豊富な数

数論では、過剰数または過剰数は、その真約数の合計がその数よりも大きい正の整数です。整数 12 は最初の過剰数です。その真約数は 1、2、3、4、6 で、合計は 16 です。合計がその数を超える量が過剰数です。たとえば、数 12 の過剰数は 4 です。

過剰数とは、約数σ ( n )の和がσ ( n ) > 2 n を満たす自然数 n 、または、同等に、真約数 (または約数和) s ( n )の和がs ( n ) > n を満たす自然数 n です。

自然数の豊富さは整数 σ ( n ) −2n ( s ( n )−nと同値)である。

最初の 28 個の豊富な数は次のとおりです。

12、18、20、24、30、36、40、42、48、54、56、60、66、70、72、78、80、84、88、90、96、100、102、104、108、112、114、120、...（OEISのシーケンスA005101 ）。

たとえば、24 の約数は 1、2、3、4、6、8、12 で、その合計は 36 です。36 は 24 より大きいので、24 は豊富です。豊富さは 36 − 24 = 12 です。

• 最小の奇数過剰数は 945 です。
• 2でも3でも割り切れない最小の多元数は5391411025で、その異なる素因数は5、7、11、13、17、19、23、29である（OEISのシーケンスA047802 ）。2005年にIannucciによって与えられたアルゴリズムは、最初のk個の素数で割り切れない最小の多元数を見つける方法を示している。^{[1]が最初の}k個の素数で割り切れない最小の多元数を表す場合、すべてに対して ${\displaystyle A(k)}$${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle (1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }}$

十分に大きいkに対して。

• 完全数の倍数（完全数自身を除く）はすべて豊富である。^[2] 例えば、6より大きい6の倍数はすべて豊富である。${\displaystyle 1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1.}$
• 過剰数の倍数はすべて過剰である。^[2] 例えば、20の倍数（20自体も含む）はすべて過剰である。${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}.}$
• したがって、偶数と奇数の過剰数は無限に存在します。

• さらに、過剰数の集合は非ゼロの自然密度を持ちます。^[3] マルク・デレグリーズは1998年に、過剰数と完全数の集合の自然密度が0.2474から0.2480の間であることを示しました。^[4]
• 過剰数または完全数の倍数ではない過剰数（つまり、そのすべての真約数が不足している）は、原始過剰数と呼ばれます。
• より低い数よりも豊富である数は、非常に豊富である数と呼ばれ、相対的豊富さ（すなわちs(n)/n）がより低い数よりも大きい数は、過剰数と呼ばれる。
• 20161より大きい整数はすべて、2つの余り数の和として表すことができます。2つの余り数の和ではない最大の偶数は46です。^[5]
• 半完全数ではない過剰数は奇数と呼ばれる。^[6] 過剰数が1である過剰数は準完全数と呼ばれるが、そのような数はまだ発見されていない。
• すべての過剰数は、完全数または原始過剰数の倍数です。

真因数の合計がその数自体に等しい数（6 や 28 など）は完全数と呼ばれ、真因数の合計がその数自体よりも小さい数は不足数と呼ばれます。不足数、完全数、過剰数に分類された最初の例は、ニコマコスの著書『算術入門』 （西暦 100 年頃）で、その中で過剰数は手足が多すぎる奇形の動物のようなものだと説明されています。

nの豊富さ指数は比σ ( n )/ nである。^[7]豊富かどうかに関わらず、同じ豊富さ指数を持つ異なる数n1、n2、_...は_友好数と呼ばれる。

σ ( n )> knとなる最小_の数nのシーケンス( ak )は、a2 =12_が最初の豊富な数に対応し、非常に急速に増加します( OEISのシーケンスA134716 )。

豊かさ指数が3を超える最小の奇数は1018976683725 = 3 ³ × 5 ² × 7 ² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29である^。[8]

p = ( p ₁ , ..., p _n ) が素数のリストである場合、 pに含まれる素数のみで構成される整数が豊富である場合、p は豊富であると呼ばれます。これに必要な十分条件は、 p _i /( p _i − 1)の積が2 より大きいことです^。[9]

• タッタソール、ジェームズ・J. (2005)。『9章からなる初等数論』（第2版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-85014-8.ZBL1071.11002  。​

• プライム用語集: 豊富な数
• Weisstein、Eric W.「Abundant Number」。MathWorld。
• PlanetMathには豊富な数があります。