ポアンカレ・リンドステット法

摂動理論において、ポアンカレ・リンドステット法またはリンドステット・ポアンカレ法は、通常の摂動アプローチが失敗した場合に、常微分方程式の周期解を均一に近似するための手法である。この方法は、有限の振動解を持つ弱非線形問題に摂動理論をそのまま適用した場合に生じる永年項（際限なく増大する項）を除去する。^{[ 1 ] [ 2 ]}

この方法は、アンリ・ポアンカレ^{[ 3 ]}とアンダース・リンドステット^{[ 4 ]}にちなんで名付けられました。

今世紀後半における幾何学者のあらゆる努力は、永年項の排除を主な目的としてきた。

この記事ではいくつかの例を挙げています。この理論は、Verhulst著『非線形微分方程式と力学系』の第10章に記載されています。^{[ 5 ]}

減衰なし、強制なしのダフィング方程式は次のように表される。

${\displaystyle {\ddot {x}}+x+\varepsilon \,x^{3}=0\,}$

t  > 0の場合 、0  < ε ≪ 1である。 ^{[ 6 ]}   

初期条件を考慮する

${\displaystyle x(0)=1,\,}$ ${\displaystyle {\dot {x}}(0)=0.\,}$

x ( t ) = x ₀ ( t ) + ε x ₁ ( t ) + ...の形の摂動級数解を求めます。級数の最初の 2 項は次のようになります。       

${\displaystyle x(t)=\cos(t)+\varepsilon \left[{\tfrac {1}{32}}\,\left(\cos(3t)-\cos(t)\right)-{\tfrac {3}{8}}\,t\,\sin(t)\right]+\cdots .\,}$

この近似は時間とともに際限なく増大し、これは方程式がモデル化する物理システムと矛盾する。^{[ 7 ]}この際限のない増大の原因となる項は、永年項と呼ばれ、${\displaystyle t\sin(t)}$ポアンカレ・リンドステット法を用いると、以下のように、あらゆる時間に対して正確な近似値を作成することができる。

解自体を漸近級数として表現することに加えて、時間tをスケーリングするための別の級数を作成します。

${\displaystyle \tau =\omega t,\,}$ どこ ${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\varepsilon \omega _{1}+\cdots .\,}$

当社がトップオーダーを獲得$\displaystyle \omega _{0}=1}$なぜなら、${\displaystyle \varepsilon =0}$この方程式には解がある${\displaystyle x=\cos(t)}$すると元の問題は

${\displaystyle \omega ^{2}\,x''(\tau )+x(\tau )+\varepsilon \,x^{3}(\tau )=0\,}$

Now search for a solution of the form x(τ) = x₀(τ) + ε x₁(τ) + ... . The following solutions for the zeroth and first order problem in ${\displaystyle \varepsilon }$ are obtained:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\cos(\tau )\\{\text{and }}x_{1}&={\tfrac {1}{32}}\,\left(\cos(3\tau )-\cos(\tau )\right)+\left(\omega _{1}-{\tfrac {3}{8}}\right)\,\tau \,\sin(\tau ).\end{aligned}}}$

So the secular term can be removed through the choice: ω₁ = ⁠3/8⁠. Higher orders of accuracy can be obtained by continuing the perturbation analysis along this way. As of now, the approximation—correct up to first order in ε—is

${\displaystyle x(t)\approx \cos {\Bigl (}\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \right)\,t{\Bigr )}+{\tfrac {1}{32}}\,\varepsilon \,\left[\cos {\Bigl (}3\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \,\right)\,t{\Bigr )}-\cos {\Bigl (}\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \,\right)\,t{\Bigr )}\right].\,}$

We solve the van der Pol oscillator only up to order 2. This method can be continued indefinitely in the same way, where the order-n term $\displaystyle \epsilon ^{n}x_{n}}$ consists of a harmonic term ${\displaystyle a_{n}\cos(t)+b_{n}\cos(t)}$, plus some super-harmonic terms ${\displaystyle a_{n,2}\cos(2t)+b_{n,2}\cos(2t)+\cdots .}$ The coefficients of the super-harmonic terms are solved directly, and the coefficients of the harmonic term are determined by expanding down to order-(n+1), and eliminating its secular term.

See chapter 10 of ^[5] for a derivation up to order 3, and ^[8] for a computer derivation up to order 164.

Consider the van der Pol oscillator with equation$${\displaystyle {\ddot {x}}+\epsilon (x^{2}-1){\dot {x}}+x=0}$$where ${\displaystyle \epsilon }$ is a small positive number. Perform substitution to the second order:

${\displaystyle \tau =\omega t,\,}$  where  ${\displaystyle \omega =1+\epsilon \omega _{1}+\epsilon ^{2}\omega _{2}+O(\epsilon ^{3})}$

which yields the equation$${\displaystyle \omega ^{2}{\ddot {x}}+\omega \epsilon (x^{2}-1){\dot {x}}+x=0}$$Now plug in ${\displaystyle x=x_{0}+\epsilon x_{1}+\epsilon ^{2}x_{2}+O(\epsilon ^{3})}$, and we have three equations, for the orders ${\displaystyle 1,\epsilon ,\epsilon ^{2}}$ respectively:$${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {x}}_{0}+x_{0}=0\\{\ddot {x}}_{1}+x_{1}+2\omega _{1}{\ddot {x}}_{0}+(x_{0}^{2}-1){\dot {x}}_{0}=0\\{\ddot {x}}_{2}+x_{2}+(\omega _{1}^{2}+2\omega _{2}){\ddot {x}}_{0}+2\omega _{1}{\ddot {x}}_{1}+2x_{0}x_{1}{\dot {x}}_{0}+\omega _{1}(x_{0}^{2}-1){\ドット {x}}_{0}+{\ドット{x}}_{1}(x_{0}^{2}-1)=0\end{cases}}}$$The first equation has general solution ${\displaystyle x_{0}=A\cos(\tau +\phi )}$. Pick origin of time such that ${\displaystyle \phi =0}$. Then plug it into the second equation to obtain (after some trigonometric identities)$${\displaystyle {\ddot {x}}_{1}+x_{1}+(AA^{3}/4)\sin \tau -2\omega _{1}A\cos \tau -(A^{3}/4)\sin(3\tau )=0}$$To eliminate the secular term, we must set both ${\displaystyle \sin \tau ,\cos \tau }$ coefficients to zero, thus we have $${\displaystyle {\begin{cases}A=A^{3}/4\\2\omega _{1}A=0\end{cases}}}$$yielding ${\displaystyle A=2,\omega _{1}=0}$. In particular, we found that when ${\displaystyle \epsilon }$ increases from zero to a small positive constant, all circular orbits in phase space are destroyed, except the one at radius 2. Now solving ${\displaystyle {\ddot {x}}_{1}+x_{1}=2\sin(3\tau )}$ yields ${\displaystyle x_{1}=B\cos(\tau +\phi )-{\frac {1}{4}}\sin(3\tau )}$. We can always absorb ${\displaystyle \epsilon B\cos(\tau +\phi )}$ term into ${\displaystyle x_{0}}$, so we can WLOG have just ${\displaystyle x_{1}=-{\frac {1}{4}}\sin(3\tau )}$.

Now plug into the second equation to obtain$${\displaystyle {\ddot {x}}_{2}+x_{2}-(4\omega _{2}+1/4)\cos \tau -{\frac {3}{4}}\cos 3\tau -{\frac {5}{4}}\cos 5\tau =0}$$To eliminate the secular term, we set ${\displaystyle \omega _{2}=-{\frac {1}{16}}}$.

Thus we find that ${\displaystyle \omega =1-{\frac {1}{16}}\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})}$.

This is an example of parametric resonance.

Consider the Mathieu equation${\displaystyle {\ddot {x}}+(1+b\epsilon ^{2}+\epsilon \cos(t))x=0}$, where ${\displaystyle b}$ is a constant, and ${\displaystyle \epsilon }$ is small. The equation's solution would have two time-scales, one fast-varying on the order of ${\displaystyle t}$, and another slow-varying on the order of ${\displaystyle T=\epsilon ^{2}t}$. So expand the solution as $${\displaystyle x(t)=x_{0}(t,T)+\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+O(\epsilon ^{3})}$$Now plug into the Mathieu equation and expand to obtain$${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}^{2}x_{0}+x_{0}=0\\\partial _{t}^{2}x_{1}+x_{1}=-\cos(t)x_{0}\\\partial _{t}^{2}x_{2}+x_{2}=-bx_{0}-2\partial _{tT}x_{0}-\cos(t)x_{1}\end{cases}}}$$As before, we have the solutions$${\displaystyle {\begin{cases}x_{0}=A\cos(t)+B\sin(t)\\x_{1}=-{\frac {A}{2}}+{\frac {A}{6}}\cos(2t)+{\frac {B}{6}}\sin(2t)\end{cases}}}$$The secular term coefficients in the third equation are $${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{12}}\left(-12bA+5A-24B'\right)\\{\frac {1}{12}}\left(24A'-12bB-B\right)\end{cases}}}$$Setting them to zero, we find the equations of motion:

${\displaystyle {\frac {d}{dT}}{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{2}}({\frac {1}{12}}+b)\\{\frac {1}{2}}({\frac {5}{12}}-b)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}}$

Its determinant is ${\displaystyle {\frac {1}{4}}(b-5/12)(b+1/12)}$, and so when ${\displaystyle b\in (-1/12,5/12)}$, the origin is a saddle point, so the amplitude of oscillation ${\displaystyle {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$ grows unboundedly.

言い換えれば、角周波数（この場合、${\displaystyle 1}$) パラメータは角周波数に十分近い (この場合、${\displaystyle {\sqrt {1+b\epsilon ^{2}}}}$）元の発振器の振動は、子供がブランコ​​に乗って月までずっと揺れているように、際限なく大きくなります。

ファンデルポール発振器の場合、次のようになります。${\displaystyle \omega \sim 1/\epsilon }$大型向け${\displaystyle \epsilon }$そのため${\displaystyle \epsilon }$大きくなると、${\displaystyle \omega }$に関しては${\displaystyle \epsilon }$分岐し、維持するためにますます多くの条件を保持する必要がある${\displaystyle \omega }$有界である。これは、有界なパラメータ化を示唆している。$${\displaystyle r:={\frac {\epsilon }{1+\epsilon }}}$$次に、シリアル展開を使用して${\displaystyle \epsilon \omega =r+c_{2}r^{2}+c_{3}r^{3}+c_{4}r^{4}+\cdots }$そして${\displaystyle x=x_{0}+rx_{1}+r^{2}x_{2}+\cdots }$、そして同じ方法で世俗項を消去すると、${\displaystyle c_{2}=1,c_{3}={\frac {15}{16}},c_{4}={\frac {13}{16}}}$。

なぜなら${\displaystyle \lim _{\epsilon \to \infty }r=1}$拡張${\displaystyle \epsilon \omega =r+c_{2}r^{2}+c_{3}r^{3}+c_{4}r^{4}+\cdots }$これにより、右辺の級数の項数を有限にすることができ、有限値に収束します。${\displaystyle \epsilon \to \infty }$制限。そうすれば、${\displaystyle \omega \sim 1/\epsilon }$^{これはまさに望ましい漸近挙動である。これがショハット展開[ 9 ]}の背後にある考え方である。

正確な漸近定数は${\displaystyle \epsilon \omega \to {\frac {2\pi }{3-2\ln 2}}=3.8936\cdots }$ご覧のとおり、それは${\displaystyle 1+c_{2}+c_{3}+c_{4}=3.75}$。