二次元ストリーム関数
前提条件 二次元流線関数は、以下の仮定に基づいています。
流れ場は、速度ベクトルを持つ二次元平面流れとして記述できる。 u = [ u （ x 、 y 、 t ） v （ x 、 y 、 t ） 0 ] 。 {\displaystyle \quad \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u(x,y,t)\\v(x,y,t)\\0\end{bmatrix}}.} ∇ ⋅ u = 0. {\displaystyle \quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0.} この領域には穴がないか、あるいは内向きにも外向きにも正味の流量がない穴しか存在しない。 原理的には、ストリーム関数は特定の座標系を使用する必要はありませんが、便宜上、ここで説明するには、座標を持つ右手系デカルト座標系を使用します。 （ x 、 y 、 z ） {\displaystyle (x,y,z)}
導出
試験面を通過するフラックス 試験面を通過する体積流量は、点と点を結びます。 A {\displaystyle A} P 。 {\displaystyle P.} 試験面を通過する総体積流量は
Q （ x 、 y 、 t ） = ∫ 0 b ∫ 0 L u ⋅ n ^ d s d z {\displaystyle Q(x,y,t)=\int _{0}^{b}\int _{0}^{L}\mathbf {u} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} z} どこs {\displaystyle s} A P {\displaystyle AP} s = 0 {\displaystyle s=0} A {\displaystyle A} s = L {\displaystyle s=L} P {\displaystyle P} n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 単位ベクトル、すなわち、
n ^ d s = − R d r = [ d y − d x 0 ] {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}\,\mathrm {d} s=-R\,\mathrm {d} \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\mathrm {d} y\\-\mathrm {d} x\\0\end{bmatrix}}} どこR {\displaystyle R} 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} 回転行列 は、90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} z {\displaystyle z}
R = R z （ 90 ∘ ） = [ 0 − 1 0 1 0 0 0 0 1 ] 。 {\displaystyle R=R_{z}(90^{\circ })={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.} 式中の被積分関数Q {\displaystyle Q} z {\displaystyle z}
Q （ x 、 y 、 t ） = b ∫ A P （ u d y − v d x ） {\displaystyle Q(x,y,t)=b\,\int _{A}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right)}
古典的な定義 ラム とバチェラーは ストリーム関数を定義するψ {\displaystyle \psi } [ 3 ]
ψ （ x 、 y 、 t ） = ∫ A P （ u d y − v d x ） {\displaystyle \psi (x,y,t)=\int _{A}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right)} 上記で導出した総体積流量の式を用いると、Q {\displaystyle Q}
ψ （ x 、 y 、 t ） = Q （ x 、 y 、 t ） b {\displaystyle \psi (x,y,t)={\frac {Q(x,y,t)}{b}}} 言い換えれば、ストリーム関数ψ {\displaystyle \psi }
要点A {\displaystyle A}
ごくわずかな 変化d P = （ d x 、 d y ） {\displaystyle \mathrm {d} P=(\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)} P {\displaystyle P}
d ψ = u d y − v d x {\displaystyle \mathrm {d} \psi =u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x} 正確な差分 から
d ψ = ∂ ψ ∂ x d x + ∂ ψ ∂ y d y 、 {\displaystyle \mathrm {d} \psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,\mathrm {d} y,} つまり、流れ関数に関連する流速成分 ψ {\displaystyle \psi }
u = ∂ ψ ∂ y 、 v = − ∂ ψ ∂ x 。 {\displaystyle u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\qquad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}.} 流れ関数は速度に対して線形で あることに注目してください。したがって、2つの非圧縮性流れ場を重ね合わせると、結果として得られる流れ場の流れ関数は、元の2つの流れ場の流れ関数の代数和になります。
基準点の位置ずれの影響 基準点の位置が、例えばからずれることを考えてみましょう。A {\displaystyle A} A ′ {\displaystyle A'} ψ ′ {\displaystyle \psi '} A ′ {\displaystyle A'}
ψ ′ （ x 、 y 、 t ） = ∫ A ′ P （ u d y − v d x ） 。 {\displaystyle \psi '(x,y,t)=\int _{A'}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right).} 次に、ストリーム関数はシフトされます。
Δ ψ （ t ） = ψ ′ （ x 、 y 、 t ） − ψ （ x 、 y 、 t ） = ∫ A ′ A （ u d y − v d x ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \psi (t)&=\psi '(x,y,t)-\psi (x,y,t)\\&=\int _{A'}^{A}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right),\end{aligned}}} これは以下のことを意味する。
基準点の位置が変化すると、流れ関数に定数項（定常流の場合）または時間のみの関数項（非定常流の場合）が実質的に追加される。ψ {\displaystyle \psi } P {\displaystyle P} ストリーム関数のシフト、Δ ψ {\displaystyle \Delta \psi } A ′ {\displaystyle A'} A {\displaystyle A} Δ ψ = 0 {\displaystyle \Delta \psi =0} A {\displaystyle A} A ′ {\displaystyle A'}
気象学 や海洋学 で用いられる別の定義は、
ψ ′ = − ψ 。 {\displaystyle \psi '=-\psi .}
渦度との関係 二次元平面流れでは、渦度 ベクトルは次のように定義される。ω = ∇ × u {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} } ω z ^ {\displaystyle \omega \,{\hat {\mathbf {z} }}}
ω = − ∇ 2 ψ {\displaystyle \omega =-\nabla ^{2}\psi } または
ω = + ∇ 2 ψ ′ {\displaystyle \omega =+\nabla ^{2}\psi '} これらはポアソン方程式 の形式です。
流線との関係 2つの無限に接近した点を持つ2次元平面流れを考えるP = （ x 、 y 、 z ） {\displaystyle P=(x,y,z)} P ′ = （ x + d x 、 y + d y 、 z ） {\displaystyle P'=(x+dx,y+dy,z)}
d ψ （ x 、 y 、 t ） = ψ （ x + d x 、 y + d y 、 t ） − ψ （ x 、 y 、 t ） = ∂ ψ ∂ x d x + ∂ ψ ∂ y d y = ∇ ψ ⋅ d r {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \psi (x,y,t)&=\psi (x+\mathrm {d} x,y+\mathrm {d} y,t)-\psi (x,y,t)\\&={\partial \psi \over \partial x}\mathrm {d} x+{\partial \psi \over \partial y}\mathrm {d} y\\&=\nabla \psi \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}} 仮定するψ {\displaystyle \psi } C {\displaystyle C} P {\displaystyle P} P ′ {\displaystyle P'}
0 = ∇ ψ ⋅ d r 、 {\displaystyle 0=\nabla \psi \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} ,} ベクトルが∇ ψ {\displaystyle \nabla \psi } ψ = C {\displaystyle \psi =C} u ⋅ ∇ ψ = 0 {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \psi =0} ベクトル回転の観点から 参照）、各流線は特定の流面と特定の水平面との交点に対応します。したがって、3 次元では、特定の流線を明確に識別するには、流線関数と標高の両方の対応する値を指定する必要があります（z {\displaystyle z}
ここでの展開は、空間領域が3次元であることを前提としている。流れ関数の概念は、2次元空間領域においても展開することができる。その場合、流れ関数の等高線は曲面ではなく曲線であり、流線は流れ関数の等高線となる。したがって、2次元においては、特定の流線を明確に識別するには、対応する流れ関数の値を指定するだけでよい。
存在条件 2次元平面流れの場合、u {\displaystyle \mathbf {u} }
（ ∇ ⋅ u ） z ^ = − ∇ × （ R u ） {\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {u} )\,{\hat {\mathbf {z} }}=-\nabla \times (R\,\mathbf {u} )} どこR {\displaystyle R} 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} 回転行列 は、90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} z {\displaystyle z}
流れが非圧縮性である場合（つまり、∇ ⋅ u = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}
0 = ∇ × （ R u ） {\displaystyle \mathbf {0} =\nabla \times (R\,\mathbf {u} )} すると、ストークスの定理 により、線積分 はR u {\displaystyle R\,\mathbf {u} }
∮ ∂ Σ （ R u ） ⋅ d Γ = 0. {\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }(R\,\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } =0.} したがって、線積分はR u {\displaystyle R\,\mathbf {u} } は経路に依存しない。最後に、勾配定理 の逆により、スカラー関数はψ （ x 、 y 、 t ） {\displaystyle \psi (x,y,t)}
R u = ∇ ψ {\displaystyle R\,\mathbf {u} =\nabla \psi } ここψ {\displaystyle \psi }
逆に、ストリーム関数が存在する場合、R u = ∇ ψ {\displaystyle R\,\mathbf {u} =\nabla \psi } ∇ ⋅ u = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}
要約すると、二次元平面流れにおける流れ関数が存在するのは、流れが非圧縮性である場合に限る。
物件概要 二次元流線関数の基本的な性質は、以下のように要約できます。
ある地点における流速のx成分とy成分は、その地点 における流れ 関数の偏微分によって与えられる。 流線関数の値は、すべての流線 に沿って一定です（流線は定常流における粒子の軌跡を表します）。つまり、2次元では、各流線は流線関数の等高線となります。 任意の2点における流れ関数の値の差は、その2点を結ぶ垂直面を通過する体積流量を表す。 
