リファクタリング可能な数

リファクタリング可能な数またはタウ数は、その約数の数で割り切れる整数n、または代数的に言えば、nは となる数です。最初のいくつかのリファクタリング可能な数は、（ OEISのシーケンスA033950） に次のように記載されています。${\displaystyle \tau (n)\mid n}$

1、2、8、9、12、18、24、36、40、56、60、72、80、84、88、96、104、108、128、132、136、152、156​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​、180、184、204、225、228、232、240、248、252、276、288、296、...​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

たとえば、18 には 6 つの約数 (1 と 18、2 と 9、3 と 6) があり、6 で割り切れます。リファクタリング可能な数は無限にあります。

クーパーとケネディは、因数分解可能な数は自然密度がゼロであることを証明した。ゼリンスキーは、連続する3つの整数がすべて因数分解可能になることはないことを証明した。 ^{[1]コルトンは、因数分解可能な数は}完全ではないことを証明した。この方程式は、が因数分解可能な数であり、 が最大公約数関数である場合にのみ解を持つ。 ${\displaystyle \gcd(n,x)=\tau (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \gcd}$

を最大 である因数分解可能な数の個数とする。に対する漸近線を決定する問題は未解決である。Spiroは^[2]を証明した。${\displaystyle T(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T(x)}$${\displaystyle T(x)={\frac {x}{{\sqrt {\log x}}(\log \log x)^{1-o(1)}}}}$

リファクタリング可能な数に関して、未解決の問題がまだあります。Colton は、とが両方ともリファクタリング可能であるような、任意に大きい数が存在するかどうかを尋ねました。Zelinsky は、リファクタリング可能な数 が存在する場合、がリファクタリング可能でありであるような数が必ず存在するのか疑問に思いました。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n_{0}\equiv a\mod m}$${\displaystyle n>n_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\equiv a\mod m}$

タウ数は、カーティス・クーパーとロバート・E・ケネディによって最初に定義され^[3]、彼らはタウ数が自然密度ゼロであることを示しましたが、後にサイモン・コルトンによって、数論やグラフ理論などの数学のさまざまな分野の定義を発明して判断するコンピュータプログラムを使用して再発見されました。^[4]コルトンはそのような数を「リファクタリング可能」と呼びました。コンピュータプログラムは以前にも証明を発見していましたが、この発見はコンピュータプログラムが新しい、または以前は不明瞭だったアイデアを発見した最初の例の1つでした。コルトンはリファクタリング可能な数に関する多くの結果を証明し、無限に存在することを示し、それらの分布に関するさまざまな合同制約を証明しました。コルトンは後になって、ケネディとクーパーが以前にこのテーマを調査していたことを知りました。

Wikifunctions にはリファクタリング可能な数値チェック関数があります。

• 除数関数