ドリンフェルトモジュール

数学において、ドリンフェルト加群（または楕円加群）は、大まかに言って、有限体 上の曲線上の関数の環上の特殊な種類の加群であり、カーリッツ加群を一般化したものである。大まかに言えば、それらは複素乗法理論の関数体類似物を提供する。シュトゥカ（ F層またはクトゥカ とも呼ばれる）は、ドリンフェルト加群の一種の一般化であり、大まかに言えば、曲線上のベクトル束と、その「修正」による「フロベニウスのねじれ」を識別する追加の構造から構成される。

ドリンフェルド加群はドリンフェルド (1974)によって導入され、彼はそれを用いて代数関数体のGL _{2に対する}ラングランズ予想をいくつかの特殊なケースで証明した。彼は後にシュトゥーカを発明し、ランク 2 のシュトゥーカを用いて GL ₂に対するラングランズ予想の残りのケースを証明した。ローラン・ラフォルグはランクnのシュトゥーカのモジュライスタックを研究することで関数体のGL _nに対するラングランズ予想を証明した。

「シュトゥカ」はロシア語で「単一のコピー」を意味する штука で、ドイツ語の名詞「Stück」に由来し、「ピース、アイテム、またはユニット」を意味します。ロシア語では、「シュトゥカ」という単語は、特性はわかっているが話者の心の中では名前がわからないものを表す俗語としても使用されます。

を特性 の体とする。環は上の非可換（またはねじれ）多項式の環として定義され、乗法は次のように与えられる。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle p>0}$${\displaystyle L\{\tau \}}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots }$${\displaystyle L}$

${\displaystyle \tau a=a^{p}\tau ,\quad a\in L.}$

元はフロベニウス元と考えることができる。実際、は 上の左加群であり、 の元は乗算として作用し、のフロベニウス自己準同型として作用する。環は、すべての（絶対的な）加法多項式の環と考えることもできる。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L\{\tau \}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L\{\tau \}}$

${\displaystyle a_{0}x+a_{1}x^{p}+a_{2}x^{p^{2}}+\cdots =a_{0}\tau ^{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots \,}$

において、多項式が加法的であるとは、（ の元として）が成り立つ場合をいう。加法多項式環は、多項式 によって上の代数として生成される。加法多項式環における乗法は、可換多項式の乗法ではなく、多項式の合成によって与えられ、可換ではない。 ${\displaystyle L[x]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$${\displaystyle L[x,y]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \tau =x^{p}}$

F を有限定数体を持つ代数関数体とし、 F の位を固定します。Aを、を 除くすべての位で正則である F の元の環として定義します。特に、 Aはデデキント領域であり、 Fで離散的です(位相は によって誘導されます)。たとえば、 A を多項式環とすることができます。Lを環準同型 を備えた体とします。 ${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle F_{q}[t]}$${\displaystyle \iota :A\to L}$

L上のDrinfeld A加群は、その像がLに含まれず、との合成がと一致するような環準同型です。${\displaystyle \phi :A\to L\{\tau \}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}}$${\displaystyle \iota :A\to L}$

Aの像がLに存在しないという条件は、自明なケースを排除するために導入された非退化条件ですが、ドリンフェルト加群が単にマップの変形であるという印象を与える条件は、 ${\displaystyle d\circ \phi =\iota }$${\displaystyle \iota}$

L {τ} はLの加法群の自己準同型として考えることができるので、ドリンフェルドA加群はLの加法群へのAの作用、言い換えれば、基礎となる加法群がLの加法群であるA加群と見なすことができます。

• A をF _p [ T ]、つまり位数pの有限体上の通常の (可換な!) 多項式の環として定義します。言い換えると、A はアフィン種数 0 曲線の座標環です。すると、 Drinfeld 加群 ψ はTの像 ψ( T )によって決定されます。これはL {τ}の任意の非定数元です。したがって、 Drinfeld 加群はL { τ} の非定数元と同一視できます。 (種数が高い場合、 Drinfeld 加群の記述はより複雑になります。)
• Carlitz加群は、 ψ( T ) = T +τで与えられる Drinfeld 加群 ψ です。ここで、 AはF _p [ T ]であり、 L はA を含む適切な完全な代数的に閉じた体です。 Carlitz 加群は、Drinfeld 加群の一般的な定義より何年も前の 1935 年にL. Carlitzによって記述されました。  Carlitz 加群の詳細については、Goss (1996)の第 3 章を参照してください。 Carlitz 指数関数も参照してください。

X が有限体F _p上の曲線であるとします。スキーム(またはスタック) U上のランクrの(右)シュトゥカは、次のデータによって与えられます。

• U × X上のランクrの局所自由層E、E′と、その射影写像

E → E′ ← (Fr×1) ^* E、

そのコカーネルはUからXへの射の特定のグラフ（シュトゥカの零点と極と呼ばれ、通常は 0 と ∞ で表されます）上でサポートされており、そのサポート上では局所的にランク 1 が自由です。ここで、 (Fr×1) ^* E は、 Uのフロベニウス自己準同型によるEの引き戻しです。

左シュトゥカは、射の方向が逆であることを除いて、同じ方法で定義されます。シュトゥカの極と零点が互いに素である場合、左シュトゥカと右シュトゥカは本質的に同じです。

Uを変化させることで、ランクrのシュトゥカの代数スタック Shtuka ^r 、 Shtuka ^r × X上の「ユニバーサル」シュトゥカ 、および滑らかで相対次元 2 r − 2 であるShtuka ^rからX × Xへの射 (∞,0) が得られます。 スタックShtuka ^{r は}、 r > 1の場合、有限型ではありません 。

Drinfeld 加群はある意味では特別な種類のシュトゥカです。(これは定義からはまったく明らかではありません。) より正確には、Drinfeld は Drinfeld 加群からシュトゥカを構成する方法を示しました。詳細については Drinfeld, VG Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11–14, 96. を参照してください。

関数体に対するラングランズ予想は、GL _nの尖端自己同型表現とガロア群の特定の表現の間に一対一性があることを（非常に大まかに）述べています。ドリンフェルドはドリンフェルド加群を使用してラングランズ予想のいくつかの特殊なケースを証明し、後にドリンフェルド加群をシュトゥーカに一般化することでGL ₂に対する完全なラングランズ予想を証明しました。これらの予想を証明する上で「難しい」部分は、特定の特性を持つガロア表現を構築することであり、ドリンフェルドは、階数 2 のシュトゥーカの特定のモジュライ空間のl進コホモロジー内でそれらを見つけることで、必要なガロア表現を構築しました。

ドリンフェルドは、ランクrのシュトゥーカのモジュライ空間を同様の方法で使用してGL _rのラングランズ予想を証明できると示唆しました。このプログラムを実行する際に発生する困難な技術的問題は、長年の努力の末にラフォルグによって解決されました。

• レベル構造（代数幾何学）
• 楕円曲線のモジュライスタック

• ドリンフェルド、ウラジミール(1974)、「楕円モジュール」、マテマチェスキー・スボルニク(ロシア語)、94、MR  0384707. 英語訳はMath.USSR Sbornik 23 (1974) 561–592に掲載されています。
• Goss、David (1996)、関数フィールド算術の基本構造、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]、vol. 35、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-642-61480-4、ISBN 978-3-540-61087-8、MR  1423131
• Gekeler, E.-U. (2001) [1994]、「Drinfel'd module」、数学百科事典、EMS Press。
• ローモン、ジェラール(1996)、「ドリンフェルト・モジュラー多様体のコホモロジー、第 1 部、幾何学、点の数え方、局所調和解析」、ケンブリッジ高等数学研究、第 41 巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-47060-5
• ローモン、ジェラール、ヴァルドスパーガー、ジャン＝ルー（1996）、ドリンフェルト・モジュラー多様体のコホモロジー、第2部、保型形式、トレース公式、ラングランズ対応、ケンブリッジ高等数学研究、第56巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-47061-2
• ローゼン、マイケル (2002)、「13. ドリンフェルド モジュール: 入門」、関数体における数論、Graduate Texts in Mathematics、第 210 巻、ニューヨーク、NY: Springer-Verlag、ISBN 0-387-95335-3、Zbl  1043.11079。

• Drinfeld、VGランク 2 の F 束のコンパクト化されたモジュライ多様体のコホモロジー。 (ロシア語) Zap。ナウヘン。セム。レニングラード。オットデル。マット。研究所ステクロフ。 ( LOMI ) 162 (1987)、アフトモルフン。ファンクツ。私はテオル。ノミ。 III、107–158、189; J. ソビエト数学の翻訳。 46 (1989)、いいえ。 2、1789 ～ 1821 年
• Drinfeld、VG (1987)、「F 束のモジュールの種類」、Funktsional。アナル。私はプリロジェンです。 (ロシア語)、21 (2): 23–41. 英語訳: Functional Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 107–122.
• ゴス、D. (2003)、「シュトゥカとは何か?」(PDF)、アメリカ数学会報、50 (1)
• Kazhdan, David A. (1979)、「Drinfeld の Shtuka 入門」、Borel, Armand ; Casselman, W. (編)、保型形式、表現、および L 関数 (Proc. Sympos. Pure Math.、オレゴン州立大学、コーバリス、オレゴン州、1977)、第 2 部、Proc. Sympos. Pure Math.、XXXIII、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、pp. 347–356、ISBN 978-0-8218-1437-6、MR  0546623