四元数ベクトル空間

四元数代数は除算環なので、四元数代数上の加群はベクトル空間と呼ばれます。四元数代数は非可換なので、左ベクトル空間と右ベクトル空間を区別します。左ベクトル空間では、ベクトル と の線型合成は、の形式を持ちます。右ベクトル空間では、ベクトル と の線型合成はの形式を持ちます。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle av+bw}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b\in H}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle va+wb}$

四元数ベクトル空間が有限次元を持つ場合、それは四元数代数のコピーの直和と同型である。そのような場合、次のような基底を使うことができる。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle H^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle e_{1}=(1,0,\ldots ,0)}$

${\displaystyle \ldots}$

${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots,0,1)}$

左四元数ベクトル空間では、ベクトルの成分ごとの和とベクトルとスカラーの積を使用する。 ${\displaystyle H^{n}}$

${\displaystyle (p_{1},\ldots,p_{n})+(r_{1},\ldots,r_{n})=(p_{1}+r_{1},\ldots,p_{n}+r_{n})}$

${\displaystyle q(r_{1},\ldots ,r_{n})=(qr_{1},\ldots ,qr_{n})}$

右四元数ベクトル空間では、ベクトルの成分ごとの和とベクトルとスカラーの積を使用する。 ${\displaystyle H^{n}}$

${\displaystyle (p_{1},\ldots,p_{n})+(r_{1},\ldots,r_{n})=(p_{1}+r_{1},\ldots,p_{n}+r_{n})}$

${\displaystyle (r_{1},\ldots ,r_{n})q=(r_{1}q,\ldots ,r_{n}q)}$

• ベクトル空間
• 一般線型群
• 特殊線型群
• SL(n,H)
• シンプレクティック群

• ハーヴェイ、F. リース (1990)。スピノルとキャリブレーション。サンディエゴ: アカデミック プレス。ISBN 0-12-329650-1。