単位約数

数学において、自然数 aが数bの単位因子（またはホール因子）であるとは、a が数bの約数であり、aと が互いに素であり、 1 以外に共通因数を持たない場合です。同様に、 bの約数aが単位因子である場合は、aのすべての素因数がaとbで同じ重複度を持ちます。 ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$

ユニタリ因子の概念は、ブロック因子という用語を使用したR.ヴァイダナタスワミ（1931） ^[1]に由来します。

整数 5 は 60 の単位約数です。これは、5 と 60 の共通因数が 1 のみであるためです。 ${\displaystyle {\frac {60}{5}}=12}$

逆に、6 は 60 の約数ではありますが、単位約数ではありません。これは、6 と 6 には1 以外の共通因数、つまり 2 があるためです。 ${\displaystyle {\frac {60}{6}}=10}$

単位約数の和関数は、小文字のギリシャ文字シグマで表され、σ*( n ) となります。単位約数のk乗の合計は、σ* _k ( n )と表されます。

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d ^{k}.}$

これは乗法関数です。与えられた数の真数の約数を足すとその数になる場合、その数は完全数と呼ばれます。

数 1 はあらゆる自然数の単位約数です。

数nの単位約数の数は2 ^kであり、ここでk はnの異なる素因数の数です。これは、各整数 N > 1 が、異なる素数pの正の累乗p ^{r _p}の積であるためです。したがって、Nのすべての単位約数は、 Nの素約数 { p }の特定のサブセットS上の、 p ∈ Sに対する素累乗p ^{r _{p の}}積です。 k個の素因数がある場合、サブセットS は正確に 2 ^k個あり、次のステートメントが続きます。

nが2 の累乗(1 を含む)の場合、nの単位約数の合計は奇数になり、それ以外の場合は偶数になります。

nの単位約数の個数と和は、nの乗法関数であるが、完全には乗法ではない。ディリクレ生成関数は、

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (sk)}{\zeta (2s-k)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{ *}(n)}{n^{s}}}.}$

nのあらゆる約数は、 nが平方数でない場合に限り、ユニタリです。

nのすべての単位約数の集合は、最大公約数で与えられ、最小公倍数で与えられるブール代数を形成します。同様に、 nの単位約数の集合はブール環を形成し、その加算と乗算は次のように与えられます。

${\displaystyle a\oplus b={\frac {ab}{(a,b)^{2}}},\qquad a\odot b=(a,b)}$

ここでaとbの最大公約数を表す。^[2]${\displaystyle (a,b)}$

奇数の単位約数 のk乗の和は

${\displaystyle \sigma _{k}^{(o)*}(n)=\sum _{{d\,\mid \,n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}} \atop \gcd(d,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

これは乗法的な関数でもあり、ディリクレ生成関数は

${\displaystyle {\frac {\ゼータ (s)\ゼータ (sk)(1-2^{ks})}{\ゼータ (2s-k)(1-2^{k-2s})}}=\ sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{(o)*}(n)}{n^{s}}}.}$

nの約数d は、 dとn / dの最大公約数が 1 である場合に、双ユニタリ約数です。この概念は、D. Suryanarayana (1972) に由来します。[整数の双ユニタリ約数の個数、The Theory of Arithmetic Functions、Lecture Notes in Mathematics 251: 273–282、New York、Springer–Verlag]。

nの二元約数の数は平均位数を持つnの乗法関数であり、^[3] ${\displaystyle A\log x}$

${\displaystyle A=\prod _{p}\left({1-{\frac {p-1}{p^{2}(p+1)}}}\right)\ .}$

二元完全数とは、その二元約数の和に等しい数である。そのような数は6、60、90のみである。^[4]

• OEIS : A034444は σ ^* ₀ ( n )
• OEIS : A034448は σ ^* ₁ ( n ) 
• OEIS : A034676～ OEIS : A034682は σ ^* ₂ ( n ) ～ σ ^* ₈ ( n ) 
• OEIS : A034444は、単位約数の個数です${\displaystyle 2^{\omega }(n)}$
• OEIS : A068068は σ ^(o)* ₀ ( n ) 
• OEIS : A192066は σ ^(o)* ₁ ( n ) 
• OEIS : A064609は${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{1}(i)}$
• OEIS : A306071は${\displaystyle A}$

• リチャード・K・ガイ（2004年）。数論における未解決問題。シュプリンガー・フェアラーク。p.84。ISBN 0-387-20860-7。 セクションB3。
• パウロ・リベンボイム(2000)。『My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory』、Springer-Verlag、p. 352、ISBN 0-387-98911-0。
• コーエン、エックフォード(1959)。「剰余系 (mod r) のクラスと関連する算術関数。I. メビウス反転の一般化」。パシフィックJ. 数学。9 (1): 13–23。doi : 10.2140/ pjm.1959.9.13。MR  0109806 。
• コーエン、エックフォード(1960)。「整数の単位約数に関連する算術関数」。Mathematische  Zeitschrift。74 : 66–80。doi : 10.1007 /BF01180473。MR 0112861。S2CID 53004302  。
• コーエン、エックフォード(1960) 。「整数の単位約数の数」。アメリカ数学月刊誌。67 (9): 879–880。doi :10.2307/2309455。JSTOR 2309455。MR  0122790  。
• Cohen, Graeme L. (1990). 「整数の無限約数について」. Math. Comp . 54 (189): 395–411. Bibcode :1990MaCom..54..395C. doi : 10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5 . MR  0993927.
• Cohen, Graeme L. (1993). 「整数の無限約数に関連する算術関数」. Int. J. Math. Math. Sci . 16 (2): 373–383. doi : 10.1155/S0161171293000456 .
• フィンチ、スティーブン (2004)。「ユニタリズムとインフィニタリズム」(PDF)。
• イヴィッチ、アレクサンダル (1985)。リーマンゼータ関数。リーマンゼータ関数の理論とその応用。ワイリー・インターサイエンス出版。ニューヨークなど: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。p. 395。ISBN 0-471-80634-X.ZBL0556.10026  。​
• Mathar, RJ (2011). 「乗法算術関数のディリクレ級数の調査」. arXiv : 1106.4038 [math.NT].セクション4.2
• サンダー、ヨージェフ。ミトリノヴィッチ、ドラゴスラフ S.クリスティチ、ボリスラフ編。 (2006)。整数論ハンドブック I。ドルドレヒト: Springer-Verlag。ISBN 1-4020-4215-9.ZBL1151.11300  。​
• Toth, L. (2009). 「オイラーの算術関数と gcd-sum 関数の双ユニタリー類似物について」J. Int. Seq . 12 .

• Weisstein、Eric W.「Unitary Divisor」。MathWorld。
• Mathoverflow | ユニタリ因子のブール環