派生スキーム

代数幾何学において、導来スキームは、古典的な可換環を微分次数代数、可換単体環、または可換環スペクトルなどの導来バージョンに置き換えたスキームのホモトピー理論的一般化である。

点の関数の観点から見ると、導出スキームは、開いたアフィン被覆を許容する単体可換環のカテゴリ上の層Xです。 ${\displaystyle \{Spec(A_{i})\to X\}}$

局所環空間の観点から見ると、導来スキームは位相空間Xと、X上の単体可換環または可換環スペクトル^[1]の層からなるペアであり、(1)ペアはスキームであり、(2)は準コヒーレントな-モジュールである。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle (X,\pi _{0}{\mathcal {O}})}$${\displaystyle \pi _{k}{\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \pi _{0}{\mathcal {O}}}$

派生スタックは、派生スキームのスタック一般化です。

特性ゼロの体上では、この理論は微分次数スキームの理論と密接に関連している。^[2] 定義により、微分次数スキームは、エタール位相に関して、アフィン微分次数スキームを接着することによって得られる。^{[3]これは、}マキシム・コンツェビッチ^[4]によって「導来代数幾何学への最初のアプローチ」として導入され、 ^[5]ミハイル・カプラノフとイオナット・チオカン・フォンタニンによってさらに発展した。

アフィン代数幾何学が（圏論的な意味で）可換環（一般に可換代数と呼ばれる）の理論と同値であるのと同様に、特性ゼロ上のアフィン導来代数幾何学は可換微分次数環の理論と同値である。導来スキームの主な例の1つは、スキームのサブスキームの導来交差から得られ、Koszul複体を与える。例えば、とすると、導来スキームを得ることができる 。${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]=R}$

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{\bullet })=\mathbf {RSpec} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})\right)}$

どこ

${\displaystyle {\textbf {RSpec}}:({\textbf {dga}}_{\mathbb {C} })^{op}\to {\textbf {DerSch}}}$

はエタールスペクトルである。^[要出典]解像度を構築できるので

${\displaystyle {\begin{matrix}0\to &R&{\xrightarrow {\cdot f_{i}}}&R&\to 0\\&\downarrow &&\downarrow &\\0\to &0&\to &R/(f_{i})&\to 0\end{matrix}}}$

導来環、すなわち導来テンソル積はコシュル複体である。この導来スキームを振幅に切断すると、導来代数幾何学の根拠となる古典的なモデルが得られる。射影スキーム ${\displaystyle R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})}$${\displaystyle K_{R}(f_{1},\ldots,f_{k})}$${\displaystyle [-1,0]}$

${\displaystyle \operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\right)}$

ここで、導出されたスキームを構築することができる。 ${\displaystyle \deg(f_{i})=d_{i}}$${\displaystyle (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {E}}^{\bullet },(f_{1},\ldots ,f_{k}))}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }=[{\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(-d_{k}){\xrightarrow {(\cdot f_{1},\ldots ,\cdot f_{k})}}{\mathcal {O}}]}$

振幅あり${\displaystyle [-1,0]}$

を特性 の体上で定義された固定微分次数代数とします。次の条件が満たされる場合、 -微分次数代数は半自由と呼ばれます。${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle A_{\bullet}}$${\displaystyle (R_{\bullet },d_{R})}$

1. 基礎となる次数代数は上の多項式代数であり、つまり と同型である。${\displaystyle R_{\bullet}}$${\displaystyle A_{\bullet}}$${\displaystyle A_{\bullet }[\{x_{i}\}_{i\in I}]}$
2. 任意の に対してとなるインデックス セット上にフィルタリングが存在します。${\displaystyle \varnothing =I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \cdots }$${\displaystyle I}$${\displaystyle \cup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=I}$${\displaystyle s(x_{i})\in A_{\bullet }[\{x_{j}\}_{j\in I_{n}}]}$${\displaystyle x_{i}\in I_{n+1}}$

あらゆる微分次数代数は半自由微分次数代数からの射影準同型性を持つことが判明しており、これを半自由分解と呼ぶ。これらは適切なモデルカテゴリにおけるホモトピー同値性を除き一意である。微分次数代数の（相対）コタンジェント複体は半自由分解を用いて構成することができ、次のように定義される。 ${\displaystyle A_{\bullet}}$${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B})}$${\displaystyle (R_{\bullet },d_{R})\to (B_{\bullet },d_{B})}$

${\displaystyle \mathbb {L} _{B_{\bullet }/A_{\bullet }}:=\Omega _{R_{\bullet }/A_{\bullet }}\otimes _{R_{\bullet }}B_{\bullet }}$

多くの例は、特性 0 の体上の多様体を表す代数を取り、多項式代数の商としての表示を見つけ、この表示に関連付けられた Koszul 複体を取ることによって構築できます。Koszul 複体は、次数 0 の非自明な次数部分を持つ次数代数である微分次数代数の半自由分解として機能します。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (B_{\bullet },0)}$${\displaystyle B_{\bullet }}$

超曲面のコタンジェント複素数は簡単に計算できる。の導出拡張を表すdgaがあるので、コタンジェント複素数は次のように計算できる。 ${\displaystyle X=\mathbb {V} (f)\subset \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle K_{R}(f)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\to R\cdot ds{\xrightarrow {\Phi }}\bigoplus _{i}R\cdot dx_{i}\to 0}$

ここで、およびは通常の普遍導出である。完全な交差をとると、コズル複体 ${\displaystyle \Phi (gds)=g\cdot df}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle R^{\bullet }={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1})}}\otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{k})}}}$

は複素数と準同型である

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}[+0].}$

これは、導来環のコタンジェント複体を、各 について上記のコタンジェント複体のテンソル積として構築できることを意味します。 ${\displaystyle R^{\bullet }}$${\displaystyle f_{i}}$

導出幾何学の文脈におけるコタンジェント複体は、古典的なスキームのコタンジェント複体とは異なることに注意してください。つまり、 によって定義された超曲面に特異点がある場合、コタンジェント複体の振幅は無限になります。これらの観察は、有限長の複体を扱っているため、導出幾何学の隠れた滑らかさの哲学の動機となります。 ${\displaystyle f}$

多項式関数が与えられたとき、（ホモトピー）プルバック図を考える。 ${\displaystyle f:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m},}$

${\displaystyle {\begin{matrix}Z&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\downarrow f\\\{pt\}&{\xrightarrow {0}}&\mathbb {A} ^{m}\end{matrix}}}$

ここで、下の矢印は原点の点を含む。すると、導出されたスキームは複素接線を持ち、射影によって与えられる。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle x\in Z}$

${\displaystyle \mathbf {T} _{x}=T_{x}\mathbb {A} ^{n}{\xrightarrow {df_{x}}}T_{0}\mathbb {A} ^{m}}$

ここで、複素数は振幅 です。接空間は を使用して復元でき、 は滑らかな点から どれだけ離れているかを測定することに注意してください。${\displaystyle [-1,0]}$${\displaystyle H^{0}}$${\displaystyle H^{-1}}$${\displaystyle x\in Z}$

スタックが与えられた場合、接線複素数についてのわかりやすい記述があります。 ${\displaystyle [X/G]}$

${\displaystyle \mathbf {T} _{x}={\mathfrak {g}}_{x}\to T_{x}X}$

射が単射でない場合、 は再び空間がどれだけ特異であるかを測定します。さらに、この複体のオイラー特性は、商スタックの正しい（仮想）次元をもたらします。特に、主-バンドルのモジュライスタックを見ると、接線複体は です。 ${\displaystyle H^{-1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}[+1]}$

導出スキームはアフィン多様体の位相的性質を解析するために使用できる。例えば、滑らかなアフィン多様体を考える。正則関数を取り、その切断を考える。${\displaystyle M\subset \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \Omega _{M}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\Gamma _{df}:M\to \Omega _{M}\\x\mapsto (x,df(x))\end{cases}}}$

次に、導出されたプルバック図を見てみましょう。

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &M\\\downarrow &&\downarrow 0\\M&{\xrightarrow {\Gamma _{df}}}&\Omega _{M}\end{matrix}}}$

ここで は零断面であり、正則関数 の導出臨界軌跡を構築します。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$

アフィン多様体を考える

${\displaystyle M=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y])}$

と正規関数で与えられます。すると、 ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{3}}$

${\displaystyle \Gamma _{df}(a,b)=(a,b,2a,3b^{2})}$

ここで最後の2つの座標を として扱う。導出された臨界軌跡は、導出されたスキーム ${\displaystyle dx,dy}$

${\displaystyle {\textbf {RSpec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(dx,dy)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2x-dx,3y^{2}-dy)}}\right)}$

導来交差の左項は完全交差なので、導来環を表す複素数を次のように計算できることに注意する。

${\displaystyle K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2-dx,3y^{2}-dy)}}}$

コズル複合施設は どこですか。${\displaystyle K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])}$

が滑らかな関数を考える。導出された臨界軌跡である導出された拡張は、微分次数スキームによって与えられ、ここで基礎となる次数環はポリベクトル場である。 ${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {Crit} (f)}$${\displaystyle (M,{\mathcal {A}}^{\bullet },Q)}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{-i}=\wedge ^{i}T_{M}}$

そして、微分はによる収縮によって定義されます。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle df}$

例えば、

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=x^{2}+y^{3}\end{cases}}}$

私たちはコンプレックスを抱えている

${\displaystyle R\cdot \partial x\wedge \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R\cdot \partial x\oplus R\cdot \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R}$

の導出された強化を表します。 ${\displaystyle \operatorname {Crit} (f)}$

• 導出代数幾何学への到達 - Mathoverflow
• M. アネル『曖昧さの幾何学』
• K. Behrend、仮想基礎クラスについて
• P. Goerss、位相的モジュラー形式 [Hopkins、Miller、Lurie に倣って]
• B. トゥーン、導来代数幾何学入門
• M. マネッティ、特性 0 のコタンジェント複素数
• G. ヴェッツォージ、導出臨界軌跡 I - 基礎