トマホーク（幾何学）

トマホークは幾何学において、角の三等分（角度を3等分する問題）を行うための道具である。その形状の境界には半円と2つの線分が含まれ、ネイティブアメリカンの斧であるトマホークに似た形で配置されている。 ^[1]^{[2]同じ道具は}靴屋のナイフとも呼ばれるが、^{[3]この名前は幾何学ではより一般的には別の形状、}アルベロス（互いに接する3つの半円で囲まれた曲線三角形）を指すために使用される。 ^[4]

説明

トマホークの基本的な形状は、半円（トマホークの「刃」）、半円の直径と同じ線に沿って伸びる半径の長さの線分（その先端がトマホークの「スパイク」）、および直径に垂直な任意の長さの別の線分（トマホークの「ハンドル」）で構成されています。物理的なツールにするために、ハンドルに沿った線分が形状の境界の一部であり続ける限り、ハンドルとスパイクを太くすることができます。大工の定規を使用した関連する三等分とは異なり、太いハンドルの反対側をこの線分と平行にする必要はありません。^[1]

いくつかの資料では、半円ではなく完全な円が使用されており^[5]、またはトマホークも半円の直径に沿って太くされています^[6] が、これらの変更は三等分器としてのトマホークの動作に違いをもたらしません。

三等分

トマホークを使って角を三等分するには、トマホークの柄の線が角の頂点に接し、刃が角の内側にあり、角を形成する2本の線のうちの1本に接し、スパイクが角のもう1本の線に接するように配置します。2本の三等分線のうち1本は柄の部分に位置し、もう1本は半円の中心点を通ります。^[1]^[6]三等分する角がトマホークの柄の長さに比べて鋭すぎる場合は、この方法ではトマホークを角に当てはめることができない可能性がありますが、トマホークが三等分できる大きさになるまで角度を繰り返し2倍にし、次に元の角度を2倍にした回数と同じ回数だけ三等分した角度を繰り返し2等分することで、この問題を回避できます。 ^[2]

角の頂点を $A$ 、刃の接点を $B$ 、半円の中心を $C$ 、柄の頂点を $D$ 、スパイクを $E$ とすると、三角形 $△ ACD$ と $△ ADE$ はどちらも底辺を共有し高さが等しい直角三角形なので、合同な三角形です。三角形 $△$ $ABC$ の辺 $AB$ と $BC$ はそれぞれ半円の接線と半径なので、互いに直角であり、 $△$ $ABC$ $も直角三角形です。 △$ $ACD$ と同じ斜辺を持ち、同じ辺の長さ $BC$ $=$ $CD を$ 持つので、やはり他の 2 つの三角形と合同であり、頂点で形成される 3 つの角度が等しいことがわかります。^[5]^[6]

トマホーク自体はコンパスと定規を使って作ることができ、^[7]角度を三等分するのに使うこともできるが、これはピエール・ワンツェルの1837年の定理、つまりコンパスと目盛りのない定規だけでは任意の角度を三等分することはできないという定理に矛盾しない。^[8]その理由は、作ったトマホークを必要な位置に置くことは、コンパスと定規を使った作図では許されないニューシスの一種だからである。 ^[9]

歴史

トマホークの発明者は不明だが^[1]^[10]、最も古い文献は19世紀フランスで発見されている。少なくとも1835年には遡り、クロード・ルシアン・ベルジェリーの著書『産業における応用幾何学、芸術家と労働者の使用』（第3版）に登場する。^[1]同じ三等分法に関する初期の出版物は1877年にアンリ・ブロカールによるものである。 ^[11]ブロカールは、1863年にフランス海軍士官ピエール＝ジョセフ・グロタンの回想録 [d]がその発明であると主張している。^[12]^[13]^[14]

参考文献

^ abcde イェーツ、ロバート C. (1941)、「三等分問題、第 3 章: 機械的な三等分線」、全米数学雑誌、15 (6): 278–293、doi :10.2307/3028413、JSTOR 3028413、MR 1569903。
^ ab ガードナー、マーティン（1975）、数学カーニバル：ペニーパズル、カードシャッフル、電光石火の電卓のトリックから4次元へのジェットコースターライドまで、クノップフ、pp. 262-263。
^ ダドリー、アンダーウッド（1996）、トライセクター、MAAスペクトラム（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、pp. 14-16、ISBN 9780883855140。
^ アルシーナ、クラウディ、ネルセン、ロジャー B. (2010)、「9.4 靴屋のナイフと塩入れ」、魅力的な証明:エレガントな数学への旅、ドルチアーニ数学解説、第 42 巻、アメリカ数学協会、pp. 147–148、ISBN 9780883853481。
^ ab Meserve, Bruce E. (1982)、代数の基礎概念、Courier Dover Publications、p. 244、ISBN 9780486614700。
^ abc アイザックス、I. マーティン (2009)、大学生のための幾何学、純粋および応用学部テキスト、第8巻、アメリカ数学会、pp. 209–210、ISBN 9780821847947。
^ イヴス、ハワード・ホイットリー（1995）、カレッジジオメトリ、ジョーンズ＆バートレットラーニング、p. 191、ISBN 9780867204759。
^ Wantzel, L. (1837)、「Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas」、Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (フランス語)、1 (2): 366– 372。
^ 「neusis」という単語は、La Nave, Federica、Mazur, Barry (2002)、「Reading Bombelli」、The Mathematical Intelligencer、24 (1): 12–21、doi :10.1007/BF03025306、MR 1889932、S2CID 189888034で説明されています。「単一のパラメータに依存する構造のファミリー」を意味し、パラメータが変化すると、望ましいパラメータ値で構造の組み合わせの変化が発生します。La Nave と Mazur はトマホーク以外の三等分法についても説明していますが、ここでも同じ説明が当てはまります。トマホークのハンドルを頂点に配置し、その光線上のスパイクの位置によってパラメータ化すると、スパイクが正しい位置に配置されると、ブレードと光線の相対的な位置が変化する構造のファミリーが得られます。
^ アボエ、アスガー（1997）、数学初期史のエピソード、新数学図書館、第13巻、アメリカ数学協会、p.87、ISBN 9780883856130。
^ Brocard, H. (1877)、「Note sur la Division mécanique de l'angle」、Bulletin de la Société Mathématique de France (フランス語)、5 : 43–47。
^ Glotin (1863)、「De quelques moyens pratiques de diviser les angle en party égales」、Mémoires de la Société des Sciences physiques et Naturelles de Bordeaux (フランス語)、2 : 253–278。
^ George E. Martin (1998)、「序文」、Geometric Constructions、Springer
^ Dudley (1996) はこれらの名前を誤って Bricard と Glatin と書いています。

外部リンク

特殊な道具を使った三等分：「トマホーク」、岩本貴也、2006年。透明ビニールで作られたトマホーク道具と、他の三等分器との精度の比較が描かれている。
ワイスシュタイン、エリック W.、「トマホーク」、MathWorld
トマホークを使った七角形の建設、アニメーション

[yates-1] イェーツ、ロバート C. (1941)、「三等分問題、第 3 章: 機械的な三等分線」、全米数学雑誌、15 (6): 278–293、doi :10.2307/3028413、JSTOR 3028413、MR 1569903。

[gardner-2] ガードナー、マーティン（1975）、数学カーニバル：ペニーパズル、カードシャッフル、電光石火の電卓のトリックから4次元へのジェットコースターライドまで、クノップフ、pp. 262-263。

[dudley-3] ダドリー、アンダーウッド（1996）、トライセクター、MAAスペクトラム（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、pp. 14-16、ISBN 9780883855140。

[4] アルシーナ、クラウディ、ネルセン、ロジャー B. (2010)、「9.4 靴屋のナイフと塩入れ」、魅力的な証明:エレガントな数学への旅、ドルチアーニ数学解説、第 42 巻、アメリカ数学協会、pp. 147–148、ISBN 9780883853481。

[meserve-5] Meserve, Bruce E. (1982)、代数の基礎概念、Courier Dover Publications、p. 244、ISBN 9780486614700。

[isaacs-6] アイザックス、I. マーティン (2009)、大学生のための幾何学、純粋および応用学部テキスト、第8巻、アメリカ数学会、pp. 209–210、ISBN 9780821847947。

[7] イヴス、ハワード・ホイットリー（1995）、カレッジジオメトリ、ジョーンズ＆バートレットラーニング、p. 191、ISBN 9780867204759。

[8] Wantzel, L. (1837)、「Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas」、Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (フランス語)、1 (2): 366– 372。

[9] 「neusis」という単語は、La Nave, Federica、Mazur, Barry (2002)、「Reading Bombelli」、The Mathematical Intelligencer、24 (1): 12–21、doi :10.1007/BF03025306、MR 1889932、S2CID 189888034で説明されています。「単一のパラメータに依存する構造のファミリー」を意味し、パラメータが変化すると、望ましいパラメータ値で構造の組み合わせの変化が発生します。La Nave と Mazur はトマホーク以外の三等分法についても説明していますが、ここでも同じ説明が当てはまります。トマホークのハンドルを頂点に配置し、その光線上のスパイクの位置によってパラメータ化すると、スパイクが正しい位置に配置されると、ブレードと光線の相対的な位置が変化する構造のファミリーが得られます。

[10] アボエ、アスガー（1997）、数学初期史のエピソード、新数学図書館、第13巻、アメリカ数学協会、p.87、ISBN 9780883856130。

[11] Brocard, H. (1877)、「Note sur la Division mécanique de l'angle」、Bulletin de la Société Mathématique de France (フランス語)、5 : 43–47。

[12] Glotin (1863)、「De quelques moyens pratiques de diviser les angle en party égales」、Mémoires de la Société des Sciences physiques et Naturelles de Bordeaux (フランス語)、2 : 253–278。

[13] George E. Martin (1998)、「序文」、Geometric Constructions、Springer

[14] Dudley (1996) はこれらの名前を誤って Bricard と Glatin と書いています。