正準量子重力

物理学において、正準量子重力とは、一般相対性理論の正準定式化（または正準重力）を量子化する試みである。これは、アインシュタインの一般相対性理論のハミルトン定式化である。基本理論は、ブライス・デウィット^[1]が1967年の独創的な論文で概説し、ポール・ディラック^[3]が発明した制約ハミルトン系に対するいわゆる正準量子化手法を用いたピーター・G・バーグマン^[2]による初期の研究に基づいている。ディラックのアプローチは、固定ゲージ選択におけるハミルトン手法を用いたゲージ対称性を含む系の量子化を可能にする。デウィットとディラックの研究に部分的に基づく新しいアプローチには、ハートル・ホーキング状態、レッジェ計算、ホイーラー・デウィット方程式、ループ量子重力などがある。

通常の古典力学のハミルトン定式化では、ポアソン括弧は重要な概念です。「標準座標系」は、標準ポアソン括弧関係を満たす標準位置変数と運動量変数で構成されます 。ここで、ポアソン括弧は、 任意の位相空間関数と に対して で与えられます 。ポアソン括弧を使用すると、ハミルトン方程式は次のように書き直すことができます。 $${\displaystyle \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}}$$$${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$$${\displaystyle f(q_{i},p_{j})}$${\displaystyle g(q_{i},p_{j})}$$${\displaystyle {\dot {q}}_{i}=\{q_{i},H\},}$$ $${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=\{p_{i},H\}.}$$

これらの方程式は、ハミルトニアンによって生成される位相空間内の「流れ」または軌道を記述する。任意の位相空間関数が与えられた場合、 ${\displaystyle H}$${\displaystyle F(q,p)}$$${\displaystyle {d \over dt}F(q_{i},p_{i})=\{F,H\}.}$$

正準量子化では、位相空間変数はヒルベルト空間上の量子演算子に昇格され、位相空間変数間のポアソン括弧は正準交換関係に置き換えられます。 $${\displaystyle [{\hat {q}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

いわゆる位置表現では、この交換関係は次のように選択することで実現されます 。$${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$$$${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar {d \over dq}\psi (q)}$$

ダイナミクスはシュレーディンガー方程式によって記述されます。 ここで、は、およびを置き換えたハミルトニアンから形成された演算子です。 $${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}\psi ={\hat {H}}\psi }$$${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle H(q,p)}$${\displaystyle q\mapsto q}$${\displaystyle p\mapsto -i\hbar {d \over dq}}$

正準古典一般相対論は、完全に制約された理論の一例です。制約理論には、制約関数が定義される制限のない (運動学とも呼ばれる) 位相空間と、制約がすでに解決されている縮小位相空間という、異なる種類の位相空間があります。一般的な意味での正準量子化では、位相空間は適切なヒルベルト空間に置き換えられ、位相空間変数は量子演算子に昇格されます。

ディラックの量子化アプローチでは、制限のない位相空間がいわゆる運動学的ヒルベルト空間に置き換えられ、制約関数が運動学的ヒルベルト空間に実装された制約演算子に置き換えられ、その後、解が検索されます。これらの量子制約方程式は、少なくとも通常採用されるアプローチであるディラックのアプローチにおいては、標準的な量子一般相対論の中心となる方程式です。

制約条件付き理論には、制約条件が古典レベルで解決され、縮小位相空間の位相空間変数が量子演算子に昇格される縮小位相空間量子化もありますが、このアプローチは、古典的な場の方程式の一般解を見つけることと同等であるように思われたため、一般相対性理論では不可能であると考えられていました。しかし、カルロ・ロヴェッリによって導入されたアイデアに基づいて、ビアンカ・ディトリッヒによって一般相対性理論の観測量を計算するための体系的な近似スキームが最近初めて開発されたことにより、トーマス・ティーマンによって重力の縮小位相空間量子化の実行可能なスキームが開発されました。しかし、縮小位相空間量子化では、ディラック量子化の場合とは異なり、「クロック変数」を古典的なものとみなす必要があるため、これはディラック量子化と完全に同等ではありません。

よくある誤解は、座標変換が一般相対性理論のゲージ対称性であるというものですが、実際には真のゲージ対称性は数学者によって定義された微分同相写像であり (ホールの議論を参照)、これははるかに急進的です。一般相対性理論の第一級の制約は、空間微分同相写像制約とハミルトン制約 (ウィーラー–ド・ウィット方程式としても知られる) であり、それぞれ理論の空間的および時間的微分同相写像不変性を刻印します。これらの制約を古典的に課すことは、基本的に初期データに対する許容条件であり、ポアソン括弧を介して「発展」方程式 (実際にはゲージ変換) を生成します。重要なのは、制約間のポアソン括弧代数が古典理論を完全に決定することです。これは、量子重力の実行可能な理論であるためには、何らかの方法で正準量子重力の半古典的極限で再現されなければならないものです。

ディラックのアプローチでは、波動関数に課せられた第一級の量子制約もゲージ変換を生成することが判明しています。したがって、制約を解く(初期データの許容条件を解くことと同等) およびゲージ軌道を探す (「発展」方程式を解く) という古典理論の 2 段階のプロセスは、量子理論では量子方程式の解を探すという 1 段階のプロセスに置き換えられます。これは、明らかに量子レベルで制約を解き、ゲージ変換の量子生成器であるためゲージ不変な状態を同時に探すためです。古典レベルでは、許容条件と発展方程式を解くことは、アインシュタインの場の方程式をすべて解くことと同等であり、これはディラックの正準量子重力へのアプローチにおける量子制約方程式の中心的役割を強調しています。 ${\displaystyle C_{I}=0}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle {\hat {C}}_{I}\Psi =0}$${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$

微分同相写像は、同じ座標系にとどまりながら、計量 (重力場) と物質場を裸の多様体上で同時に「引きずる」ものと考えることができるため、単なる座標変換による不変性よりも根本的です。この対称性は、一般相対性法則が事前に与えられた時空幾何学に依存できないという微妙な要件から生じます。

この微分同相不変性には重要な意味があります。つまり、裸の多様体上で計量関数を「ドラッグ」する能力は、抽象的に定義された座標点間の小さな「距離」と大きな「距離」がゲージ同値であることを意味するため、標準量子重力は明らかに有限であるということです。Lee Smolin によって、より厳密な議論が提供されています。

「背景独立演算子は常に有限でなければなりません。これは、レギュレータ スケールと背景メトリックが常に正則化手順で一緒に導入されるためです。これは、正則化パラメーターが参照するスケールが、規制演算子の構築で導入された背景メトリックまたは座標チャートで記述される必要があるため、必要です。このため、規制演算子のカットオフまたはレギュレータ パラメーターへの依存性は、背景メトリックへの依存性と関連しています。レギュレータ パラメーターが 0 になる限界を取ると、消えない項が分離されます。これらがレギュレータ パラメーターに何らかの依存性がある場合 (項が爆発している場合に該当します)、背景メトリックにも依存性があるはずです。逆に、レギュレータが削除された限界で消えない項が背景メトリックに依存していない場合、それは有限でなければなりません。」

実際、後述するように、トーマス・ティーマンはループ量子重力（正準量子重力のよく発達したバージョン）は、あらゆる形態の物質が存在する場合でも明らかに有限であることを明示的に実証しました！^{[要出典]したがって、}繰り込みや無限大の除去は必要ありません。ただし、他の研究で、トーマス・ティーマンは量子化の曖昧さを修正する方法として繰り込みの必要性を認めています。^[1]

摂動量子重力理論（非くりこみ論の起源）では、他の摂動論的スキームと同様に、大規模スケールの時空は平坦な空間で十分に近似されるという合理的な仮定が立てられる。このほぼ平坦な背景に重力子を散乱させると、その散乱振幅にはニュートン定数の再定義に吸収できない発散があることがわかる。正準量子重力理論家はこの議論を受け入れないが、摂動論的処理でくりこみ不可能と判明した項で何が起こるかを理解するために使用できる、重力子散乱振幅の代替計算をこれまでのところ提供していない。正準量子重力理論などの量子幾何学の理論では、面積や体積などの幾何学的量が量子観測可能量となり、ゼロ以外の離散値を取り、物質の寄与から生じるものも含め理論から無限大を排除する自然な調整器を提供すると長年期待されてきた。幾何学的観測量のこの「量子化」は、実際にはループ量子重力 (LQG) で実現されます。

量子化は、計量テンソルを次のように分解することに基づいています。 ここで、繰り返されるインデックスの合計は、インデックス 0 は時間、ギリシャ語インデックスはすべての値 0, ... . ,3 、ラテン語インデックスは空間値 1, ... ., 3 にわたっています。関数はラプス関数と呼ばれ、関数はシフト関数と呼ばれます。空間インデックスは、空間計量とその逆関数および を使用して上げ下げされます。および、、ここで はクロネッカーのデルタです。この分解では、アインシュタイン–ヒルベルト ラグランジアンは、全導関数まで、 ここで はリーマン計量に関して計算された空間スカラー曲率、は外部曲率、 ここで はリー微分、は定数の表面に対する単位法線、 は計量 に関する共変微分を表します。 であることに注意してください。デウィットは、ラグランジアンには「『運動エネルギーマイナス位置エネルギー』という古典的な形式があり、外部曲率は運動エネルギーの役割を果たし、内部曲率の負の値は位置エネルギーの役割を果たす」と書いている。この形式のラグランジアンは空間座標の再定義によって明らかに不変であるが、一般的な共変性は不透明になる。 $${\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }\,dx^{\nu }=(-\,N^{2}+\beta _{k}\beta ^{k})dt^{2}+2\beta _{k}\,dx^{k}\,dt+\gamma _{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}$$${\displaystyle \tau =x^{0}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \beta _{k}}$${\displaystyle \gamma _{ij}}$${\displaystyle \gamma ^{ij}}$${\displaystyle \gamma _{ij}\gamma ^{jk}=\delta _{i}{}^{k}}$${\displaystyle \beta ^{i}=\gamma ^{ij}\beta _{j}}$${\displaystyle \gamma =\det \gamma _{ij}}$${\displaystyle \delta }$$${\displaystyle L=\int d^{3}x\,N\gamma ^{1/2}(K_{ij}K^{ij}-K^{2}+{}^{(3)}R)}$$${\displaystyle {}^{(3)}R}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}}$${\displaystyle K_{ij}}$$${\displaystyle K_{ij}=-{\frac {1}{2}}({\mathcal {L}}_{n}\gamma )_{ij}={\frac {1}{2}}N^{-1}\left(\nabla _{j}\beta _{i}+\nabla _{i}\beta _{j}-{\frac {\partial \gamma _{ij}}{\partial t}}\right),}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \nabla _{i}}$${\displaystyle \gamma _{ij}}$${\displaystyle \gamma _{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+n_{\mu }n_{\nu }}$

減衰関数とシフト関数はゲージ変換によって除去できるため、物理的な自由度を表すものではありません。これは、ハミルトニアン形式論に移行する際に、それらの共役運動量と がそれぞれ（オンシェル とオフシェル）同じように消滅するという事実によって示されます。これらは、ディラックによって一次制約と呼ばれます。同期ゲージ と呼ばれるゲージの一般的な選択はとですが、原理的には座標の任意の関数に選択できます。この場合、ハミルトニアンは の形を取ります。 ここで 、 とは に共役な運動量です。アインシュタインの方程式は、ハミルトニアンでポアソン括弧を取ることによって復元できます。ディラックによって二次制約と呼ばれる追加のオンシェル制約は、ポアソン括弧代数の一貫性から生じます。これらはと です。これは、正準量子重力へのアプローチで量子化されている理論です。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi ^{i}}$${\displaystyle N=1}$${\displaystyle \beta _{i}=0}$$${\displaystyle H=\int d^{3}x{\mathcal {H}},}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2}}\gamma ^{-1/2}(\gamma _{ik}\gamma _{jl}+\gamma _{il}\gamma _{jk}-\gamma _{ij}\gamma _{kl})\pi ^{ij}\pi ^{kl}-\gamma ^{1/2}{}^{(3)}R}$$${\displaystyle \pi ^{ij}}$${\displaystyle \gamma _{ij}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}=0}$${\displaystyle \nabla _{j}\pi ^{ij}=0}$

空間微分同相写像とハミルトン制約の線形結合を用いて、3次元計量とその共役運動量のポアソン括弧を計算することで、時間発展（実際にはゲージ変換）を記述する6つのアインシュタイン方程式が得られることが示されます。制約が消えて物理的な位相空間を与えるのは、他の4つのアインシュタイン方程式です。つまり、次のようになります。

空間微分同相写像制約は 無数に存在するが、 の値に対して 1 つ存在する。これらは、いわゆるシフト関数によって塗りつぶされ、同等の塗りつぶされた空間微分同相写像制約の集合を与えることができる。 $${\displaystyle C_{a}(x)=0}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\vec {N}}(x)}$$${\displaystyle C({\vec {N}})=\int d^{3}x\,C_{a}(x)N^{a}(x).}$$

これらは、シフト関数によって定義された軌道に沿って空間微分同相写像を生成します。 ${\displaystyle N^{a}(x)}$

ハミルトン制約 は無数に存在するが、いわゆるラプス関数によってぼかして、同等のぼかしハミルトン制約の集合を与えることができる。 $${\displaystyle H(x)=0}$$${\displaystyle N(x)}$$${\displaystyle H(N)=\int d^{3}x\,H(x)N(x).}$$

上で述べたように、（塗りつぶされた）制約間のポアソン括弧構造は古典理論を完全に決定し、量子重力理論の半古典的極限で再現されなければならないため重要です。

ウィーラー・デウィット方程式（ハミルトン制約、アインシュタイン・シュレーディンガー方程式と呼ばれることもある）は、量子レベルでのダイナミクスをコード化する点で、非常に重要である。これはシュレーディンガー方程式に類似しているが、時間座標 は非物理的であり、物理的な波動関数は に依存できず、したがってシュレーディンガー方程式は制約に簡約される。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\hat {H}}\Psi =0.}$

計量変数を使用すると、古典的な表現を明確に定義された量子演算子に昇格しようとするときに、一見克服できない数学的困難が生じ、このアプローチによる進歩がないまま数十年が経過しました。この問題は回避され、明確に定義されたWheeler-De-Witt方程式の定式化は、Ashtekar-Barbero変数とループ表現の導入によって初めて達成されました。この明確に定義された演算子は、Thomas Thiemann ^[4]によって定式化されました。

この発展以前は、ホイーラー・ド・ウィット方程式は量子宇宙論などの対称性を低減したモデルでのみ定式化されていました。

正準量子重力理論の技術的問題の多くは、制約条件に関係しています。正準一般相対論は、もともと計量変数で定式化されましたが、量子演算子に制約条件を適用するには、正準変数に対する非線形依存性が強いため、数学的に克服できないほどの困難があるように思われました。方程式は、アシュテカーの新しい変数の導入によって大幅に簡素化されました。アシュテカー変数は、ゲージ理論に近い新しい正準変数のペアで正準一般相対論を記述します。その際に、空間微分同相写像とハミルトン制約条件に加えて、ガウス ゲージ制約条件という追加の制約条件が導入されました。

ループ表現は、ループによるゲージ理論の量子ハミルトニアン表現です。ヤン・ミルズ理論の文脈におけるループ表現の目的は、ガウスゲージ対称性によって導入される冗長性を回避し、ガウスゲージ不変状態の空間で直接作業できるようにすることです。この表現の使用は、正確な非摂動的な記述を提供するアシュテカー・バルベロ表現から自然に生まれました。また、この表現では空間微分同相制約を簡単に処理できるためです。

ループ表現の中で、ティーマンは、あらゆる形態の物質が存在する場合の明確に定義された正準理論を提供し、それが明らかに有限であることを明示的に実証しました。したがって、再正規化は必要ありません。ただし、LQG アプローチはプランク スケールの物理を記述するのに非常に適しているため、よく知られている低エネルギー物理と接触して、正しい半古典的な限界を確立することは困難です。

一般相対性理論のすべての正準理論は、時間の問題に対処する必要があります。量子重力では、時間の問題は一般相対性理論と量子力学の概念的な矛盾です。正準一般相対性理論では、時間は一般共変性の結果としての単なる別の座標です。量子場理論、特にハミルトニアンの定式化では、定式化は 3 次元の空間と 1 次元の時間の間で分割されます。大まかに言えば、時間の問題は、一般相対性理論には存在しないということです。これは、一般相対性理論ではハミルトニアンは消滅しなければならない制約であるためです。ただし、どの正準理論でも、ハミルトニアンは時間変換を生成します。したがって、一般相対性理論では「何も動かない」(「時間がない」) という結論に達します。「時間がないため」、特定の瞬間の量子力学測定の通常の解釈は破綻します。この時間の問題は、形式主義のすべての解釈の問題の広い旗印です。

ジェームズ・ヨークの幾何学力学の共形分解^[2]の標準的な形式論は、一般相対性理論の「ヨーク時間」^[3]につながり、チャールズ・ワンによって発展した。^{[4] [5]この研究は後に、彼と彼の協力者によって、スケール不変の}ディラトン重力物質理論の大規模なクラスに適した時間の識別と量子化のアプローチへとさらに発展した。^{[6] [7]}

量子宇宙論の問題は、標準的な量子重力の制約を解決する物理状態が宇宙全体の量子状態を表し、外部の観察者を排除することですが、外部の観察者は量子力学のほとんどの解釈において重要な要素です。^{[説明が必要]}

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