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数学の位相幾何学の分野において、超連結空間^{[1] [2]}または既約空間^[2]は、2つの適切な閉部分集合（互いに素であるかそうでないかに関係なく）の和集合として表すことができない位相空間 Xです。代数幾何学では既約空間という名前が好まれます。

位相空間Xの場合、次の条件は同等です。

• 空でない 2 つの開集合は互いに素ではありません。
• X は2 つの適切な閉部分集合の和集合として表すことはできません。
• 空でない開集合はすべてXに稠密である。
• Xのすべての適切な閉部分集合の内部は空です。
• X内のあらゆる部分集合は稠密であるか、または稠密ではない。
• 2 つのポイントを分離した近隣によって分離することはできません。

これらの条件のいずれかを満たす空間は、超連結または既約と呼ばれます。異なる点の近傍に関する条件は、ある意味でハウスドルフの性質の反対であるため、一部の著者はそのような空間を反ハウスドルフと呼びます。^[3]

空集合は、上記の定義によれば、空集合として超連結空間または既約空間である（空でない開集合を含まないため）。しかし、一部の著者^{[4] 、特に}代数幾何学への応用に関心のある著者は、既約空間は空でない必要があるという明示的な条件を追加している。

既約集合は、部分空間位相が既約である位相空間の部分集合です。

点集合位相からの超連結空間の 2 つの例は、任意の無限集合上の余有限位相と、上の右順序位相です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

代数幾何学では、被約環が整域であるような環のスペクトルは既約位相空間である。格子定理をすべての素数に含まれる零根号に適用して商写像のスペクトルが同相写像であることを示すと、これは整域のスペクトルの既約性に帰着する。例えば、

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{x^{4}+y^{3}+z^{2}}}\right)}$、${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(y^{2}zx(xz)(x-2z))}}\right)}$

どちらの場合も、イデアルを定義する多項式は既約多項式（非自明な因数分解がないことを意味する）であるため、既約ではない。非例として、正規交差因子が与えられる。

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xyz)}}\right)}$

なぜなら、基底空間はアフィン平面、、の和集合だからである。別の非例として、次のスキームがあげられる。${\displaystyle \mathbb {A} _{x,y}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{x,z}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{y,z}^{2}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,f_{4})}}\right)}$

ここで は既約な4次同次多項式である。これは2つの種数3の曲線の和である（種数-次数公式による）${\displaystyle f_{4}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [y,z,w]}{(f_{4}(0,y,z,w))}}\right),{\text{ }}{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,z,w]}{(f_{4}(x,0,z,w))}}\right)}$

すべての超連結空間は連結かつ局所連結です(ただし、必ずしもパス連結または局所パス連結である必要はありません)。

超連結性の定義では、閉集合は必ずしも互いに素である必要はないことに注意してください。これは、開集合が互いに素である連結性の定義とは対照的です。

たとえば、標準位相を持つ実数空間は連結ではあるが超連結ではない。これは、2 つの互いに素な開集合の和集合として記述することはできないが、2 つの (互いに素でない) 閉集合の和集合として記述すること ができるためである。

• 超連結空間の空でない開部分集合は、それぞれがXに稠密であり、それらの任意のペアが交差するという意味で「大きい」です。したがって、超連結空間は、 1 つの点のみを含まない限り、ハウスドルフ空間にはなりません。
• すべての超連結空間は連結かつ局所連結です(ただし、必ずしもパス連結または局所パス連結である必要はありません)。
• 超連結空間内の空でないすべての開集合の閉包は空間全体、つまり開集合であるため、すべての超連結空間は極限的に非連結です。
• 超連結空間の連続像は超連結である。[ 5 ^]特に、超連結空間からハウスドルフ空間への連続関数は定数でなければならない。したがって、すべての超連結空間は擬コンパクトである。
• 超連結空間のすべての開部分空間は超連結である。^[6]

証明:を開部分集合とします。 の互いに素な開部分集合 2 つは、それ自体も の互いに素な開部分集合になります。したがって、少なくとも 1 つは空でなければなりません。${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

• より一般的には、超連結空間のすべての密なサブセットは超連結です。

証明:がおよびの稠密な部分集合で、で閉じているとします。すると となります。は超連結なので、2 つの閉包のうちの 1 つは空間 全体、つまり となります。これはが で稠密であることを意味し、 で閉じているので はと等しくなければなりません。${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2}}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X={\overline {S}}={\overline {S_{1}}}\cup {\overline {S_{2}}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {S_{1}}}=X}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• 超連結空間の閉じた部分空間は、必ずしも超連結である必要はありません。

反例:代数的に閉じた体(つまり無限体)はザリスキ位相で超連結である^[7]が、は閉じていて超連結ではない。${\displaystyle \Bbbk^{2}}$${\displaystyle \Bbbk}$${\displaystyle V=Z(XY)=Z(X)\cup Z(Y)\subset \Bbbk ^{2}}$

• 任意の既約集合の閉包は既約である。^[8]

証明:が既約で、 2 つの閉じた部分集合 に対してと書くと仮定します(したがって にも当てはまります)。はおよびで閉じており、これはまたは を意味しますが、閉包の定義によりまたはになります。${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F\cup G}$${\displaystyle F,G\subseteq \operatorname {Cl} _{X}(S)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F':=F\cap S,\,G':=G\cap S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=F'\cup G'}$${\displaystyle S\subseteq F}$${\displaystyle S\subseteq G}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=G}$

• 開かつ既約な空間として書くことができ、が既約となる空間。^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle X=U_{1}\cup U_{2}}$${\displaystyle U_{1},U_{2}\subset X}$${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$

証明:まず、が における空でない開集合である場合、 は およびと交差することに気づきます。実際、 と仮定するとはにおいて稠密であるため、 およびはの閉包点であり、および が当然成り立ちます。ここで、およびの閉包をとると、はの空でない開かつ稠密な部分集合になります。これはすべての空でない開部分集合に対して当てはまるため、は既約です。${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle U_{2}}$${\displaystyle V_{1}:=U_{1}\cap V\neq \emptyset }$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle \exists x\in \operatorname {Cl} _{U_{1}}(V_{1})\cap U_{2}=U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$${\displaystyle x\in U_{2}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$${\displaystyle V_{2}:=V\cap U_{2}\neq \emptyset }$${\displaystyle V=V\cap (U_{1}\cup U_{2})=V_{1}\cup V_{2}}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(V)\supseteq {\operatorname {Cl} }_{U_{1}}(V_{1})\cup {\operatorname {Cl} }_{U_{2}}(V_{2})=U_{1}\cup U_{2}=X,}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

位相空間における既約成分^[10]は、最大の既約部分集合（すなわち、より大きな既約集合に含まれない既約集合）である。既約成分は常に閉じている。

空間Xのすべての既約部分集合は、Xの（必ずしも一意ではない）既約成分に含まれます。^[11] 特に、Xのすべての点は、 Xの何らかの既約成分に含まれます。空間の連結成分とは異なり、既約成分は必ずしも互いに素である必要はありません（つまり、分割を形成する必要はありません）。一般に、既約成分は重なり合います。

ハウスドルフ空間の既約成分は、単集合です。

すべての既約空間は連結なので、既約成分は常に連結成分内にあります。

あらゆるネーター位相空間は有限個の既約成分を持つ。^[12]

• 超接続空間
• 落ち着いた空間
• 幾何学的に既約ではない

• ハート、クラース・ピーター。永田純一；ヴォーン、ジェリー E. (2004)。一般的なトポロジーの百科事典。エルゼビア/北オランダ。ISBN 978-0-444-50355-8。
• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、J.アーサー・ジュニア(1995) [1978]、位相幾何学における反例( 1978年版のドーバー再版)、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  0507446
• 「ハイパーコネクテッドスペース」。PlanetMath。