ラマヌジャンの和

数論において、ラマヌジャンの和は、通常c _q ( n )と表記され、次の式で定義される 2つの正の整数変数qとnの関数である。

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{1\leq a\leq q \atop (a,q)=1}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n},}$

ここで、( a , q )=1は、aがqと互いに素な値のみを取ることを意味します。

シュリニヴァーサ・ラマヌジャンは1918年の論文で和について言及している。^[1]この論文で議論されている展開に加えて、ラマヌジャンの和は、十分に大きい奇数はすべて3つの素数の和であるというヴィノグラードフの定理の証明にも使用されている。^[2]

整数aとbの場合、は「aはbを割り切る」と読み、次の式を満たす整数cが存在することを意味します。 同様に、は「 aはbを割り切れない」と読みます。和の記号は ${\displaystyle a\mid b}$${\displaystyle {\frac {b}{a}}=c.}$${\displaystyle a\nmid b}$

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,m}f(d)}$

は、 d がmのすべての正の約数を通過することを意味します。例えば、

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,12}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12).}$

${\displaystyle (a,\,b)}$は最大公約数であり、

${\displaystyle \phi (n)}$はオイラーのトーティエント関数であり、

${\displaystyle \mu (n)}$はメビウス関数であり、

${\displaystyle \zeta (s)}$はリーマンゼータ関数です。

これらの公式は、定義、オイラーの公式 、および基本的な三角関数の恒等式から得られます。 ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi \\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi \\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi \\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}}$

以下同様です（OEIS :A000012、OEIS :A033999、OEIS :A099837、OEIS :A176742、..、OEIS :A100051、...）。c _q ( n )は常に整数です。

すると、ζ _{q は}方程式x ^q − 1 = 0の根になります。その各べき乗、 ${\displaystyle \zeta _{q}=e^{\frac {2\pi i}{q}}.}$

${\displaystyle \zeta _{q},\zeta _{q}^{2},\ldots ,\zeta _{q}^{q-1},\zeta _{q}^{q}=\zeta _{q}^{0}=1}$

も根です。したがって、q個あるので、それらはすべて根です。1 ≤ n ≤ qとなる数はq乗根と呼ばれます。ζ _{q は}、 となる最小のnの値がqであるため、原始q乗根と呼ばれます。 その他の原始q乗根は、 ( a , q ) = 1 となる数です。したがって、 φ( q )個の 原始q乗根が存在します。${\displaystyle \zeta _{q}^{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{q}^{n}=1}$${\displaystyle \zeta _{q}^{a}}$

したがって、ラマヌジャン和c _q ( n ) は、原始q乗根 のn乗の合計です。

ζqの累乗はqのすべての約数の原始根とまったく同じであるというのは_事実である[ ^3]。

例: q = 12 とします。すると

${\displaystyle \zeta _{12},\zeta _{12}^{5},\zeta _{12}^{7},}$これらは原始的な12乗根であり、${\displaystyle \zeta _{12}^{11}}$

${\displaystyle \zeta _{12}^{2}}$これらは原始6乗根であり、${\displaystyle \zeta _{12}^{10}}$

${\displaystyle \zeta _{12}^{3}=i}$これらは原始的な4乗根であり、${\displaystyle \zeta _{12}^{9}=-i}$

${\displaystyle \zeta _{12}^{4}}$これらは単位の原始的な3乗根であり、${\displaystyle \zeta _{12}^{8}}$

${\displaystyle \zeta _{12}^{6}=-1}$は原始2乗根であり、

${\displaystyle \zeta _{12}^{12}=1}$は、単位元の原始的な第一根です。

したがって、もし

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{k=1}^{q}\zeta _{q}^{kn}}$

は、原始根と非原始根を含むすべての n乗の和である。

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{d\mid q}c_{d}(n),}$

そしてメビウス反転により、

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\mid q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\eta _{d}(n).}$

x ^q − 1 = ( x − 1)( x ^{q −1} + x ^{q −2} + ... + x + 1) という等式から、

${\displaystyle \eta _{q}(n)={\begin{cases}0&q\nmid n\\q&q\mid n\\\end{cases}}}$

そして次の式が導かれる

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\mid (q,n)}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d,}$

1906年にKluyverによって出版された。^[4]

これは、c _q ( n ) が常に整数であることを示しています。これを次の式と比較してください。

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{d\mid q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d.}$

定義から、c _q ( n )は、nの値を固定したqの関数として考えた場合、乗法的であることが簡単に示されます。^[5]すなわち、

${\displaystyle {\mbox{If }}\;(q,r)=1\;{\mbox{ then }}\;c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

定義（またはクリュイバーの公式）から、pが素数であれば、

${\displaystyle c_{p}(n)={\begin{cases}-1&{\mbox{ if }}p\nmid n\\\phi (p)&{\mbox{ if }}p\mid n\\\end{cases}},}$

p ^{k が}k > 1 の素数累乗である場合、

${\displaystyle c_{p^{k}}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}p^{k-1}\nmid n\\-p^{k-1}&{\mbox{ if }}p^{k-1}\mid n{\mbox{ and }}p^{k}\nmid n\\\phi (p^{k})&{\mbox{ if }}p^{k}\mid n\\\end{cases}}.}$

この結果と乗法の性質は、次のことを証明するために使用できる。

${\displaystyle c_{q}(n)=\mu \left({\frac {q}{(q,n)}}\right){\frac {\phi (q)}{\phi \left({\frac {q}{(q,n)}}\right)}}.}$

これはフォン・シュテルネックの算術関数と呼ばれる。^[6]この関数とラマヌジャンの和の同値性はヘルダーによるものである。^{[7] [8]}

すべての正の整数qに対して、

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(q)&=1\\c_{q}(1)&=\mu (q)\\c_{q}(q)&=\phi (q)\\c_{q}(m)&=c_{q}(n)&&{\text{for }}m\equiv n{\pmod {q}}\\\end{aligned}}}$

qの値が固定されている場合、シーケンスの絶対値はφ( q )によって制限され、nの値が固定されている場合、シーケンスの絶対値はnによって制限されます。 ${\displaystyle \{c_{q}(1),c_{q}(2),\ldots \}}$${\displaystyle \{c_{1}(n),c_{2}(n),\ldots \}}$

q > 1 の場合

${\displaystyle \sum _{n=a}^{a+q-1}c_{q}(n)=0.}$

m ₁ , m ₂ > 0, m = lcm( m ₁ , m ₂ )とする。すると^[9]ラマヌジャンの和は直交性を満たす。

${\displaystyle {\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{m_{1}}(k)c_{m_{2}}(k)={\begin{cases}\phi (m)&m_{1}=m_{2}=m,\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

n , k >0とする。すると^[10]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {d\mid n}{\gcd(d,k)=1}}d\;{\frac {\mu ({\tfrac {n}{d}})}{\phi (d)}}={\frac {\mu (n)c_{n}(k)}{\phi (n)}},}$

Brauer - Rademacher恒等式として知られています。

n > 0かつaが任意の整数である場合、 ^[11]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}c_{n}(k-a)=\mu (n)c_{n}(a),}$

コーエンのおかげで。

f ( n ) が算術関数（つまり、整数または自然数の複素数値関数） である場合、次の形式の 収束無限級数が存在する。

${\displaystyle f(n)=\sum _{q=1}^{\infty }a_{q}c_{q}(n)}$

または次の形式になります。

${\displaystyle f(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}c_{q}(n)}$

ここでak∈C_はf ( n )のラマヌジャン展開^[12]と呼ばれる。

ラマヌジャンは数論のよく知られた関数のいくつかの展開を発見した。これらの結果はすべて「初等的な」方法（つまり、級数の形式的な操作と収束に関する最も単純な結果のみを使用して）で証明されている。^{[13] [14] [15]}

ゼロ関数の展開は、素数の解析理論の結果、すなわち級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}}$

0に収束し、 r ( n )とr ′( n )の結果は以前の論文の定理に依存する。^[16]

このセクションのすべての式はラマヌジャンの 1918 年の論文からのものです。

ラマヌジャン和の生成関数はディリクレ級数である。

${\displaystyle \zeta (s)\sum _{\delta \,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta ^{1-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{n^{s}}}}$

は、 c _q (1)、c _q (2)、...という数列を生成する関数であり、 qは一定であり、

${\displaystyle {\frac {\sigma _{r-1}(n)}{n^{r-1}\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}}}}$

は、 nが一定に保たれるシーケンスc ₁ ( n )、c ₂ ( n )、...の生成関数です。

二重ディリクレ級数もある

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (r+s-1)}{\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}n^{s}}}.}$

ラマヌジャン和を係数とする多項式は円分多項式^{[17]で表すことができる。}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{q}c_{q}(n)x^{n-1}=(x^{q}-1){\frac {\Phi _{q}'(x)}{\Phi _{q}(x)}}=\Phi _{q}'(x)\prod _{\begin{array}{c}d\mid q\\[-4pt]d\neq q\end{array}}\Phi _{d}(x)}$。

σ _k ( n ) は、約数関数（つまり、 1 とnを含むnの約数のk乗の合計）です。 nの約数の個数σ ₀ ( n ) は通常d ( n ) と表記され、 nの約数の合計σ ₁ ( n ) は通常 σ( n )と表記されます。

s > 0の場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{s}(n)&=n^{s}\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\cdots \right)\\\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

s = 1 に設定すると、

${\displaystyle \sigma (n)={\frac {\pi ^{2}}{6}}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{2}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}+\cdots \right).}$

リーマン予想が正しいとすれば、${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}<s<{\tfrac {1}{2}},}$

${\displaystyle \sigma _{s}(n)=\zeta (1-s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1-s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1-s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1-s}}}+\cdots \right)=n^{s}\zeta (1+s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1+s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1+s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1+s}}}+\cdots \right).}$

d ( n ) = σ ₀ ( n ) は、 1 とn自身を含むnの約数の個数です。

${\displaystyle {\begin{aligned}-d(n)&={\frac {\log 1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log 2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log 3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \\-d(n)(2\gamma +\log n)&={\frac {\log ^{2}1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log ^{2}2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log ^{2}3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \end{aligned}}}$

ここでγ = 0.5772...はオイラー・マスケロニ定数です。

オイラーのトーシェント関数φ( n ) は、 nより小さくnと互いに素な正の整数の個数である。ラマヌジャンはこれを一般化して次のように定義している。

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\cdots }$

はnの素因数分解であり、sは複素数であるとして、

${\displaystyle \varphi _{s}(n)=n^{s}(1-p_{1}^{-s})(1-p_{2}^{-s})(1-p_{3}^{-s})\cdots ,}$

したがってφ ₁ ( n ) = φ ( n )はオイラー関数である。^[18]

彼はそれを証明している

${\displaystyle {\frac {\mu (n)n^{s}}{\varphi _{s}(n)\zeta (s)}}=\sum _{\nu =1}^{\infty }{\frac {\mu (n\nu )}{\nu ^{s}}}}$

そしてこれを使って

${\displaystyle {\frac {\varphi _{s}(n)\zeta (s+1)}{n^{s}}}={\frac {\mu (1)c_{1}(n)}{\varphi _{s+1}(1)}}+{\frac {\mu (2)c_{2}(n)}{\varphi _{s+1}(2)}}+{\frac {\mu (3)c_{3}(n)}{\varphi _{s+1}(3)}}+\cdots .}$

s = 1 とすると、

${\displaystyle \varphi (n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}n\left(c_{1}(n)-{\frac {c_{2}(n)}{2^{2}-1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{2}-1}}-{\frac {c_{5}(n)}{5^{2}-1}}+{\frac {c_{6}(n)}{(2^{2}-1)(3^{2}-1)}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{2}-1}}+{\frac {c_{10}(n)}{(2^{2}-1)(5^{2}-1)}}-\cdots \right).}$

この定数はσ( n )の式の定数の逆数^[19]であることに注意してください。

フォン・マンゴルト関数 Λ( n ) = 0。ただし、 n = p ^{k が}素数の累乗の場合は自然対数 log pとなる。

${\displaystyle -\Lambda (m)=c_{m}(1)+{\frac {1}{2}}c_{m}(2)+{\frac {1}{3}}c_{m}(3)+\cdots }$

すべてのn > 0 に対して、

${\displaystyle 0=c_{1}(n)+{\frac {1}{2}}c_{2}(n)+{\frac {1}{3}}c_{3}(n)+\cdots .}$

これは素数定理と同等である。^{[20] [21]}

r _{2 s} ( n ) は、異なる次数と符号を異なるものとして数え、n を2 sの 平方の和として表す方法の数です(例: r ₂ (13) = 8、13 = (±2) ² + (±3) ² = (±3) ² + (±2) ² )。

ラマヌジャンは関数δ2s(n)を定義し_、 s = ₁ , 2, 3, 4に対してr2s(n) = δ2s(n)であることを証明した論文[22]を参照している。s > 4に対しては_δ2s ( n _)がr2s ₍ ⁿ _)の良い近似値_であることを示して_いる。

s = 1 には特別な式があります:

${\displaystyle \delta _{2}(n)=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-\cdots \right).}$

次の式では、符号は 4 周期で繰り返されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 0{\pmod {4}}\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 2{\pmod {4}}\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ and }}s>1\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 3{\pmod {4}}\\\end{aligned}}}$

そして、したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{2}(n)&=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-{\frac {c_{7}(n)}{7}}+{\frac {c_{11}(n)}{11}}-{\frac {c_{13}(n)}{13}}+{\frac {c_{15}(n)}{15}}-{\frac {c_{17}(n)}{17}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{4}(n)&=\pi ^{2}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}-{\frac {c_{8}(n)}{16}}+{\frac {c_{5}(n)}{25}}-{\frac {c_{12}(n)}{36}}+{\frac {c_{7}(n)}{49}}-{\frac {c_{16}(n)}{64}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{6}(n)&={\frac {\pi ^{3}n^{2}}{2}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{8}}-{\frac {c_{3}(n)}{27}}-{\frac {c_{8}(n)}{64}}+{\frac {c_{5}(n)}{125}}-{\frac {c_{12}(n)}{216}}-{\frac {c_{7}(n)}{343}}-{\frac {c_{16}(n)}{512}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{8}(n)&={\frac {\pi ^{4}n^{3}}{6}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{4}(n)}{16}}+{\frac {c_{3}(n)}{81}}+{\frac {c_{8}(n)}{256}}+{\frac {c_{5}(n)}{625}}+{\frac {c_{12}(n)}{1296}}+{\frac {c_{7}(n)}{2401}}+{\frac {c_{16}(n)}{4096}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle r'_{2s}(n)}$は、 n を2個の 三角数の和として表すことができる方法の数です(つまり、数 1、3 = 1 + 2、6 = 1 + 2 + 3、10 = 1 + 2 + 3 + 4、15、...。n番目の三角数は、式n ( n + 1)/2 で表されます)。

ここでの分析は正方形の場合と似ています。ラマヌジャンは正方形の場合と同じ論文を参照しており、s = 1、2、3、4の場合、 s > 4の場合、が次の関数の良い近似値であることを示しました。${\displaystyle \delta '_{2s}(n)}$${\displaystyle r'_{2s}(n)=\delta '_{2s}(n)}$${\displaystyle \delta '_{2s}(n)}$${\displaystyle r'_{2s}(n).}$

ここでも、s = 1 には特別な式が必要です。

${\displaystyle \delta '_{2}(n)={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\cdots \right).}$

sが4の倍数の 場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(n+{\frac {s}{4}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(n+{\frac {s}{4}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(n+{\frac {s}{4}})}{5^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 0{\pmod {4}}\\[6pt]\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(2n+{\frac {s}{2}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(2n+{\frac {s}{2}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(2n+{\frac {s}{2}})}{5^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 2{\pmod {4}}\\[6pt]\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(4n+s)}{1^{s}}}-{\frac {c_{3}(4n+s)}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(4n+s)}{5^{s}}}-\cdots \right)&&s\equiv 1{\pmod {2}}{\text{ and }}s>1\end{aligned}}}$

したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}r'_{2}(n)&={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\cdots \right)\\[6pt]r'_{4}(n)&=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {c_{1}(2n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(2n+1)}{9}}+{\frac {c_{5}(2n+1)}{25}}+\cdots \right)\\[6pt]r'_{6}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{3}}{2}}\left(n+{\frac {3}{4}}\right)^{2}\left({\frac {c_{1}(4n+3)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+3)}{27}}+{\frac {c_{5}(4n+3)}{125}}-\cdots \right)\\[6pt]r'_{8}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{4}}{6}}(n+1)^{3}\left({\frac {c_{1}(n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(n+1)}{81}}+{\frac {c_{5}(n+1)}{625}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

させて

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{q}(n)&=c_{q}(1)+c_{q}(2)+\cdots +c_{q}(n)\\U_{q}(n)&=T_{q}(n)+{\tfrac {1}{2}}\phi (q)\end{aligned}}}$

そしてs > 1の場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-s}(1)+\cdots +\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left(n+{\frac {T_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {T_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {T_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)\\&=\zeta (s+1)\left(n+{\tfrac {1}{2}}+{\frac {U_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {U_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {U_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (s)\\d(1)+\cdots +d(n)&=-{\frac {T_{2}(n)\log 2}{2}}-{\frac {T_{3}(n)\log 3}{3}}-{\frac {T_{4}(n)\log 4}{4}}-\cdots \\d(1)\log 1+\cdots +d(n)\log n&=-{\frac {T_{2}(n)(2\gamma \log 2-\log ^{2}2)}{2}}-{\frac {T_{3}(n)(2\gamma \log 3-\log ^{2}3)}{3}}-{\frac {T_{4}(n)(2\gamma \log 4-\log ^{2}4)}{4}}-\cdots \\r_{2}(1)+\cdots +r_{2}(n)&=\pi \left(n-{\frac {T_{3}(n)}{3}}+{\frac {T_{5}(n)}{5}}-{\frac {T_{7}(n)}{7}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

• ガウス周期
• クロスターマン合計

• ハーディ、GH（1999）。ラマヌジャン：彼の生涯と作品から示唆された主題に関する12の講義。プロビデンスRI：AMS /チェルシー。ISBN 978-0-8218-2023-0。

• ハーディ、GH ;ライト、EM (1979) [1938]。数論入門（第5版）。オックスフォード：クラレンドン・プレス。ISBN 0-19-853171-0. MR  0568909. Zbl  0423.10001.
• ノップマッカー、ジョン (1990) [1975].抽象解析数論(第2版). ニューヨーク: ドーバー. ISBN 0-486-66344-2.ZBL0743.11002  .​

• ナサンソン、メルヴィン B. (1996)。加法数論: 古典的基底。数学の大学院テキスト。第 164 巻。シュプリンガー出版。セクションA.7。ISBN 0-387-94656-X.ZBL0859.11002  .​。

• Nicol, CA (1962). 「ラマヌジャン和を含むいくつかの公式」. Can. J. Math . 14 : 284–286. doi : 10.4153/CJM-1962-019-8 .

• ラマヌジャン、シュリニヴァサ（1918）。「特定の三角関数の和と数論におけるその応用について」ケンブリッジ哲学協会紀要22 （ 15）：259-276。（『論文集』 179～199ページ）

• ラマヌジャン、シュリニヴァサ（1916）。「ある種の算術関数について」。ケンブリッジ哲学協会紀要。22 （9）：159-184。（『論文集』 136～163ページ）

• ラマヌジャン、シュリニヴァサ (2000)。Collected Papers。プロビデンス RI: AMS / チェルシー。ISBN 978-0-8218-2076-6。

• Schwarz, Wolfgang; Spilker, Jürgen (1994)。算術関数。算術関数の基本的および解析的性質とそれらのほぼ周期的性質のいくつかの紹介。ロンドン数学協会講義ノートシリーズ。第 184 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-42725-8.ZBL0807.11001  。​

• トート、ラスロー (2011)。 「ラマヌジャン和の積の和」。アンナリ・デル・ユニバーシタ・ディ・フェラーラ。58 : 183–197。arXiv : 1104.1906。土井：10.1007/s11565-011-0143-3。S2CID  119134250。