滑らかなトポロジー

代数幾何学において、滑らかな位相とは、エタール位相よりも細かい、ある種のグロタンディーク位相である。その主な用途は、例えばエタール層に係数を持つ代数スタックのコホモロジーを定義することである。 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}$

この概念の動機となる問題を理解するために、上の分類スタック を考えてみましょう。すると、エタール位相では^[1]、つまり、単なる点になります。しかし、 の「正しい」コホモロジー環は、の環が線束を分類するはずなので、 のコホモロジー環に似ていると予想されます。したがって、 のコホモロジーは、ベーレンドの不動点公式などの公式が成り立つよう に、滑らかな位相を使用して定義する必要があります。${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}}$${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}=\operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}}$${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }}$${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$

• Behrend, K. (2003). 「代数スタックの導出 l 進カテゴリ」(PDF) .アメリカ数学会誌. 163 .