下方制限と上方制限

数列を考える${\displaystyle (x_{n})}$実数で構成される。上限と下限は実数（つまり、無限ではない）であると仮定する。

• 限界を超える${\displaystyle x_{n}}$最小の実数${\displaystyle b}$任意の正の実数に対して${\displaystyle \varepsilon }$自然数が存在する${\displaystyle N}$そのため${\displaystyle x_{n}<b+\varepsilon }$すべての人々のために${\displaystyle n>N}$言い換えれば、上限値より大きい任意の数は、数列の最終的な上限値となります。数列の要素のうち、上限値より大きいものは有限個のみです。${\displaystyle b+\varepsilon }$。
• 下限${\displaystyle x_{n}}$最大の実数${\displaystyle b}$任意の正の実数に対して${\displaystyle \varepsilon }$自然数が存在する${\displaystyle N}$そのため${\displaystyle x_{n}>b-\varepsilon }$すべての人々のために${\displaystyle n>N}$言い換えれば、下限値より小さい数はすべて、数列の最終的な下限値となります。数列の要素のうち、下限値より小さいものは有限個だけです。${\displaystyle b-\varepsilon }$。

実数列における下限と上限の関係は以下のとおりです。 $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(-x_{n}\right)=-\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$$

前述のように、拡張すると便利です${\displaystyle \mathbb {R} }$に${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$それから、${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$で${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$収束するのは、 $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$$ その場合${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$はそれらの共通値に等しい。（${\displaystyle \mathbb {R} ,}$収束${\displaystyle -\infty }$または${\displaystyle \infty }$収束とはみなされない。）下極限は上極限と同値であるため、以下の条件が成り立つ。$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\liminf _{n\to \infty }x_{n}&=\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,\\[0.3ex]\limsup _{n\to \infty }x_{n}&=-\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty .\end{alignedat}}}$$

もし${\displaystyle I=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$そして${\displaystyle S=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$すると、間隔${\displaystyle [I,S]}$数字は含まれない${\displaystyle x_{n},}$しかし、わずかな拡大でも${\displaystyle [I-\epsilon ,S+\epsilon ],}$任意に小さい${\displaystyle \epsilon >0,}$含まれる${\displaystyle x_{n}}$有限個のインデックスを除くすべてのインデックスに対して${\displaystyle n.}$実際、間隔${\displaystyle [I,S]}$は、この性質を持つ最小の閉区間です。この性質は次のように形式化できます。部分列が存在します。${\displaystyle x_{k_{n}}}$そして${\displaystyle x_{h_{n}}}$の${\displaystyle x_{n}}$（どこ${\displaystyle k_{n}}$そして${\displaystyle h_{n}}$増加している) 我々は$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon >x_{h_{n}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{k_{n}}>\limsup _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon }$$

一方、${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$すべてに対して${\displaystyle n\geq n_{0}}$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon <x_{n}<\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon }$$

要約すると：

• もし${\displaystyle \Lambda }$上限を超えると、多くても有限個${\displaystyle x_{n}}$より大きい${\displaystyle \Lambda$ ;} もしそれより少ない場合は、無限にたくさんあります。
• もし${\displaystyle \lambda }$下限値より小さい場合、最大で有限個${\displaystyle x_{n}}$未満${\displaystyle \lambda$ ;} もしそれより大きい場合は、無限にたくさんあります。

逆に、以下のことも証明できる。

• 無限に多い場合${\displaystyle x_{n}}$以上${\displaystyle \Lambda }$、 それから${\displaystyle \Lambda }$上限以下である。有限個しかない場合${\displaystyle x_{n}}$より大きい${\displaystyle \Lambda }$、 それから${\displaystyle \Lambda }$上限値以上である。
• 無限に多い場合${\displaystyle x_{n}}$以下${\displaystyle \lambda }$、 それから${\displaystyle \lambda }$下限値以上である。有限個しかない場合${\displaystyle x_{n}}$より少ない${\displaystyle \lambda }$、 それから${\displaystyle \lambda }$下限値以下である。^{[ 2 ]}

一般的に、$${\displaystyle \inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}.}$$数列の liminf と limsup は、それぞれ最小および最大のクラスター点である。^{[ 3 ]}

• 任意の2つの実数列について${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$上側の極限は、不等式の右辺が定義されているとき（つまり、${\displaystyle \infty -\infty }$または${\displaystyle -\infty +\infty }$):$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\ \limsup _{n\to \infty }b_{n}.}$$

同様に、下極限は超加法性を満たす。$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\ \liminf _{n\to \infty }b_{n}.}$$特定のケースでは、数列の1つが実際に収束するとします。${\displaystyle a_{n}\to a,}$すると上記の不等式は等式になる（${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}}$または${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}}$に置き換えられる${\displaystyle a}$)

• 任意の2つの非負実数列について${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$不平等$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\leq \left(\limsup _{n\to \infty }a_{n}\!\right)\!\!\left(\limsup _{n\to \infty }b_{n}\!\right)}$$そして$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\geq \left(\liminf _{n\to \infty }a_{n}\right)\!\!\left(\liminf _{n\to \infty }b_{n}\right)}$$

右辺が次の形式でない場合は保持する${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

もし${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$存在する（ケースを含む）${\displaystyle A=+\infty }$） そして${\displaystyle B=\limsup _{n\to \infty }b_{n},}$それから${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}b_{n}\right)=AB}$ただし、${\displaystyle AB}$形式ではない${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

距離空間上で定義された関数には、limsupとliminfという概念があり、実数値関数の極限との関係は、limsup、liminfと実数列の極限との関係を反映している。距離空間を考えてみよう。${\displaystyle X}$部分空間${\displaystyle E}$含まれる${\displaystyle X}$、そして関数${\displaystyle f:E\to {\overline {\mathbb {R} }}}$任意の点に対して定義する。${\displaystyle a}$閉鎖の${\displaystyle E}$[ ^{7 ]​}

$${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right)}$$ そして

$${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right)}$$

どこ${\displaystyle B(a,\varepsilon )}$半径のメートル球を表す${\displaystyle \varepsilon }$について${\displaystyle a}$。

εが小さくなるにつれて、球上の関数の上限は非増加（厳密に減少または変化しない）となるので、次のようになります。

$${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf _{\varepsilon >0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right)}$$ 同様に $${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup _{\varepsilon >0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right).}$$

距離空間における limsup と liminf の定義は、以下のように同等に再定式化できる。

• 限界を超える${\displaystyle f(x)}$として${\displaystyle x\to x_{0}}$は最高位である${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f(x_{n})}$すべてのシーケンスを引き継いで、${\displaystyle x_{0}}$。
• 下限${\displaystyle f(x)}$として${\displaystyle x\to x_{0}}$は、${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }f(x_{n})}$すべてのシーケンスを引き継いで、${\displaystyle x_{0}}$。

これにより、最終的に一般的な位相空間の定義が導かれる。X 、E、aはこれまでと同じとするが、今度はXを位相空間とする。この場合、距離球を近傍に置き換える。^{[ 8 ]}

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf \,\{\,\sup \,\{f(x):x\in E\cap U\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U\}}$

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup \,\{\,\inf \,\{f(x):x\in E\cap U\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U\}}$

（ネットと近傍フィルタを使用して「lim」を使って式を書く方法もあります。）このバージョンは、解析学で頻繁に登場する半連続性の議論でよく役立ちます。興味深いことに、このバージョンは、拡張実数直線の位相部分空間としての自然数からの関数として数列を考慮に入れることで、逐次バージョンを包含しています（拡張実数直線[−∞,∞]におけるNの閉包はN ∪ {∞}です）。   

距離空間内の集合の列${\displaystyle X}$数列の各要素が極限集合の要素に近づくとき、極限集合に近づく。特に、${\displaystyle (X_{n})}$は、 のサブセットのシーケンスです。${\displaystyle X,}$それから：

• ${\displaystyle \limsup X_{n},}$これは外限界とも呼ばれ、点の限界である要素から構成されます。${\displaystyle X_{n}}$（可算に）無限に多くのものか​​ら取られた${\displaystyle n.}$つまり、${\displaystyle x\in \limsup X_{n}}$点列が存在する場合に限る${\displaystyle (x_{k})}$そしてその部分列${\displaystyle (X_{n_{k}})}$の${\displaystyle (X_{n})}$そのため${\displaystyle x_{k}\in X_{n_{k}}}$そして${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$
• ${\displaystyle \liminf X_{n},}$これは内限界とも呼ばれ、点の限界である要素から構成されます。${\displaystyle X_{n}}$有限個を除くすべて${\displaystyle n}$（つまり、有限個）${\displaystyle n}$つまり、${\displaystyle x\in \liminf X_{n}}$点列が存在する場合に限る${\displaystyle (x_{k})}$そのため${\displaystyle x_{k}\in X_{k}}$そして${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$

限界${\displaystyle \lim X_{n}}$存在するのは、${\displaystyle \liminf X_{n}}$そして${\displaystyle \limsup X_{n}}$同意します。その場合${\displaystyle \lim X_{n}=\limsup X_{n}=\liminf X_{n}.}$^{[ 9 ]}外側と内側の限界は、集合論的な上限と下限と混同してはならない。後者の集合は空間の位相構造に敏感ではないからである。

これは測度論と確率論で用いられる定義です。以下で説明する位相幾何学的な観点とは対照的に、集合論的な観点からの詳細な議論と例は、「集合論的極限」を参照してください。

この定義によれば、集合の列が極限集合に近づくのは、極限集合が、その列の有限個を除くすべての集合に含まれる要素を含み、かつ、その列の有限個を除くすべての補集合に含まれる要素を含まない場合である。つまり、この場合、集合Xの位相が離散距離から誘導される場合の一般的な定義を特殊化したものである。

具体的には、点x、y ∈ Xに対して、離散距離は次のように定義される。

${\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y,\\1&{\text{if }}x\neq y,\end{cases}}}$

点列 ( x _k ) が点x ∈ Xに収束するのは、有限個を除くすべてのkに対してx _k = xである場合に限る。したがって、極限集合が存在する場合、それは数列の集合のうち有限個を除くすべての集合に含まれる点のみを含む。離散距離における収束は最も厳密な形式の収束（つまり、最も多くの収束条件を必要とする）であるため、この極限集合の定義は可能な限り最も厳密である。

( X _n ) がXの部分集合の列である場合、以下は常に存在する。

• lim sup X _{n は、}無限個のnに対してX _nに属するXの要素から構成されます(可算無限を参照)。つまり、x ∈ lim sup X _{n で}あるのは、すべてのkに対してx ∈ X _{n k}となるような( X _n )の部分列 ( X n k ) が存在する場合に_限ります。
• lim inf X _{n は、}有限個のn を除くすべての nに対してX _nに属するXの要素から構成されます(つまり、nが有限個の場合を除く)。つまり、x ∈ lim inf X _nであるのは、すべてのn > mに対してx ∈ X _nとなるようなm > 0 が存在する場合に限ります。

x ∈ lim sup X _nであるのは、 x ∉ lim inf X _n ^cである場合のみであることに注意してください。

• lim X _nが存在するのは、lim inf X _nと lim sup X _nが一致する場合に限る。この場合、lim X _n = lim sup X _n = lim inf X _nとなる。

この意味で、数列は、Xのすべての点が有限個のX _{n を}除くすべての X n c に含まれるか、または有限個の X n c を除くすべてのX _n ^cに含まれる限り、極限を持つ。 ^{[ 10 ]}

集合論の標準的な用語を用いると、集合包含関係は、 Xのすべての部分集合の集合に対して部分順序を提供し、集合の交差によって最大の下限を、集合の和集合によって最小の上限を生成することを可能にします。したがって、部分集合の集合の最小値または交わりは最大の下限であり、最大値または結合は最小の上限です。この文脈では、内極限 lim inf X _nは数列の末尾の最大の交わりであり、外極限 lim sup X _nは数列の末尾の最小の結合です。以下ではこれをより正確に説明します。

• I _{n を}数列のn^番目の末尾の交点とする。つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}}$

数列 ( I _n ) は非減少です (つまりI _n ⊆ I _{n +1} )。なぜなら、各I _{n +1は}I _nよりも少ない集合の共通部分だからです。この末尾の交わりの数列の最小上界は

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\to \infty }X_{n}&=\sup \,\{\,\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

したがって、下限値には、数列の有限個の集合を除くすべての集合の下限となるすべての部分集合が含まれる。

• 同様に、J _{n を}シーケンスのn^番目の末尾の結合とする。つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}&=\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}}$

数列 ( J _n ) は非増加です (つまりJ _n ⊇ J _{n +1} )。なぜなら、各J _{n +1は}J _nよりも少ない集合の和集合だからです。この末尾結合の数列の最大下限は

${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }X_{n}&=\inf \,\{\,\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

したがって、上限値は、数列の有限個を除くすべての集合の上限となるすべての部分集合に含まれる。

以下に、集合収束の例をいくつか示します。これらは、集合X上の位相を誘導するために使用される距離に関して、いくつかのセクションに分けられています。

離散的な尺度を用いる

• ボレル・カンテリの補題は、これらの構成要素の応用例の一つである。

離散距離またはユークリッド距離のいずれかを使用する

• 集合X = {0,1} と、部分集合の列を考えてみましょう。

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

この数列の「奇数」要素と「偶数」要素は、それぞれ極限点が 0 と 1 である 2 つの部分列 ({0}, {0}, {0}, ...) と ({1}, {1}, {1}, ...) を形成し、外側または上側の極限は、これら 2 つの点の集合 {0,1} です。ただし、数列 ( X _n ) 全体から極限点を取ることはできないため、内側または下側の極限は空集合 { } です。つまり、

• lim sup X _n = {0,1}
• lim inf X _n = { }

ただし、( Y _n ) = ({0}, {0}, {0}, ...) および ( Z _n ) = ({1}, {1}, {1}, ...) の場合：

• lim sup Y _n = lim inf Y _n = lim Y _n = {0}
• lim sup Z _n = lim inf Z _n = lim Z _n = {1}

• 集合X = {50, 20, −100, −25, 0, 1} と、部分集合の列を考えてみましょう。

${\displaystyle (X_{n})=(\{50\},\{20\},\{-100\},\{-25\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

前の2つの例と同様に、

• lim sup X _n = {0,1}
• lim inf X _n = { }

つまり、パターンに一致しない 4 つの要素は有限個しかないため、lim inf と lim sup には影響しません。実際、これらの要素は数列のどこにでも配置できます。数列の末尾が維持されている限り、外側の限界と内側の限界は変わりません。本質的な上限と本質的な下限を使用する、関連する概念である本質的な内側の限界と外側の限界は、有限個だけでなく可算個の中間的な追加を「押しつぶす」重要な修正を提供します。

ユークリッド距離を使用する

• 有理数の部分集合の列を考えてみましょう。

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{1/2\},\{1/2\},\{2/3\},\{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\dots ).}$

この数列の「奇数」要素と「偶数」要素は、それぞれ極限点が 1 と 0 である 2 つの部分列 ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) と ({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}, ...) を形成し、外側または上側の極限は、これら 2 つの点の集合 {0,1} です。ただし、数列 ( X _n ) 全体から極限点を取ることはできないため、内側または下側の極限は空集合 { } です。したがって、前の例と同様に、

• lim sup X _n = {0,1}
• lim inf X _n = { }

ただし、( Y _n ) = ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) および ( Z _n ) = ({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}, ...) の場合：

• lim sup Y _n = lim inf Y _n = lim Y _n = {1}
• lim sup Z _n = lim inf Z _n = lim Z _n = {0}

これら4つのケースのいずれにおいても、極限集合の要素は、元の数列のどの集合の要素にも含まれていない。

• 動的システムの解のΩ極限（すなわち極限集合）は、システムの解軌跡の外側の極限です。^{[ 9 ]： 50-51}軌跡はこの極限集合にどんどん近づくため、これらの軌跡の末端は極限集合に収束します。

• 例えば、減衰比がゼロの2次LTIシステムと複数の安定システムをカスケード接続したLTIシステムは、摂動を受けると無限に振動します（例えば、叩かれた後の理想的なベル）。したがって、このシステムの位置と速度を互いにプロットすると、軌跡は状態空間内の円に近づきます。この円はシステムのΩ極限集合であり、システムの解軌跡の外側の極限です。この円は、純粋な正弦波音出力に対応する軌跡の軌跡を表しています。つまり、システム出力は純音に近づきます。

集合X  ⊆ Yの下極限は、集合のすべての極限点の下限です。つまり、

${\displaystyle \liminf X:=\inf \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

同様に、 Xの上限は、集合のすべての極限点の上限です。つまり、

${\displaystyle \limsup X:=\sup \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

これらの定義が意味を持つためには、集合X は位相空間でもある半順序集合Yの部分集合として定義される必要があることに注意してください。さらに、上限と下限が常に存在するように、完全束である必要があります。この場合、すべての集合には上限と下限が存在します。また、集合の下限と上限は、必ずしもその集合の要素である必要はないことにも注意してください。

位相空間Xと、その空間内のフィルタ基底Bを考えます。そのフィルタ基底のすべてのクラスタ点の集合は次のように与えられます。

${\displaystyle \bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

どこ${\displaystyle {\overline {B}}_{0}}$閉鎖とは${\displaystyle B_{0}}$これは明らかに閉集合であり、集合の極限点の集合に似ています。X も半順序集合であると仮定します。フィルタベースBの上限極限は次のように定義されます。

${\displaystyle \limsup B:=\sup \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

その上限が存在する場合。Xが全順序を持ち、完全束であり、順序位相を持つ場合、

${\displaystyle \limsup B=\inf \,\{\sup B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

同様に、フィルタベースBの下限は次のように定義される。

${\displaystyle \liminf B:=\inf \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

その下限が存在する場合、Xが全順序であり、完全束であり、順序トポロジーを持つ場合、

${\displaystyle \liminf B=\sup \,\{\inf B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

下限値と上限値が一致する場合、クラスタポイントは必ず1つだけ存在し、フィルタ基底の限界値はこの唯一のクラスタポイントと等しくなります。