マクローリンの三等分線

代数幾何学において、マクローリンの三等分線は、三等分線の性質を持つ平面三次曲線であり、角度を三等分するために使用できます。これは、 2 本の直線が等速で別々の点の周りを回転し、回転速度の比が 1:3 で、2 本の直線が最初 2 点間の直線と一致するときの交点の軌跡として定義できます。この構成を一般化したものマクローリンの等分線と呼ばれます。この曲線は、1742 年にこの曲線を調査したコリン・マクローリンにちなんで名付けられました。

2 本の直線が点 と の周りを回転するとします。2本の直線がx軸に対して角度 を持つとき、 2 本の直線が x 軸に対して角度 を持ちます。を交点とすると、2 本の直線が で形成する角度は です。正弦定理により、 ${\displaystyle P=(0,0)}$${\displaystyle P_{1}=(a,0)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle 3\theta }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle 2\theta }$

${\displaystyle {r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }\!}$

したがって、極座標の方程式は（平行移動と回転を除いて）

${\displaystyle r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta ).\!}$

したがって、この曲線はde Sluze ファミリーの貝殻類に属します。

この曲線の方程式 は直交座標では

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}).\!}$

原点を（ a 、0）に移動すると、上記と同様の導出により、極座標における曲線の方程式は次のようになる。

${\displaystyle r=2a\cos {\theta \over 3},\!}$

ループ付きのリマコンの例になります。

角度 が与えられたとき、軸との角度が である光線を から描きます。原点から最初の光線が曲線と交差する点まで光線を描きます。すると、曲線の構築により、2 番目の光線と 軸の間の角度はになります。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle (a,0)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi /3}$

曲線はにx 切片を持ち、原点に二重点を持ちます。垂直線は漸近線です。曲線は で直線 x = a、つまり直角の三等分に対応する点と交差します。節点のある3 次曲線であるため、種数は 0 です。 ${\displaystyle 3a \over 2}$${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$${\displaystyle (a,{\pm {1 \over {\sqrt {3}}}a})}$

マクローリンの三等分線は、円錐曲線から 3 つの方法で定義できます。具体的には、次のとおりです。

• これは双曲線の単位円に対する逆数である。

${\displaystyle 2x=a(3x^{2}-y^{2}).}$

• それは円のシソイドです

${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$

原点を基準とした線です。${\displaystyle x={a \over 2}}$

• それは放物線の原点に対するペダルである

${\displaystyle y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a).}$

加えて：

• この点に関する逆はリマソン三等分線です。${\displaystyle (a,0)}$
• マクローリンの三等分線は、アフィン変換によってデカルトの葉系と関連しています。

• J. Dennis Lawrence (1972)。特殊平面曲線のカタログ。Dover Publications。pp . 36、95、104–106。ISBN 0-486-60288-5。
• ワイスタイン、エリック・W.「マクローリン・トライセクトリックス」。マスワールド。
• MacTutor の有名な曲線インデックスの「マクローリンの三等分線」
• mathcurve.com のマクローリン三等分線
• 特殊平面曲線のビジュアル辞書の「マクローリンの三等分線」

ウィキメディア・コモンズには、マクローリンの三等分法に関連するメディアがあります。

• ロイ、ジム「角度の三等分」、第 6 部