分離されたセット

位相幾何学および関連する数学の分野において、分離集合とは、与えられた位相空間の部分集合のペアであり、特定の方法で互いに関連している。大まかに言えば、重なり合うことも接触することもない。2 つの集合が分離しているかどうかの概念は、連結空間(およびその連結成分) の概念と、位相空間の 分離公理の両方にとって重要である。

分離集合は、多少関連はあるものの異なる 分離空間（以下で定義）と混同しないでください。分離空間は、完全に異なる位相概念です。

位相空間の2 つの部分集合とが分離していると見なす方法はさまざまです。 2 つの集合を分離できる最も基本的な方法は、それらが互いに素である場合、つまりそれらの共通部分が空集合である場合です。 この特性は位相自体とは関係がなく、集合論とのみ関係があります。 次の各特性は互いに素であることよりも厳密であり、位相情報を組み込んでいます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$

以下のプロパティは、詳細度の昇順で示されており、それぞれが前のプロパティよりも強力な概念となっています。

セットとセットは${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$それぞれが他方の閉包に分離されます。 ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle A\cap {\bar {B}}=\varnothing ={\bar {A}}\cap B.}$$

この性質はハウスドルフ−レンヌの分離条件として知られています。^[1]すべての集合はその閉包に含まれているので、2 つの分離された集合は自動的に互いに素でなければなりません。閉包自体は互いに素である必要はありません。たとえば、点 1 が両方の閉包に属していても、区間 と は実数直線上で分離されます。より一般的な例は、任意の距離空間において、2 つの開球と は次の場合に分離されるということです。分離されるという性質は、導来集合(プライム記号で示される)によって表現することもできます。とは、互いに素であり、それぞれが他方の導来集合と素である場合に分離されます。つまり、 です(定義の最初のバージョンの場合と同様に、導来集合と は互いに素である必要はありません)。 ${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle (1,2]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\}}$${\displaystyle B_{s}(q)=\{x\in X:d(q,x)<s\}}$${\displaystyle d(p,q)\geq r+s.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\textstyle A'\cap B=\varnothing =B'\cap A.}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle B'}$

セットとセットは${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$近傍で分離されるとは、とあるような の近傍 との近傍が存在する場合です。とは開近傍であるという要件を目にすることがありますが、最終的には何の違いもありません。) と の例ではと取ることができますと が開かつ互いに素である場合と通常の分離公理のように)。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle B}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A=[0,1)}$${\displaystyle B=(1,2],}$${\displaystyle U=(-1,1)}$${\displaystyle V=(1,3).}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle U=A}$${\displaystyle V=B.}$

セットとセットは${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$閉近傍で区切られるとは、 の閉近傍と の閉近傍がありとが互いに素であるときです。私たちの例では、とは閉近傍で区切られていませんまたは のいずれかを閉じることはできますが、 を互いに素のままにしたまま、両方を閉じることはできません。 任意の 2 つの集合が閉近傍で区切られている場合、それらは確実に近傍で区切られていることに注意してください。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle B}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle (1,2],}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

セットとセットは${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$空間から実数直線への連続関数 が存在しかつ、すなわち の要素が0 に写像され、 の要素が1 に写像される場合、は連続関数で分離されているとみなされる。(この定義では の代わりに単位区間と は関数で分離されていない。、点 1 で を連続^[2]の逆像として与えられ、はより小さいの正の実数である。${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(0)}$${\displaystyle B\subseteq f^{-1}(1)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle (1,2]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U=f^{-1}[-c,c]}$${\displaystyle V=f^{-1}[1-c,1+c],}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 1/2.}$

セットとセットは${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$およびとなる連続関数が存在する場合、連続関数によって正確に分離されているといえます(ここでも、と の代わりに単位区間が使用される場合もありますが、この場合も違いはありません)。任意の 2 つの集合が関数によって正確に分離されている場合、それらは関数によって分離されていることに注意してください。 およびはで閉じられている、閉じた集合のみが関数によって正確に分離できますが、2 つの集合が閉じていて関数によって分離されているからといって、それらが関数 (異なる関数であっても) によって自動的に正確に分離されるわけではありません。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle A=f^{-1}(0)}$${\displaystyle B=f^{-1}(1).}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

分離公理は、位相空間に課されるさまざまな条件であり、その多くはさまざまな種類の分離集合の観点から説明できます。例として、分離空間に課される条件であるT _{2公理を定義します。具体的には、任意の 2 つの}異なる点xとyが与えられたときに、単一集合 { x } と { y } が近傍によって分離されている場合、位相空間は分離されています。

分離された空間は通常、ハウスドルフ空間またはT ₂空間と呼ばれます。

位相空間Xが与えられたとき、部分集合Aがその補集合から分離可能かどうかを検討することが有用な場合がある。 A が空集合または空間X全体のいずれかの場合には確かにこのことが当てはまるが、他の可能性があるかもしれない。これらが唯一の 2 つの可能性である場合、位相空間Xは連結している。逆に、空でない部分集合Aが自身の補集合から分離され、この性質を共有するAの部分集合が空集合のみである場合、 AはXの開連結成分である。（ X自体が空集合である退化したケースでは、 が連結であるかどうか、が自身の開連結成分である かどうかについて専門家の間で意見が分かれている。） ${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle \emptyset }$

位相空間Xにおいて、2 つの点xとy は、一方の点が属し、もう一方の点が属さない開集合が存在する場合、位相的に区別可能である。 xとy が位相的に区別可能である場合、単集合{ x } と { y } は互いに素でなければならない。一方、単集合 { x } と { y } が分離されている場合、点xとy は位相的に区別可能である必要がある。したがって、単集合の場合、位相的な区別可能性は、互いに素であることと分離されていることの中間の条件である。

• ハウスドルフ空間 – 位相空間の種類
• ローカルハウスドルフスペース
• 分離公理 – 「分離」の概念を定義する位相幾何学の公理