ランキン・セルバーグ法

数学において、ランキン（1939年）とセルバーグ（1940年）によって導入されたランキン・セルバーグ法は、 L関数の積分表現の理論としても知られており、保型L関数の重要な例を直接構成し、解析的に接続するための手法である。一部の著者は、この用語を、アイゼンシュタイン級数を含む特殊なタイプの積分表現に限定して使用している。これは、ラングランズ・プログラムを研究するための最も強力な手法の1つである。  

この理論はある意味でベルンハルト・リーマンに遡り、彼はゼータ関数をヤコビのシータ関数のメリン変換として示しました。リーマンはシータ関数の漸近挙動を用いて解析接続を得、シータ関数の自己同型性を用いて関数方程式を証明しました。 エーリッヒ・ヘッケ、そして後にハンス・マースは、同じメリン変換法を上半平面上のモジュラー形式に適用し、その後、リーマンの例は特殊なケースとして見なすことができます。

ロバート・アレクサンダー・ランキンとアトレ・セルバーグは、それぞれ独立に畳み込みL関数を構築した。これは現在、 GL (2)の標準表現とそれ自身とのテンソル積に関連付けられたラングランズL関数と考えられている。リーマンと同様に、彼らはモジュラー形式の積分を用いたが、その種類は異なっていた。彼らは2つの重みの積を積分した。${\displaystyle k}$モジュール式${\displaystyle f,g}$のために${\displaystyle \Gamma =\mathbf {SL} _{2}(\mathbf {Z} )}$実際の解析的アイゼンシュタイン級数を用いて${\displaystyle E(z,s)}$基本的な領域にわたって${\displaystyle D}$モジュール群の ${\displaystyle \Gamma }$複素上半平面に作用する${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$分数線形変換によって：

${\displaystyle \displaystyle I(s)=\int _{D}f(z){\overline {g(z)}}E(z,s){\mathfrak {Im}}(z)^{k}\;d\mu (z),\quad {\mathfrak {Re}}(s)>1,}$

どこ${\displaystyle \mu }$は ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbf {R} )}$-不変測度${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$によって与えられた$\displaystyle y^{-2}dxdy}$2 つの形式のうち一方が尖点である場合、積分は絶対収束します。そうでない場合は、リーマンが行ったように漸近法を使用して有理型接続を得る必要があります。解析接続と関数方程式は、アイゼンシュタイン級数のものに帰着します。積分は、「展開」と呼ばれる手法によって畳み込み L 関数と同一視されました。この手法では、アイゼンシュタイン級数の定義と積分範囲が、L関数をディリクレ級数としてより容易に示す、より単純な式に変換されます。展開と解析的性質に対する全体的な制御の同時組み合わせは特別であり、この手法を成功させています。

エルヴェ・ジャケとロバート・ラングランズは後に、リーマン、ヘッケ、マース、ランキン、セルバーグらが以前に得ていた標準的なL関数およびテンソル積L関数に対するアデリック積分表現を与えた。彼らは、すべての局所因子の公式を明らかにし、関数方程式を正確な形で述べ、鋭い解析接続を与えることで、非常に完全な理論を提示した。

現在では、多くの保型L関数に対して積分表現が与えられているが、二つの厄介な問題点がある。一つ目は、どのL関数が積分表現を持つ可能性があるのか​​、またどのように見つけることができるのかが全く明確ではないことである。巧妙な議論によって新たな例が次々と発見されているものの、この方法は限界に近づいているのではないかと危惧されている。二つ目は、一般に、展開段階後の局所積分を計算することは困難、あるいは不可能であるということである。これは、積分が望ましい解析的性質を持つ可能性はあるものの、L関数を表しているとは限らない（むしろそれに近い何かを表しているかもしれない）ことを意味する。

したがって、 L関数の積分表現が存在するからといって、その解析的性質が解決されたとは限らない。深刻な解析上の問題が残っている可能性もある。しかし、少なくとも、L関数が保型形式の積分を形式的に操作することによって代数的に構成されていること、そして有限個の箇所を除いて、特定のL関数の予想されたオイラー積を持つことが保証される。多くの場合、ラングランズ・シャヒディ法は補完的な情報を提供する。

• GL( n )上の標準L関数（ゴドマン-ジャケ）。この理論は原著論文で完全に解明されている。
• 古典群上の標準L関数（ピアテツキ＝シャピロ＝ラリス）。この構成は倍加法として知られており、非一般表現にも適用可能です。
• 古典群 G上の GL( n ) × G 上のテンソル積L関数 ( Cai - Friedberg - Ginzburg - Kaplan )。この構成は倍増法の大幅な一般化であり、現在では一般化倍増法として知られています。  
• GL( n ) × GL( m ) 上のテンソル積L関数 ( m = 1の場合は標準L関数を含む) は、ジャケ、ピアテツキ＝シャピロ、シャリカによって提唱された。この理論は、モーグリン＝ワルドスパーガーによって完全に解明され、逆定理を確立するためにリバースエンジニアリングされた。    
• GL( n )上の対称正方形は、志村、ゲルバート-ジャケ ( n  =  2)、ピアテツキ-シャピロおよびパターソン ( n  =  3)、バンプ-ギンズバーグ ( n  >  3)によって定義されます。
• GL( n )上の外正方形は、ジャケ・シャリカとバンプ・フリードバーグによって得られた。
• GL(2) × GL(2) × GL(2)上の三重積(Garrett、Harris、Ikeda、Piatetski-Shapiro、Rallis、Ramakrishnan、Orloff ら)。    
• GL(2)上の対称立方体（バンプ・ギンツブルグ・ホフスタイン）。
• GL(2)上の対称4乗（ギンズブルグ-ラリス）。
• _{E 6}およびE ₇の標準L関数（ギンズブルグ）。
• _{G 2}の標準 L 関数(ギンズバーグ-ハンドレー、グレヴィッチ-シーガル)。

• バンプ、ダニエル（1989）「ランキン＝セルバーグ法：概説」、数論、トレース公式、離散群（オスロ、1987年）、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミック・プレス、 49～ 109ページ、 MR 0993311  
• Bump, Daniel (2005)、「ランキン・セルバーグ法：入門と概観」、Cogdell, James W.、Jiang, Dihua、Kudla, Stephen S.、Soudry, David、Stanton, Robert (編)、『保型表現、L関数とその応用：進歩と展望』、オハイオ州立大学数学研究所出版、第 11巻、ベルリン：de Gruyter、pp. 41–73、ISBN  978-3-11-017939-2MR 2192819​ 
• Rankin, Robert A. (1939)、「ラマヌジャンの関数 τ(n) および類似の算術関数の理論への貢献。I. 直線 R s=13/2 上の関数 Σ _n=1 ^∞ τ(n)/n ^sの零点。II. 積分モジュラー形式のフーリエ係数の次数」、Proc. Cambridge Philos. Soc.、35 : 351–372、doi : 10.1017/S0305004100021095、MR 0000411 
• Selberg、Atle (1940)、「Bemerkungen über eine Dirichletsche Reihe, die mit der Theorie der Modulformen nahe verbunden ist」、Arch。数学。ナトゥルビッド。、43 : 47–50、MR 0002626