ウリゾーンと完全なハウスドルフ空間

数学の一分野である位相幾何学において、ウリゾーン空間またはT _2½空間は、任意の 2 つの異なる点が閉近傍によって分離できる位相空間です。完全ハウスドルフ空間または関数的ハウスドルフ空間は、任意の2 つの異なる点が連続関数によって分離できる位相空間です。これらの条件は、より一般的なハウスドルフ公理T ₂よりもいくぶん強い分離公理です。

X が位相空間であると仮定します。xとy をX内の点とします。

• xの閉近傍Uとyの閉近傍Vが存在し、UとVが互いに素( U ∩ V = ∅ )である場合、 xとy は閉近傍によって分離できるといいます。(「 xの閉近傍」とは、 x を含む開集合を含む閉集合であることに注意してください。)
• 連続関数f  : X → [0,1] (単位区間)が存在し、f ( x ) = 0 かつf ( y ) = 1 である場合、 xとy は関数によって分離できるといいます。

ウリゾーン空間は、T 2½ 空間とも呼ばれ、_任意の2 つの異なる点が閉じた近傍によって分離できる空間です。

完全ハウスドルフ空間、または関数的ハウスドルフ空間は、任意の 2 つの異なる点を連続関数によって分離できる空間です。

分離公理の研究は、命名規則との矛盾で有名です。この記事で使用されている定義は、Willard (1970) によって与えられたもので、より現代的な定義です。Steen と Seebach (1970) および他のさまざまな著者は、完全なハウスドルフ空間と Urysohn 空間の定義を逆にしています。位相幾何学の教科書を読む読者は、著者が使用した定義を必ず確認する必要があります。この問題の詳細については、「 分離公理の歴史」を参照してください。

関数によって分離できる任意の 2 つの点は、閉じた近傍によって分離できます。閉じた近傍によって分離できる場合、近傍によって分離できることは明らかです。したがって、すべての完全なハウスドルフ空間は Urysohn であり、すべての Urysohn 空間はハウスドルフです。

また、すべての正則ハウスドルフ空間はウリゾーンであり、すべてのティコノフ空間(= 完全に正則なハウスドルフ空間) は完全にハウスドルフであることを示すこともできます。まとめると、次のようになります。

これらの意味はどれも逆転しないことを示す反例を見つけることができます。^[1]

可算拡大位相は、通常のユークリッド位相と可算位相の和集合によって生成される実数直線上の位相です。集合がこの位相で開集合となるのは、 Uがユークリッド位相で開集合であり、Aが可算集合である場合に限ります。この空間は完全にハウスドルフとウリゾーンですが、正則ではありません (したがって、ティコノフでもありません)。

ハウスドルフだがウリゾーンではない空間、およびウリゾーンだが完全にハウスドルフでも正則ハウスドルフでもない空間が存在します。例は自明ではありません。詳細については、Steen と Seebach を参照してください。

• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、J.アーサー・ジュニア(1995) [1978]、位相幾何学における反例( 1978年版のドーバー再版)、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  0507446
• スティーブン・ウィラード『一般位相幾何学』、アディソン・ウェスレー、1970年。ドーバー出版、ニューヨーク、2004年に再版。ISBN 0-486-43479-6（ドーバー版）。 
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般位相幾何学。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• 「完全にハウスドルフ」。PlanetMath 。