱や誤りが生じている。 ${\displaystyle \gamma F_{\mathrm {M} }}$

より一般的には、大面積電界放出器の技術開発の目的は、放出面積効率αrの値を増加させることによって放出の均一性を高め、 _βの値を増加させることによって有意な放出が発生する「開始」電圧を下げることである。式（41）は、これが2つの方法で実行できることを示している。「高γ 」ナノ構造を開発するか、 βM_が増加するようにシステム全体の形状を変更するかのいずれかである。さまざまなトレードオフと制約が存在する。

実際には、上記で使用したマクロフィールドの定義は最も一般的なものですが、文献では、特に個々のエミッターのi - V特性を調べるためのプローブの使用に関連して、他の（異なる定義の）タイプのマクロフィールドとフィールド増強係数が使用されています。^[82]

技術的な文脈では、電界放出データは、多くの場合、 F _Mまたは 1/ F _M (の特定の定義) をx座標として使用してプロットされます。ただし、科学的分析では、通常、実験データを事前に操作するのではなく、生の測定されたi – Vデータを直接プロットする方が適切です。γ (のさまざまな形式)などの技術的パラメータの値は、関連する定義を使用して、 i – Vデータ プロットの適合パラメータから取得できます(以下を参照)。

電界放出理論における理論的導出のほとんどは、障壁がショットキー・ノルドハイム形式（式3）をとるという仮定の下で行われている。しかし、この障壁形式は、トンネル障壁の長さに匹敵する曲率半径Rを持つエミッターには有効ではない。トンネル障壁の長さは仕事関数と電界に依存するが、実用上興味深いケースでは、次の段落で説明するように、半径R > 20 nmのエミッターに対してSN障壁近似が有効であると考えられる。

SN バリア近似の主な仮定は、静電ポテンシャル項がトンネル領域で線形形式をとるというものです。後者は の場合にのみ成立することが証明されています。^[83]したがって、トンネル領域の長さが であれば、それがすべてトンネルプロセスを決定します。したがって、式 (1) が成立し、SN バリア近似が有効です。トンネル確率が測定可能な電界放出を生成するのに十分高い場合、L は 1～2 nm を超えません。したがって、SN バリアは数十 nm 程度の半径を持つエミッターに有効です。 ${\displaystyle \Phi =Fx}$${\displaystyle x\ll R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x<L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L\ll R}$

しかし、現代の放射体はこれよりもはるかに鋭く、半径は数nm程度である。そのため、標準的なFN方程式、またはSN障壁を仮定したそのバージョンは、このような鋭い放射体に対しては大きな誤差をもたらす。これは理論的に示されており^{[84] [85] 、実験的にも確認されている[86]}。

^{上記の問題は、キリタキスとザンタキス[83]} によって取り組まれ、彼らはSN障壁をエミッター曲率の静電効果を含めることで一般化した。平均曲率半径（2つの主曲率の平均の逆数）を持つエミッターの一般的な障壁形式は、次のように漸近的に展開できる^[87]。${\displaystyle R}$

すべての項を無視し、この障壁に対してJWKB近似(4)を適用すると、ガモフ指数は式(5)を一般化した形をとる。 ${\displaystyle O(x/R)^{2}}$

ここで、は(30d)で定義され、は(30c)で与えられ、(30c)と同様の方法で近似できる新しい関数である（文献^[83]には誤植があるが、ここでは修正されている）。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle v(f)}$${\displaystyle \omega (f)}$

ガモフ指数を無電界障壁高さの関数として表す式から、冷電界放出の放出電流密度は式(23)から得られる。 ${\displaystyle h}$

ここで関数と関数は次のように定義される。 ${\displaystyle \lambda _{d}(f)}$${\displaystyle \psi (f)}$

そして

式(46)では、完全性を保つために、λ _{d は}(29)や(30a)のように1で近似されていないが、ほとんどの実用例では非常に良い近似である。これとは別に、式(43)、(44)、(46)は、R → ∞の極限で、標準的なファウラー・ノルドハイム理論(3)、(9)、(30a)の対応する式と一致する。これは、前者の式が後者を一般化しているので予想されることである。

最後に、上記の解析は、 SN障壁を用いた標準的なファウラー・ノルドハイム理論と同様に、 L ≪ R の限界で漸近的であることに注意する。しかし、2次項を追加することで、曲率半径が約5～20 nmの範囲にあるエミッターに対して大幅に精度が向上する。より鋭いエミッターの場合、電流密度の一般的な近似値は存在しない。電流密度を得るためには、静電ポテンシャルを計算し、JWKB積分を数値的に評価する必要がある。この目的のために、科学計算ソフトウェアが開発されている（GETELEC ^[88]を参照）。

CFE 理論開発の現段階では、理論的な CFE 方程式と経験的な CFE 方程式を区別することが重要です。前者は凝縮物質物理学から導き出されたものです (ただし、詳細な開発は困難です)。一方、経験的な CFE 方程式は、電流iの電圧 Vへの依存性の実際の実験形式を単純に表現しようとします。

1920年代には、実験的なCFEの結果を説明するために想定された片対数方程式の指数に現れるVのべき乗を見つけるために経験式が使用されました。1928年に理論と実験が統合され、このべき乗は（おそらく非常に鋭いエミッターを除いて） V ⁻¹であることが示されました。最近、CFE実験は、次の経験的CFE方程式の前指数におけるVのべき乗（ κ）を見つけるために行われるべきであると示唆されています。 ^[89]

ここで、B、C、κは定数として扱われます。

式（42）から、

1920年代の実験技術では、κ = 0（ミリカンとローティセンが仮定）^[13]とκ = 2（オリジナルのファウラー・ノルドハイム型方程式で予測）の結果を区別できませんでした。^{[1]しかし、現在では、dlni/d(1/V)のかなり正確な測定（必要に応じて}ロックインアンプ/位相敏感検出技術とコンピュータ制御機器を使用）を行い、適切なデータプロットの傾きからκを導き出すことが可能になっています。^[50]

近似式（30b）の発見により、バルク金属からのCFEであってもκ = 2の値は期待できないことが非常に明確になりました。これは次のように示されます。上記の式（30c）を使用すると、無次元パラメータηは次のように定義されます。

φ = 4.50 eVの場合、このパラメータの値はη = 4.64です。f = F / F _φであり、v ( f )は式(30b)で与えられるため、簡略化された標準ファウラー・ノルドハイム型方程式(30)の指数は別の形式で表すことができ、次のように展開されます。^[69]

変換係数β が電圧に依存しないと仮定すると、パラメータf はf = V / V _φという別の定義を持ちます。ここで、V _{φ は}、特定の実験システムでショットキー・ノルドハイム障壁の高さをφからゼロに下げるために必要な電圧です。したがって、理論式 (30) の指数の係数v ( f ) が、経験式の前指数に追加のV依存性を生じさせることは明らかです。したがって、(ショットキー・ノルドハイム障壁による効果と、 φ = 4.5 eVのエミッターの場合)、次の予測が得られます。

ファウラー・ノルドハイム型方程式の他の要素、特に仮想放出面積^[30] A _rと局所仕事関数にも電圧依存性がある可能性があるため、局所仕事関数が4.5 eVの金属からのCFEのκが必ずしもκ = 1.23の値を持つとは期待されませんが、元のファウラー・ノルドハイム値κ = 2を持つと期待する理由は確かにありません。^[90]

この提案の最初の実験的検証はカークによって行われ、彼は少し複雑な形式のデータ分析を使用して、パラメータ κの値を1.36としました。彼のパラメータκはここで使用されているパラメータκと非常に似ていますが、まったく同じではありません。しかし、彼の結果は、この形式の分析の潜在的な有用性を裏付けているようです。^[91]

経験的 CFE 方程式 (42) の使用とκの測定は、非金属の場合に特に有用である可能性がある。厳密に言えば、ファウラー・ノルドハイム型方程式はバルク結晶固体の伝導帯からの放射にのみ適用される。しかし、形式 (42) の経験的方程式はすべての材料に適用できるはずである (ただし、非常に鋭い放射体の場合は修正が必要になる可能性がある)。新しい材料の CFE 方程式がファウラー・ノルドハイム型方程式と異なる点の 1 つは、これらの CFE 方程式の前指数関数のF (またはV ) のべき乗が異なる可能性があることである可能性が非常に高いと思われる。κの測定は、このことを実験的に示してくれるかもしれない。

^{ファウラーとノルドハイム[1]}によって導かれた元の理論方程式は、過去 80 年間、実験 CFE データのプロットと分析の方法に影響を与えてきました。1929年にスターンらによって導入された、非常に広く使用されているファウラー – ノルドハイム プロット^[16]では、量 ln{ i / V ^{2 } が 1/} Vに対してプロットされます。当初の考えは、(元の基本的なファウラー – ノルドハイム型方程式によって予測されたように) 傾き S _FNの正確な直線が生成されるというものでした。S _{FN は}、i – V形式のファウラー – ノルドハイム型方程式の指数に現れるパラメーターと次のように関係します。

したがって、φがわかればβ を決定することができ、その逆も同様です。

[原理的には、局所的な電界増強ナノ構造が存在し、マクロな変換係数β Mが決定できるシステム形状では、βを知ることで、エミッターの有効電界増強係数γの値を式γ = β / β Mから決定することができます。プレート間隔W（したがってβ _M = 1 / W ）の2プレート配置_の1つのプレート_上に生成さ れたフィルムエミッターの一般的なケースでは、

現在、これはファウラー・ノルドハイム・プロットの最も可能性の高い応用例の 1 つです。

その後、上記の当初の考え方は、物理的に非現実的な平らなエミッターと正確な三角形の障壁の状況に対してのみ厳密に正しいことが明らかになりました。実際のエミッターと実際の障壁に対しては、「傾斜補正係数」σ _FNを導入する必要があり、修正された式が得られます。

σ _FNの値は、原理的には、電圧依存性を持つ i ( V )の物理的に完全なファウラー・ノルドハイム型方程式の任意のパラメータによって影響を受けます。

現在、重要だと考えられている唯一のパラメータは障壁の形状に関連する補正係数であり、十分に確立された詳細な理論がある唯一の障壁はショットキー・ノルドハイム障壁である。この場合、σ _{FN は}sと呼ばれる数学関数によって与えられる。この関数s は、1953 年にバージェス、クローマー、ヒューストンによって初めて（ノルドハイムパラメータyの関数として）正しく表にまとめられた。 ^[71]そして、ショットキー・ノルドハイム障壁のスケールされた障壁場fの関数としてs を与える現代的な処理はに示されている。^{[69]しかし、実際のエミッタ動作では、} sの値が0.9 ～ 1 の範囲にある ことはずっと以前から明らかであった。${\displaystyle \nu _{\mathrm {F} }}$

_{実際には、傾き補正係数を}詳細に考慮することに伴う余分な複雑さのため、多くの著者は（事実上）式（49）でσFN = 1とし、それによってβおよび/またはγの推定値に系統的誤差を生じさせ、通常は約5%であると考えられている。

しかし、原理的にはファウラー・ノルドハイム型方程式よりも一般的な経験式（42）は、電界放出i - Vデータを解析する新しい方法をもたらす可能性がある。一般的に、経験式のパラメータBは、トンネル電子が見るある特性障壁の 減少していない高さHと関係があると仮定できる。

（ほとんどの場合、必ずしもすべてではありませんが、H は局所仕事関数に等しくなります。これは金属の場合に確かに当てはまります。）問題は、実験によってBの値をどのように決定するかです。 2つの明らかな方法があります。（1）式（43）を使用して、  [−dln{ i }/d(1/ V ) vs. V ]の形のプロットの傾きから、κのかなり正確な実験値を決定できるとします。この場合、2番目のプロット、ln( i )/ V ^κ vs. 1/ Vは、傾きが − Bの正確な直線になるはずです。このアプローチは、 B を決定する最も正確な方法のはずです 。

（２） κの値が正確には分かっておらず、正確に測定できないが、推定または推測できる場合は、Bの値は[ln{ i } vs. 1/ V ]の形のプロットから導き出すことができる。これは、1928年にミリカンとローリッセンが使用したプロットの形である。式（43）を整理すると、

したがって、ミリカン・ローリッセンプロットの平均傾きを 1/ Vのある範囲にわたって決定し、その範囲の中点での 1/ Vの値とκの想定値を使用して補正を適用することによって、 Bをかなりの近似値で決定することができます。

ファウラー・ノルドハイム・プロットと傾き補正係数ではなく、ミリカン・ローリッセン・プロットとこの形式の補正手順を使用する主な利点は次のとおりです。(1) プロット手順がわずかに簡単になります。(2) 補正には、計算する必要がある物理パラメータ ( f ) ではなく、測定された量である物理パラメータ ( V ) が含まれます [次にs ( f )の値、またはより一般的にはσ _FN ( f ) の値を計算します]。(3) パラメータκ自体と補正手順は、どちらもファウラー・ノルドハイム・プロットの同等のものよりも透明性が高く (理解しやすい) です。 (4) この手順では、 κの値に影響を与えるすべての物理的効果が考慮されるが、ファウラー・ノルドハイム・プロット補正手順 (過去 50 年間実施されてきた形式) では、障壁の形状に関連する効果のみを考慮し、さらに、この形状がショットキー・ノルドハイム障壁であると仮定している。 (5) 理論的関心と技術的関心がより明確に分離されている。理論家は、κの測定値が CFE 理論についてどのような情報を提供するかを確立することに関心があるが、実験家は、 κの測定値を使用して、必要に応じてより正確な場の増強係数を推定することができる。^{[引用が必要]}

ミリカン・ローリッセンプロットのこの補正手順は、 κの測定が十分に行われ、典型的な値が実際にどのようなものかをより正確に把握できるようになると、より簡単に適用できるようになります。現時点では、ほとんどの材料でκ は-1 < κ < 3 の範囲にあると考えられます。^{[引用が必要]}

上記の金属から CFE の近似理論を展開するのは、以下の理由から比較的簡単です。(1) ゾンマーフェルトの自由電子理論は、エネルギーにおける内部電子状態の分布に関する特定の仮定を伴い、多くの金属に第一近似として十分に適用できます。(2) ほとんどの場合、金属には表面状態がなく、(多くの場合) 金属波動関数には重要な「表面共鳴」がありません。(3) 金属はフェルミ準位で高い状態密度を持つため、外部電界を生成/遮蔽する電荷は主に最上層の原子層の外側にあり、意味のある「電界浸透」は発生しません。(4) 金属は高い電気伝導性を持ち、金属エミッター内部で大きな電圧降下は発生しません。これは、電子の放出表面への供給を妨げる要因がなく、この領域の電子が有効な局所熱力学的平衡と、エミッターが取り付けられている金属支持構造内の電子との有効な熱力学的平衡の両方にあることを意味します。 （５）原子レベルの影響は無視される。^[要出典]

電界電子放出の「単純な」理論、特にファウラー・ノルドハイム型方程式の開発は、上記の 5 つの要素すべてが真であることを前提としています。金属以外の材料 (および原子的に鋭い金属エミッター) の場合、上記の要素の 1 つ以上が真ではありません。たとえば、結晶半導体は自由電子のようなバンド構造を持たず、表面状態を持ち、電界浸透とバンドベンディングの影響を受け、内部電圧降下と表面状態電子分布とバルクバンド構造の表面領域の電子分布との統計的分離の両方を示す場合があります(この分離は「モディノス効果」として知られています)。^{[33] [92]}

実際には、実際のファウラー・ノルドハイム・トンネル過程の理論は、すべての材料に対してほぼ同じです (ただし、障壁の形状の詳細は異なる場合があり、進行波状ではなく局所的な初期状態用に修正理論を開発する必要があります)。ただし、そのような違いにもかかわらず、(熱力学的平衡状況では) すべての CFE 方程式の指数は、一般的に同様の動作をすることが予想されます。これが、ここで示した導出の範囲外の材料にファウラー・ノルドハイム型方程式を適用するとうまくいくことが多い理由です。ファウラー・ノルドハイムまたはミリカン・ローリッセン プロットの傾きと CFE 方程式の指数に関連するパラメーター (電界増強係数など) のみに関心がある場合は、ファウラー・ノルドハイム型理論によって適切な推定値が得られることがよくあります。ただし、意味のある電流密度値を導出しようとすると、通常は、または常に失敗します。

ファウラー・ノルドハイムプロットやミリカン・ローリッセンプロットの直線は、対応する物質からの放出がファウラー・ノルドハイム型の方程式に従うことを示しているわけではないことに注意されたい。それは、個々の電子の放出メカニズムがおそらくファウラー・ノルドハイムトンネル効果であることを示しているだけである。^[要出典]

異なる材料は、内部電子状態のエネルギー分布が根本的に異なる場合があり、そのため、内部電子状態に対する電流密度の寄与を積分するプロセスでは、異なるクラスの材料に対して、電流密度の指数前関数の表現が著しく異なる可能性があります。特に、指数前関数に現れる障壁場のパワーは、元のファウラー・ノルドハイム値「2」と異なる場合があります。この種の効果の調査は、現在も活発に研究されています。原子レベルの「共鳴」効果と「散乱」効果が発生した場合、理論も修正されます。

材料が電界浸透やバンドベンディングの影響を受ける場合、CFE の詳細な理論を開発する前に、このような効果 (材料のクラスごとに) に関する適切な理論を用意しておく必要があります。電圧降下効果が発生する場合、放出電流の理論は、程度の差はあれ、内部輸送効果を含む理論になり、非常に複雑になる可能性があります。

• 電界放出顕微鏡
• 電界放出プローブ
• フィールドエミッタアレイ
• 電界放出ディスプレイ
• フランツ・ケルディッシュ効果

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