5040（番号）

5040（五千四十）は、5039の次で5041の前の 自然数です。

これは階乗（7！）、優れた高度合成数、豊富な数、超豊富な数、および10の選択肢から4つの項目を選ぶ順列の数（10 × 9 × 8 × 7 = 5040）です。また、平方数より1小さいため、（7、71）はブラウン数ペアになります。

プラトンは著書『法律』の中で、5040 は多くのもの (都市国家またはポリスの市民と土地の両方を含む) をより小さな部分に分割するのに便利な数であり、ポリスを構成する市民 (家族の長) の数として理想的な数であると述べています。^{[1]彼は、この数は}11を除いて1から12までのすべての(自然) 数で割り切れると述べています(ただし、この特性を持つ最小の数ではなく、2520が最小の数です)。彼はこの「欠陥」を修正するために、市民の体から 2 つの家族を引くと 5038 という 11 で割り切れる数が得られると提案しています。プラトンはまた、5040 が 12 で 2 回割り切れるという事実にも注目しました。実際、プラトンが5040をさまざまな国家目的に使用することを繰り返し主張していたことは明白であり、ベンジャミン・ジョウェットは『法律』の翻訳の序文で「ピタゴラスの影響を受けて執筆したプラトンは、都市の幸福は正義と節度と同じくらい5040という数字にかかっていると本当に考えていたようだ」と書いている。^[2]

ジャン＝ピエール・カハネは、プラトンが5040という数字を使ったのは、より小さな数よりも約数が多い数、つまり高度に合成された数の概念が初めて登場したことを示すものだと示唆している。^[3]

が約数の和関数で、がオイラー・マスケローニ定数である場合、5040 は、この不等式が成り立つ 27 個の既知の数 ( OEISのシーケンスA067698 ) の中で最大の数です。 ${\displaystyle \sigma (n)}$${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle \sigma (n)\geq e^{\gamma }n\log \log n}$。

これはいくぶん異常です。なぜなら、極限では次のようになるからです。

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }.}$

ガイ・ロビンは 1984 年に、リーマン予想が正しい場合にのみ、すべての大きな数に対して不等式が成立しないことを示しました。

• 5040 には、それ自身と 1 を含めるとちょうど 60 個の約数があります。
• 5040 は、高度に合成された数である最大の階乗(7! = 5040)です。8! = 40320より小さい階乗はすべて高度に合成された数です。
• 5040 は、連続する 42 個の素数 (23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 127 + 131 + 137 + 139 + 149 + 151 + 157 + 163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211 + 223 + 227 + 229) の合計です。
• 5040 は、2 の最初の 10 個の倍数 (2、4、6、8、10、12、14、16、18、20) の最小公倍数です。

• プラトンの数に関するMathworld の記事