シュウィンガー関数

量子場の理論では、ワイトマン超関数はユークリッド空間内の解析関数に解析的に接続することができ、その定義域はユークリッド空間内の一致する点のない点の順序付けられた集合に制限される。^{[1]これらの関数は}シュウィンガー関数（ジュリアン・シュウィンガーにちなんで名付けられている）と呼ばれ、実解析的、引数の順列に対して対称（フェルミオン場に対しては反対称）、ユークリッド共変であり、反射正値性と呼ばれる性質を満たす。シュウィンガー関数の性質はオスターワルダー・シュレーダー公理（コンラッド・オスターワルダーとロバート・シュレーダーにちなんで名付けられている）として知られている。 ^{[2]シュウィンガー関数は}ユークリッド相関関数とも呼ばれる。

ここでは、エルミートスカラー場 のユークリッド量子場理論に対する Osterwalder–Schrader (OS) 公理について説明します。典型的な量子場理論には、合成演算子も含め、無限に多くの局所演算子が含まれ、それらの相関子も以下で説明するものと同様の OS 公理を満たす必要があることに注意してください。 ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

のシュウィンガー関数は次のように表される。 ${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv \langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\ldots \phi (x_{n})\rangle ,\quad x_{k}\in \mathbb {R} ^{d}.}$

^[2]のOS公理は(E0)～(E4)の番号が付けられており、次の意味を持つ。

• (E0) 鍛錬
• (E1) ユークリッド共分散
• (E2) ポジティブさ
• (E3) 対称性
• (E4) クラスター特性

緩和性公理 (E0) は、シュウィンガー関数は一致点から離れると緩和分布になるというものです。これは、2 つ以上の点が一致する構成ですべての導関数が消えるシュワルツテスト関数に対して積分できることを意味します。この公理とその他の OS 公理 (線形成長条件は除く) から、シュウィンガー関数は一致点から離れると実解析的であることが示されます。

ユークリッド共変性公理 (E1) によれば、シュウィンガー関数は回転と平行移動に対して共変的に変形する。

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots,x_{n})=S_{n}(Rx_{1}+b,\ldots,Rx_{n}+b)}$

任意の回転行列と任意の並進ベクトルに対してOS公理が成り立つ。回転群の任意の表現における変換体のシュウィンガー関数に対してOS公理を定式化することができる。^{[2] [3]}${\displaystyle R\in SO(d)}$${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{d}}$

対称性公理 (E3) によれば、シュウィンガー関数は点の順列に対して不変である。

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots,x_{n})=S_{n}(x_{\pi (1)},\ldots,x_{\pi (n)})}$、

ここで、 はの任意の順列です。フェルミオン場のシュウィンガー関数は反対称です。そのため、この方程式は順列の符号に等しい ± 符号を持ちます。 ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

クラスター特性 (E4) は、2 つの点のグループが大きな定数変換によって互いに分離されている場合、 シュウィンガー関数は積に簡約されることを示しています。${\displaystyle S_{p+q}}$${\displaystyle S_{p}S_{q}}$

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }S_{p+q}(x_{1},\ldots ,x_{p},x_{p+1}+b,\ldots ,x_{p+q}+b)=S_{p}(x_{1},\ldots ,x_{p})S_{q}(x_{p+1},\ldots ,x_{p+q})}$。

限界は分布の意味で理解されます。2 つの点のグループが超平面の両側にあり、ベクトルがそれに平行であるという技術的な仮定もあります。 ${\displaystyle x^{0}=0}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle x_{1}^{0},\ldots ,x_{p}^{0}>0,\quad x_{p+1}^{0},\ldots ,x_{p+q}^{0}},\quad b^{0}=0.}$

正値公理 (E2) は、(オスターワルダー・シュレーダー) 反射正値と呼ばれる次の特性を主張します。任意の座標 τ を選択し、引数としてN点を持つテスト関数 f _Nを選びます。 f _{N が}、 0 < τ ₁ < ... < τ _NであるN点の「時間順」サブセットでサポートされると仮定します。各正のNに対して、そのようなf _{N を}1 つ選択します。ただし、ある整数Mより大きいすべてのNに対して、f は 0 になります。点 が与えられた場合、を τ = 0超平面に関する反射点とします。すると、 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{\theta}}$

${\displaystyle \sum _{m,n}\int d^{d}x_{1}\cdots d^{d}x_{m}\,d^{d}y_{1}\cdots d^{d}y_{n}S_{m+n}(x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n})f_{m}(x_{1}^{\theta },\dots ,x_{m}^{\theta })^{*}f_{n}(y_{1},\dots ,y_{n})\geq 0}$

ここで、* は複素共役を表します。

理論物理学の文献では、反射正値は、点が超平面に対して対称的に挿入される場合、任意の偶数次のシュウィンガー関数が非負でなければならないという要件として述べられることがあります 。 ${\displaystyle \tau =0}$

${\displaystyle S_{2n}(x_{1},\dots ,x_{n},x_{n}^{\theta },\dots ,x_{1}^{\theta })\geq 0}$。

この特性は確かに反射正値性から生じますが、完全な反射正値性よりも弱いです。

上記の性質を満たすシュウィンガー関数を（形式的に）構築する1つの方法は、ユークリッド経路積分を使用することです。特に、ユークリッド経路積分は（形式的に）反射正値性を満たします。Fを、 τ座標が非負である点xに対するφ ( x )の値のみに依存する体φの任意の多項式関数とします。すると、

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\phi F[\phi (x)]F[\phi (x^{\theta })]^{*}e^{-S[\phi ]}=\int {\mathcal {D}}\phi _{0}\int _{\phi _{+}(\tau =0)=\phi _{0}}{\mathcal {D}}\phi _{+}F[\phi _{+}]e^{-S_{+}[\phi _{+}]}\int _{\phi _{-}(\tau =0)=\phi _{0}}{\mathcal {D}}\phi _{-}F[(\phi _{-})^{\theta }]^{*}e^{-S_{-}[\phi _{-}]}.}$

作用S は実数であり、 に分割できます。これは正の半空間 ( ) 上のφのみに依存し、 は負の半空間 ( ) 上のφのみに依存します。また、S が反射とすべてのフィールドの複素共役をとる複合作用に対して不変である場合、前の量は非負でなければなりません。 ${\displaystyle S_{+}}$${\displaystyle \phi _{+}}$${\displaystyle S_{-}}$${\displaystyle \phi _{-}}$

オスターワルダー・シュレーダー定理^[4]は、上記の公理(E0)-(E4)と線形成長条件と呼ばれる追加の特性(E0')を満たすユークリッドシュウィンガー関数は、ワイトマン公理を満たすローレンツワイトマン分布に解析的に接続でき、量子場の理論を定義することを述べています。

^[4]では(E0')と呼ばれるこの条件は、次数のシュウィンガー関数が、一致する点でゼロになる任意のシュワルツテスト関数と対になっている場合、次の境界が得られることを主張している。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle |S_{n}(f)|\leq \sigma _{n}|f|_{C\cdot n},}$

ここでは整数定数、は の位数のシュワルツ空間半ノルム、すなわち ${\displaystyle C\in \mathbb {N} }$${\displaystyle |f|_{C\cdot n}}$${\displaystyle N=C\cdot n}$

${\displaystyle |f|_{N}=\sup _{|\alpha |\leq N,x\in \mathbb {R} ^{d}}|(1+|x|)^{N}D^{\alpha }f(x)|,}$

そして、階乗成長の定数のシーケンス、つまりいくつかの定数を持つ。 ${\displaystyle \sigma _{n}}$${\displaystyle \sigma _{n}\leq A(n!)^{B}}$${\displaystyle A,B}$

線形成長条件は、すべてのシュウィンガー関数が同時に満たす必要があるため、微妙です。また、ワイトマン公理から導出されたものではないため、OS公理系(E0)-(E4)に線形成長条件(E0')を加えたものは、ワイトマン公理系よりも強力であるように見えます。

当初、オスターワルダーとシュレーダーは、公理 (E0)-(E4) 自体がワイトマン公理を導くというより強い定理を主張したが^[2]、彼らの証明には追加の仮定を加えなければ修正できない誤りが含まれていた。2年後、彼らは線形成長条件を仮定として加えた新しい定理と正しい証明を発表した^{[4] 。新しい証明は、複雑な帰納的議論 (}ウラジミール・グレイザーも提案)に基づいており^[5] 、これによりシュウィンガー関数の解析領域がミンコフスキー空間に向かって徐々に拡張され、ワイトマン分布が極限として回復される。線形成長条件 (E0') は、極限が存在し、それが緩和分布であることを示すために決定的に使用される。

オスターワルダーとシュレーダーの論文には、(E0')を と呼ばれる別の仮定に置き換えた別の定理も含まれています。^[4]この別の定理は、実際には検証が難しいため、めったに使用されません。^[3]${\displaystyle {\check {\text{(E0)}}}}$${\displaystyle {\check {\text{(E0)}}}}$

^{ユークリッド相関関数の公理化に対する別のアプローチは、グリムとジャッフェの著書[6]}で説明されている。このアプローチでは、超関数の空間上の測度が与えられていると仮定する。次に、生成関数を考える。 ${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle \phi \in D'(\mathbb {R} ^{d})}$

${\displaystyle S(f)=\int e^{\phi (f)}d\mu ,\quad f\in D(\mathbb {R} ^{d})}$

これはOS0-OS4の特性を満たすと想定されます。

• （OS0）分析性。これは、

${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{n})\mapsto S\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}f_{i}\right)}$

は、コンパクトにサポートされたテスト関数の任意の集合に対するの完全解析関数です。直感的には、これは測度がどの指数関数よりも速く減少することを意味します。 ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{i}\in D(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle d\mu }$

• (OS1) 正則性。これは、に関して の成長限界、例えば を要求する。正確な条件については^[6]を参照。${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |S(f)|\leq \exp \left(C\int d^{d}x|f(x)|\right)}$
• (OS2) ユークリッド不変性。これは関数がユークリッド変換に対して不変であることを意味します。${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle f(x)\mapsto f(Rx+b)}$
• (OS3) 反射正値性。上半空間、つまり でサポートされているテスト関数の有限シーケンスを取ります。 を で表します。ここで は上で定義した反射演算です。この公理は、行列が半正定値でなければならないことを示しています。${\displaystyle f_{i}\in D(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle x^{0}>0}$${\displaystyle \theta f_{i}(x)=f_{i}(\theta x)}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle M_{ij}=S(f_{i}+\theta f_{j})}$
• (OS4) エルゴード性。時間変換半群は測度空間上でエルゴード的に作用する。正確な条件については^{[6]を参照。}${\displaystyle (D'(\mathbb {R} ^{d}),d\mu )}$

上記の公理は、オスターワルダーとシュレーダーに敬意を表してグリムとジャッフェによって(OS0)-(OS4)と命名されましたが、オスターワルダー-シュレーダー公理と同等ではありません。

(OS0)-(OS4)が与えられれば、シュウィンガー関数を測度 のモーメントとして定義し、これらのモーメントがオスターワルダー・シュレーダー公理 (E0)-(E4) と線形成長条件 (E0') を満たすことを示すことができる。次に、オスターワルダー・シュレーダー定理を利用して、ワイトマン関数が緩和分布であることを示すことができる。あるいは、もっと簡単な方法として、ワイトマン公理を(OS0)-(OS4) から直接導くこともできる。 ^[6]${\displaystyle \phi }$${\displaystyle d\mu }$

ただし、完全な量子場の理論には、のほかに、や、 およびその導関数から構築されたその他の合成演算子など、他の局所演算子が無限に含まれることに注意してください。測度からこれらのシュウィンガー関数を抽出し 、OS 公理を満たすことを示すのは簡単ではありませんが、そうあるべきです。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi ^{2}}$${\displaystyle \phi ^{4}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle d\mu }$

要約すると、グリムとジャッフェによって (OS0)-(OS4) と呼ばれる公理は、体の相関子に関する限り OS 公理よりも強力です が、合成演算子の相関子についてはあまり言及していないため、OS 公理の完全なセットよりも弱いです。 ${\displaystyle \phi }$

これらの公理はエドワード・ネルソンによって提案されました。^[7]バリー・サイモンの著書にある説明も参照してください。^[8]上記のグリムとジャッフェの公理と同様に、場は測度 を持つランダム分布であると仮定します。この測度は十分に正則であるため、場は負の微分順序のソボレフ空間の正則性を持ちます。これらの公理の重要な特徴は、場を曲面に制限して考えることです。公理の 1 つはマルコフ性で、これは閉じた曲面内の場の状態は曲面上の場の状態にのみ依存するという直感的な概念を形式化します。 ${\displaystyle \phi \in D'(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle \phi }$

• 芯の回転
• 公理的量子場理論
• ワイトマン公理