巨大な重力

理論物理学において、質量をもつ重力とは、重力子にゼロ以外の質量を与えることで一般相対性理論を修正する重力理論である。古典理論では、これは重力波が質量をもつ波動方程式に従い、したがって光速以下の速度で移動することを意味する。

巨大重力理論は長く曲がりくねった歴史を持ち、1930年代にヴォルフガング・パウリとマルクス・フィエルツが平坦な時空背景上を伝播する巨大スピン2場の理論を初めて開発した頃に遡る。その後1970年代に、巨大重力子理論はゴーストモードや、重力子の質量がゼロになる極限での一般相対性理論との不連続性など、危険な病理を抱えていることが認識された。これらの問題に対する解決策は3次元時空では以前から存在していたが^{[1] [2]、 4次元以上では2010年の}クラウディア・デ・ラム、グレゴリー・ガバダゼ、アンドリュー・トーリー（dRGTモデル）の研究まで解決されなかった。

非常に初期の大質量重力理論の1つは、1965年にオギエヴェツキーとポルバリノフ（OP）によって構築されました。^[3] OPモデルは、dRGTで再発見されたゴーストのない大質量重力モデルと一致しているという事実にもかかわらず、OPモデルは、大質量重力を研究している現代の物理学者の間ではほとんど知られていません。これは、そのモデルで採用された戦略が、現在一般的に採用されているものとはかなり異なっていたためかもしれません。^[4] OPモデルへの大質量双対重力^[5]は、双対重力子場をそのエネルギー運動量テンソルの回転と結合することによって得られます。^{[6] [7]}双対重力の混合対称場強度はガリレオ理論の完全対称外在曲率テンソルに匹敵するため、4次元の双対モデルの有効ラグランジアンはファデエフ・ルヴェリエ回帰から得ることができ、これは場強度のトレースの多項式を含む項までガリレオ理論のラグランジアンと類似している。^{[8] [9]}これはガリレオン理論の双対定式化にも現れている。^{[10] [11]}

一般相対性理論が大質量重力の長距離では修正されるという事実は、暗黒エネルギーを必要としない宇宙の加速膨張の可能な説明を提供する。大質量重力とその拡張、例えば双測定重力^[12]は、観測と一致して実際に後期加速を示す宇宙論的解を生み出すことができる。^{[13] [14] [15]}

重力波の観測により、重力子のコンプトン波長はλ _g >と制限されている。1.6 × 10 ¹⁶  mであり、これは重力子の質量m _g <7.7 × 10 ⁻²³  eV / c ²。^[16]重力子の質量に関する競合的境界は、カッシーニやメッセンジャーなどの宇宙ミッションによる太陽系の測定からも得られており、代わりにλ _g >1.83 × 10 ¹⁶  mまたはm _g <6.76 × 10 ^-23  eV /c ²。^[17]

線形レベルでは、ミンコフスキー空間上を伝播するスピン-2 の質量場の理論を構築できます。これは、次のように線形化された重力の拡張として考えることができます。線形化された重力は、一般相対論を平坦な空間 の周りで線形化することで得られます。ここで、 は重力定数を持つプランク質量です。これにより、ラグランジアン の運動項が微分同相不変性と一致するようになり、また、次の形式の物質との結合も得られます。 ${\displaystyle h_{\mu \nu}}$${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+M_{\mathrm {Pl} }^{-1}h_{\mu \nu }}$${\displaystyle M_{\mathrm {Pl} }=(8\pi G)^{-1/2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle h_{\mu \nu}}$

${\displaystyle h^{\mu \nu }T_{\mu \nu },}$

ここで は応力エネルギーテンソルです。この運動項と物質結合を合わせたものは、平坦な空間について線形化されたアインシュタイン-ヒルベルト作用に他なりません。 ${\displaystyle T_{\mu \nu}}$

質量のある重力は、 の非微分相互作用項を追加することによって得られます。線形レベル（つまり、 の 2 次）では、可能な質量項は 2 つだけです。 ${\displaystyle h_{\mu \nu}}$${\displaystyle h_{\mu \nu}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=ah^{\mu \nu }h_{\mu \nu }+b\left(\eta ^{\mu \nu }h_{ \mu \nu }\right)^{2}.}$

フィエルツとパウリ^[18]は1939年に、係数が となるように選択された場合にのみ、質量のある重力子の予想される5つの偏光（質量がない場合の2つと比較して）が伝播することを示した。他の選択は、6番目のゴースト自由度を解放します。ゴーストは負の運動エネルギーを持つモードです。そのハミルトニアンは下から無制限であり、したがって、任意の大きさの正と負のエネルギーの粒子に崩壊するのは不安定です。フィエルツ-パウリ質量項、 ${\displaystyle a=-b}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {FP} }=m^{2}\left(h^{\mu \nu }h_{\mu \nu }-\left(\eta ^{ \mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}\right)}$

したがって、これは質量を持つスピン 2 場の唯一の一貫した線形理論です。

1970年代にヘンドリック・ファン・ダムとマルチヌス・JG・フェルトマン^[19]、そして独立にヴァレンティン・I・ザカロフ^[20]は、フィールツ・パウリの質量を持つ重力の特異な性質を発見した。それは、その予測が極限では一般相対性理論の予測に一様には還元されないということである。特に、小さなスケール（重力子質量のコンプトン波長よりも短い）ではニュートンの万有引力の法則が再現される一方で、光の曲がりはアルバート・アインシュタインが一般相対性理論で得た結果の4分の3に過ぎない。これはvDVZ不連続として知られている。 ${\displaystyle m\to 0}$

光の曲がりが小さくなるのは、次のように理解できるかもしれません。Fierz–Pauli の質量を持つ重力子は、微分同相不変性の破れにより、線形化された一般相対論の質量のない重力子に比べて 3 つの自由度を余分に伝播します。これらの 3 つの自由度は、ベクトル場 (これは私たちの目的には関係ありません) とスカラー場にパッケージ化されます。このスカラー モードは、質量がある場合に質量がない場合に比べて余分な引力を及ぼします。したがって、非相対論的な質量間に及ぼされる力の測定値を一致させたい場合、質量のある理論の結合定数は質量のない理論の結合定数よりも小さくする必要があります。しかし、光の応力エネルギー テンソルはトレースがないため、光の曲がりはスカラー セクターには影響されません。したがって、2 つの理論が非相対論的プローブ間の力について一致する場合、質量のある理論は質量のない理論よりも小さな光の曲がりを予測することになります。

^{2年後、Vainshtein [21]}は、vDVZ 不連続は線型理論の産物であり、非線形効果、すなわち における 2 次以上の項を考慮すると、一般相対性理論の予測は実際に小さなスケールで再現されると主張しました。経験的に言えば、 Vainshtein 半径として知られる領域内では、スカラーモードの変動は非線形になり、その高次微分項は標準的な運動項よりも大きくなります。したがって、この背景の周りでスカラーを標準的に正規化すると、運動項が大幅に抑制され、Vainshtein 半径内でのスカラーの変動が減衰します。スカラーによって媒介される余分な力はその勾配に比例 (または負) するため、これは、線形 Fierz-Pauli 理論だけを使用して計算した場合よりも余分な力がはるかに小さくなることを示唆しています。 ${\displaystyle h_{\mu \nu}}$

ヴァインシュタイン遮蔽として知られるこの現象は、大質量重力だけでなく、DGPや特定のスカラーテンソル理論などの修正重力の関連理論でも機能しており、太陽系における修正重力の影響を隠すために重要です。これにより、これらの理論は、一般相対性理論と同様に地球と太陽系の重力テストに一致し、遠距離では大きな偏差を維持できます。このようにして、これらの理論は宇宙の加速につながり、より身近な観測からの他のはるかに厳しい制約に抵触することなく、宇宙の大規模構造に観測可能な痕跡を残すことができます。

フロイント-マヘシュワリ-シェーンベルク有限範囲重力モデル^[22]への応答として、vDVZ不連続性とヴァインシュタイン機構が発見されたのとほぼ同時期に、デイヴィッド・ボウルワーとスタンレー・デザーは1972年に、フィエツ-パウリ理論の一般的な非線形拡張により危険なゴーストモードが再導入されることを発見しました。^[23] 2次オーダーでこのモードが存在しないことを保証したチューニングは、3次以上のオーダーでは一般に破綻し、それらのオーダーでゴーストが再導入されることが彼らの発見でした。その結果、このボウルワー-デザーゴーストは、例えば非常に不均一な背景の周囲に存在することになります。 ${\displaystyle a=-b}$

これは問題です。なぜなら、フィエツ・パウリのような線形化された重力理論は、それ自体は明確に定義されていますが、結合によって微分同相不変性が破れるため、物質と相互作用できないからです。これは、無限に高次の新しい項を追加することで改善する必要があります。質量のない重力子の場合、このプロセスは収束し、結果はよく知られています。つまり、一般相対性理論にたどり着くのです。これが、一般相対性理論が質量のないスピン 2 場の唯一の理論 (次元性、局所性などの条件を除く) であるという声明の意味です。 ${\displaystyle h^{\mu \nu }T_{\mu \nu }}$

質量のある重力が実際に重力、つまり物質と結合して重力を媒介する質量のあるスピン 2 フィールドを記述するためには、同様に非線形完成が得られる必要がある。Boulware-Deser ゴーストは、このような試みに対する重大な障害となる。質量があり相互作用するスピン 2 フィールドの理論の大部分はこのゴーストに悩まされるため、実行不可能となる。実際、2010 年までは、そのような信念が無効であることを証明しようとする試みにもかかわらず、すべてのローレンツ不変質量重力理論は Boulware-Deser ゴーストを抱えていると広く信じられていた^{[24] 。 [25] dRGT モデルは、どちらもハミルトン処理と}ADM変数を使用して開発されているため、BD ゴーストを選別して「打ち破る」ための最良の方法であることは注目に値する。しかし、有限範囲重力モデルとオギエヴェツキーとポルバリノフのモデルでは、エネルギー運動量テンソルをソース場として再定義し、共形的に改善するとともに、ノイマンの変分原理が必要であることが判明した。^[26]

2010年に、de Rham、Gabadadze、Tolleyが、すべてのゴースト演算子（つまり、高次微分）を運動方程式に寄与しない全微分にパッケージ化することで、Boulware-Deserゴーストを回避するように係数を調整した質量重力理論を順番に構築し、画期的な進歩が達成されました。^{[27] [28] Boulware-Deserゴーストがすべての次数まで、また分離限界を超えて完全に存在しないことは、その後、Fawad Hassanと}Rachel Rosenによって証明されました。^{[29] [30]}

ゴーストフリーのデ・ラム・ガバダゼ・トーリー（dRGT）質量重力の作用は^[31]で与えられる。

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g\;~}}\ \left(-{\frac {\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}}{2}}\ R+m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}\ \sum _{n=0}^{4}\alpha _{n}\ e_{n}\!\left(\mathbb {K} \right)+{\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\!\left(g,\Phi _{i}\right)\right)\ ,}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle S=\int d^{4}x\ {\sqrt {-g\;}}\ \left(-{\frac {\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}}{2}}\ R+m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}\ \sum _{n=0}^{4}\beta _{n}\ e_{n}\!\left(\mathbb {X} \right)+{\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\!\left(g,\Phi _{i}\right)\right)~.}$

構成要素には説明が必要です。標準的な一般相対性理論と同様に、リッチ スカラーに比例するアインシュタイン-ヒルベルトの運動項と、標準モデルのようなすべての物質場を表す物質ラグランジアン への最小結合があります。新しい部分は質量項、または相互作用ポテンシャルで、Boulware-Deser ゴーストを回避するために注意深く構築され、相互作用の強さは(非ゼロの場合) 重力子の質量に密接に関連しています。 ${\displaystyle \ R\ }$${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\ ,}$${\displaystyle \ \Phi _{i}\ }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \ \beta _{i}\ }$${\displaystyle \ {\mathcal {O}}(1)\ }$

ゲージ不変性の原理は、対応するゲージが与えられたあらゆる場の理論において冗長な表現となる。例えば、質量のあるスピン1のプロカ作用では、ラグランジアン内の質量のある部分がゲージ不変性を破る。しかし、次の変換を導入することで不変性は回復される。質量のある重力に対しても、アルカニ＝ハメド、ゲオルギ、シュワルツの質量のある重力に対する有効場理論に従うことで同じことができる。^[32]このアプローチではvDVZ不連続性が存在しないことが、質量のある重力理論のdRGT再総和を次のように開発する動機となった。^[28]${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\ m\ A_{\mu }\ A^{\mu }\ }$${\displaystyle \ \mathrm {U} (1)\ }$${\displaystyle A_{\mu }\to A_{\mu }+\partial _{\mu }\pi ~.}$

相互作用ポテンシャルは、行列 または の固有値の基本的な対称多項式 から構築され、それぞれ無次元結合定数またはでパラメータ化されます。ここでは、行列 の行列平方根です。指数表記で書かれ、は関係 によって定義されます。相互作用項を構成するために、参照メトリックを導入しました。これには単純な理由があります。 から単独で非自明な相互作用（つまり、非微分）項を構成することは不可能だからです。唯一の可能性はと であり、どちらも真の相互作用ではなく宇宙定数項につながります。物理的には、は、変動が Fierz-Pauli 形式を取る背景メトリックに対応します。これは、たとえば、上記の Fierz-Pauli 理論をミンコフスキー空間の周りで非線形に完成させると、 で dRGT 質量重力につながることを意味しますが、Boulware-Deser ゴーストが存在しないという証明は、一般的な に対して有効です。^[33]${\displaystyle \ e_{n}\ }$${\displaystyle \ \mathbb {K} =\mathbb {I} -{\sqrt {g^{-1}f\;~}}\ }$${\displaystyle \ \mathbb {X} ={\sqrt {g^{-1}f\;~}}\ ,}$${\displaystyle \ \alpha _{i}\ }$${\displaystyle \beta _{i},}$${\displaystyle \ {\sqrt {g^{-1}f\;~}}\ }$${\displaystyle g^{-1}f}$${\displaystyle \mathbb {X} }$${\displaystyle \ X^{\mu }{}_{\alpha }\ X^{\alpha }{}_{\nu }=g^{\mu \alpha }\ f_{\nu \alpha }~.}$ ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$${\displaystyle \ g_{\mu \nu }\ }$${\displaystyle \ g^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }\ }$${\displaystyle \ \det g\ ,}$${\displaystyle \ f_{\mu \nu }\ }$${\displaystyle \ f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }\ ,}$${\displaystyle f_{\mu \nu }}$

参照計量は微分同相写像の下で計量テンソルのように変換される

${\displaystyle f_{\mu \nu }\to f'_{\mu \nu }\!\left(\ X(x)\ \right)\equiv f_{\alpha \beta }\ \partial _{\mu }X^{\alpha }\ \partial _{\nu }X^{\beta }~.}$

したがって、および高次の類似項は、同じ微分同相写像の下でスカラーとして変換されます。座標 の変更に対して、摂動計量が次のようになるように を展開します。${\displaystyle \ \left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]=X^{\mu }{}_{\alpha }\ X^{\alpha }{}_{\mu }=g^{\mu \alpha }\ f_{\mu \alpha }\ ,}$${\displaystyle x_{\mu }\to x_{\mu }+\xi _{\mu }}$${\displaystyle \ X^{\mu }=x^{\mu }-\phi ^{\mu }\ }$${\displaystyle \ f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }\ }$

${\displaystyle h_{\mu \nu }\to h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }\phi _{\nu }+\partial _{\nu }\phi _{\mu }-\partial _{\mu }\phi ^{\alpha }\ \partial _{\nu }\phi _{\alpha }\ ,}$

一方、ポテンシャルのようなベクトルはシュテッケルベルクトリックに従って変換され、シュテッケルベルク場は次のように定義されます。 ^[34]微分同相写像から、とが同じ固有値を持つ別のシュテッケルベルク行列を定義できます。^[35]ここで、次の対称性を考えます。 ${\displaystyle \ \phi _{\mu }\to \phi _{\mu }+\xi _{\mu }\ }$${\displaystyle \ \phi ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\left(A_{\nu }-\partial _{\nu }\pi \right)~.}$${\displaystyle \ \mathbb {Y} _{~b}^{a}\equiv f_{bc}g^{\mu \nu }\partial _{\mu }X^{a}\partial _{\nu }X^{c}\ ,}$${\displaystyle \ \mathbb {Y} _{~b}^{a}\ }$${\displaystyle \ \mathbb {X} _{~b}^{a}\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta h_{\mu \nu }&=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+{\frac {2}{\ M_{\mathsf {Pl}}\ }}\ {\mathcal {L}}_{\xi }\ h_{\mu \nu }\\\delta A_{\mu }&=\partial _{\mu }\pi -m\ \xi _{\mu }+{\frac {2}{\ M_{\mathsf {Pl}}\ }}\ \xi ^{\alpha }\partial _{\alpha }A_{\mu }\\\delta \pi &=-m\ \pi \end{aligned}}}$

変換された摂動計量は次のようになる。

${\displaystyle h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }A_{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\ \partial _{\nu }A_{\alpha }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\ \partial _{\nu }\partial _{\alpha }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \ \partial _{\nu }A^{\alpha }-2\ \partial _{\mu }\partial _{\nu }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \ \partial _{\nu }\partial ^{\alpha }\ \pi ~.}$

これらの変換の共変形式は次のように得られる。ヘリシティ0（またはスピン0）モードが非物理的なゴールドストーンモードの純粋なゲージである場合、^[36]行列は共変化テンソルのテンソル関数である。 ${\displaystyle \ \pi \ }$${\displaystyle \ \Pi _{\mu \nu }=\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\pi \ ,}$${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$

${\displaystyle H_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2\Pi _{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }\Pi _{\mu \alpha }\Pi _{\beta \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }-\eta _{ab}\nabla _{\mu }\phi ^{a}\nabla _{\nu }\phi ^{b}}$

計量摂動のテンソルは場によってシュテュッケルベルグ化される。 ^[37]ヘリシティ0モードはガリレイ変換によって変換されるため、「ガリレオ」と呼ばれる。^[38]行列は計量摂動の共変テンソルのテンソル関数であり、その成分は次のように与えられる。 ${\displaystyle \ h_{\mu \nu }\ }$${\displaystyle \ H_{\mu \nu }\ }$${\displaystyle \ \phi ^{a}=A^{a}-\eta ^{a\mu }\nabla _{\mu }\pi ~.}$${\displaystyle \ \pi \to \pi +c+v_{\mu }\ x^{\mu }\ ,}$${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$${\displaystyle \ H_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }-f'_{\mu \nu }\ }$${\displaystyle \ h_{\mu \nu }\ }$

${\displaystyle \mathbb {X} _{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2\ {\mathcal {K}}_{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }\ {\mathcal {K}}_{\mu \alpha }{\mathcal {K}}_{\beta \nu }\ ,}$

どこ

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-\left({\sqrt {\mathbb {X} \;~}}\right)_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-{\sqrt {\ \eta _{\mu \nu }-H_{\mu \nu }\;~}}}$

外在曲率である。^[39]

興味深いことに、共変テンソルはもともと、ヘリシティ・フロイント・マヘシュワリ・シェーンベルク有限範囲重力モデルの続編としてマヘシュワリが単独で執筆した論文で導入された。 ^[26]マヘシュワリの研究では、計量摂動は変分の下で ヒルベルト・ローレンツ条件に従う。${\displaystyle (2\oplus 0)}$${\displaystyle \ m^{2}\left(\partial _{\nu }h_{\mu \nu }+q\ \partial _{\mu }h\right)=0\ }$

${\displaystyle \delta ^{*}h_{\mu \nu }=\delta h_{\mu \nu }+\delta h_{\mu \nu }^{\mathsf {spin}}=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+p\ \eta _{\mu \nu }\ h+\delta h_{\mu \nu }^{\mathsf {spin}}}$

これはOgievetsky-Polubarinovの巨大重力理論で導入されたもので、とが決定される。^[40]が選択されると、 dRGTのテンソルとMaheshwariの研究のテンソルの類似性に気づくのは簡単です。また、Ogievetsky-Polubarinovモデルでは、4Dでは変化が共形であることを意味することが義務付けられています。 ${\displaystyle \ p\ }$${\displaystyle \ q\ }$${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$${\displaystyle \ h_{(p)}^{\mu \nu }=(\eta ^{\mu \nu }-n\ \psi ^{\mu \nu })^{\tfrac {1}{n}}\ }$${\displaystyle \ n=2\ }$${\displaystyle \ n=-{\frac {\ 1\ }{p}}\ ,}$${\displaystyle \ p=-{\frac {\ 1\ }{n}}=-{\frac {\ 1\ }{2}}\ ,}$${\displaystyle \ \delta h_{\mu \nu }\ }$

dRGT の有質量場は、フィエツ・パウリの有質量理論の場合と同様に、 2 つのヘリシティ 2、2つのヘリシティ 1 、および 1 つのヘリシティ 0の自由度に分割されます。ただし、共変化と分離限界により、この有質量理論の対称性は、線形化された一般相対論の対称性と有質量理論の対称性の合計に縮小され、スカラーは分離されることが保証されます。が発散しないように選択されると、つまりdRGT の分離限界により、既知の線形化された重力が得られます。^[41]これがどのように起こるかを確認するには、作用に含まれる項をのべき乗で展開します。ここで、 はの項で次のように表されます。 は の項でどのように表されますか。フィールドは次のように置き換えられます。 ${\displaystyle \ h_{\mu \nu }\ ,}$${\displaystyle \ A_{\mu }\ }$${\displaystyle \ \pi \ }$${\displaystyle \ U(1)\ }$${\displaystyle \ v_{\mu }\ }$${\displaystyle \ \Box \ \pi =0\ ,}$${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }}$${\displaystyle \ H_{\mu \nu }\ ,}$${\displaystyle H_{\mu \nu }\ }$${\displaystyle \ \phi ^{a}\ }$${\displaystyle \ h'_{\mu \nu }\ }$${\displaystyle \ A^{\mu }~.}$${\displaystyle \ h_{\mu \nu },A_{\mu },\pi \ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {h}}_{\mu \nu }&=M_{\mathsf {Pl}}\ h_{\mu \nu }\\{\tilde {A}}_{\mu }&=M_{\mathsf {Pl}}\ m\ A_{\mu }\\{\tilde {\pi }}&=M_{\mathsf {Pl}}\ m^{2}\ \pi \\{\hat {h}}_{\mu \nu }&={\tilde {h}}_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }{\tilde {\pi }}\end{aligned}}}$

すると、分離限界、つまり、質量のある重力ラグランジアンが両方とも不変である とき、次の式が成り立ちます。${\displaystyle \ M_{\mathsf {Pl}}\to \infty ,m\to 0,m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}={\mathsf {const.}}\ ,}$

1. ${\displaystyle \ \delta h_{\mu \nu }=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }\ ,}$線形化された一般相対性理論のように、
2. ${\displaystyle \ \delta A_{\mu }=\partial _{\mu }\pi \ ,}$マクスウェルの電磁気学理論のように、
3. ${\displaystyle \ \delta \pi =0~.}$

原則として、参照計量は手動で指定する必要があり、そのため、平坦な参照計量を持つ理論はド・ジッター参照計量を持つ理論とは異なるなど、単一の dRGT 質量のある重力理論は存在しません。あるいは、 や のように、を理論の定数として考えることができます。参照計量を最初から指定する代わりに、 が独自のダイナミクスを持つようにすることができます。 の運動項もアインシュタイン–ヒルベルトである場合、理論はゴーストフリーのままであり、質量のある重力子の 5 つの自由度に加えて、質量のない重力子の 2 つの自由度を伝播する、質量のある 重重力の理論^[12] (または双計量的相対論、BR) が残ります。${\displaystyle \ f_{\mu \nu }\ }$${\displaystyle \ m\ }$${\displaystyle \ M_{\mathsf {Pl}}~.}$${\displaystyle \ f_{\mu \nu }\ }$

実際には、 （または）の固有値を計算する必要はなく、 を使って直接書くことができます。 ${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {K} \ }$${\displaystyle \ e_{n}~.}$${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}\!\left(\mathbb {X} \right)&=1\ ,\\e_{1}\!\left(\mathbb {X} \right)&=\left[\ \mathbb {X} \right]\ ,\\e_{2}\!\left(\mathbb {X} \right)&={\tfrac {\ 1\ }{2}}\left(\left[\ \mathbb {X} \ \right]^{2}-\left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]\right)\ ,\\e_{3}\!\left(\mathbb {X} \right)&={\tfrac {\ 1\ }{6}}\left(\left[\ \mathbb {X} \ \right]^{3}-3\ \left[\ \mathbb {X} \ \right]\left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]+2\ \left[\ \mathbb {X} ^{3}\ \right]\right)\ ,\\e_{4}\!\left(\mathbb {X} \right)&=\det \mathbb {X} \ ,\end{aligned}}}$

ここで、括弧はトレースを示します。これは、Boulware-Deser ゴーストを非動的にする原因となる、 各項の特定の反対称組み合わせです。${\displaystyle [\ \mathbb {X} \ ]\equiv X^{\mu }{}_{\mu }\equiv \operatorname {tr} \mathbb {X} ~.}$${\displaystyle \ e_{n}\ }$

または を単位行列とともに使用することは慣例であり、どちらの場合もゴーストフリー質量項は選択された行列の基本対称多項式の線形結合である。一方の基底からもう一方の基底に変換することができ、その場合、係数は関係式^{[31]を満たす。}${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -\mathbb {X} }$${\displaystyle \ \mathbb {I} \ }$

${\displaystyle \beta _{n}=(4-n)!\ \sum _{i=n}^{4}\ {\frac {\ (-1)^{i+n}\ }{\ (4-i)!(i-n)!\ }}\ \alpha _{i}~.}$

係数はフレドホルム行列式の形式をとる特性多項式です。また、Faddeev-LeVerrier アルゴリズムを使用して取得することもできます。

4D 正規直交四面体フレームでは、次の基底を持ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{\,\mu }^{0}&=(-1,0,0,0)\\e_{\,\mu }^{I}&=(0,e_{i}^{I})\end{aligned}}}$

ここで、インデックスは -非直交座標の3D空間成分、インデックスは -直交座標の3D空間成分である。平行移動にはスピン接続が必要である。したがって、計量形式で に 対応する外在曲率は、${\displaystyle i}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle I}$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e^{0\nu }\nabla _{e^{0\nu }}e_{~\mu }^{I}=0.}$${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }}$

${\displaystyle K_{j}^{i}\equiv {\frac {1}{2}}\gamma ^{ik}\partial _{t}(\gamma _{kj})=e_{I}^{i}\partial _{t}(e_{j}^{I}),}$

ここで、はADM 形式および初期値の定式化における空間メトリックです。 ${\displaystyle \gamma _{ij}}$

四面体が共形変換して外在曲率が になる場合、フリードマン方程式、および（議論の余地はあるものの^[42] ）から、つまり外在曲率は のように変換されます。これは行列またはテンソルと非常によく似ています。 ${\displaystyle e_{i}^{I}\to {e'}_{i}^{I}\equiv a(t)~e_{i}^{I},}$${\displaystyle {K'}_{j}^{i}={\frac {a}{\dot {a}}}K_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-{\frac {a}{\dot {a}}}e_{I}^{i}\partial _{t}\!\!\left(e_{j}^{I}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {a}{\dot {a}}}={\frac {a}{\partial _{t}a}}\sim {\frac {1}{\sqrt {\Lambda }}}}$${\displaystyle m\sim 1/{\sqrt {\Lambda }}}$${\displaystyle K_{j}^{i}\to mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I}}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle {\mathcal {K}}_{j}^{i}}$

dRGTは、高次元カルツァ＝クライン重力理論の解体を考慮した後、以前の手法を5D DGPモデルに適用することで開発されました。 ^[43]高次元カルツァ＝クライン重力理論では、余分な次元がN個の格子点のシリーズに置き換えられ、高次元メトリックが4Dコンポーネントのみに依存する相互作用メトリックのセットに置き換えられます。^[39]

平方根行列の存在はやや扱いにくく、四周波を用いたより単純な定式化が必要であることを示しています。計量を四周波に分割すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=\eta _{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }\\f_{\mu \nu }&=\eta _{ab}f^{a}{}_{\mu }f^{b}{}_{\nu }\end{aligned}}}$

そして、1つのフォームを定義する

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} ^{a}&=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\\\mathbf {f} ^{a}&=f^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\\\mathbf {i} ^{a}&=\delta ^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\end{aligned}}}$

ハッサン・ローゼン重重力理論におけるゴーストフリー相互作用項は、（数値因子を除いて）次のように簡単に記述できる^[44]

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {e} ^{d}\\e_{1}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{2}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{3}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{4}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {f} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\end{aligned}}}$

したがって、計量ではなく四辺形の観点から見ると、ゴーストのない dRGT ポテンシャル項の物理的な重要性が非常に明確にわかります。つまり、それらは単に2 つの計量の四辺形のウェッジ積のさまざまな可能な組み合わせすべてです。

計量定式化と四分円定式化における質量重力は、対称条件が満たされる場合にのみ等価となることに注意する。

${\displaystyle (e^{-1})_{a}{}^{\mu }f_{b\nu }=(e^{-1})_{b}{}^{\mu }f_{a\nu }}$

が満たされます。これはほとんどの物理的状況に当てはまりますが、物質が両方の計量に結合する場合や、相互作用サイクルを持つ多重計量理論など、当てはまらない場合もあります。これらの場合、計量定式化と四分円定式化は異なる物理理論ですが、それぞれが健全な質量を持つ重力子を伝播します。

dRGT質量重力理論の新規性は、参照計量がミンコフスキー計量に等しいと仮定することで、局所ローレンツ変換の下でゲージ不変性が実現され、また、曲がった能動時空が存在することで微分同相不変性が実現される点にある。これは、以前に議論したシュテュッケルベルク形式を次のようにフィアバイン言語で書き直すことで示される。^[45]${\displaystyle f_{\mu \nu }}$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

5Dにおけるアインシュタイン場の方程式の4D版は次のように読みます。

${\displaystyle G_{\mu \nu }n^{\mu }n^{\nu }={\frac {1}{2}}\left(R-K^{\mu \nu }K_{\mu \nu }+\left(K_{~\mu }^{\mu }\right)^{2}\right),}$

ここで、 は4D スライスに垂直なベクトルです。質量のある外在曲率の定義を使用すると、外在曲率を含む項が四項作用で 関数形式をとることが簡単にわかります。${\displaystyle n^{\mu }}$${\displaystyle mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I},}$${\displaystyle (f^{a}-e^{a})\wedge (f^{b}-e^{b})\wedge e^{c}\wedge e^{d}}$

したがって、数値係数まで、テンソル形式の完全なdRGT作用は

${\displaystyle S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\int dx^{4}{\sqrt {g}}\left(R+2m^{2}[e_{2}({\mathcal {K}})+e_{3}({\mathcal {K}})+e_{4}({\mathcal {K}})]\right),}$

ここで関数はと同様の形をとる。そして、いくつかの数値係数までは、作用は積分形をとる。 ${\displaystyle e_{i}({\mathcal {K}})}$${\displaystyle e_{i}(\mathbb {X} )}$

${\displaystyle S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\epsilon _{abcd}\int {\Big (}\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land R^{cd}-m^{2}\left[\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {i} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}\right]{\Big )},}$

ここで、最初の項は4項パラティーニ作用のアインシュタイン-ヒルベルト部分であり、はレヴィ-チヴィタ記号です。 ${\displaystyle \epsilon _{abcd}}$

分離極限はおよびを と比較することによって が保証されるので、テンソルを考えることは正当である。これを 1 形式の定義と比較すると、フレーム フィールドの共変成分、すなわち を定義でき、を に置き換えて、ビエルバイン作用の最後の 3 つの相互作用項が次のようになる。 ${\displaystyle \Box \pi =0}$${\displaystyle A_{\mu }\to x_{\mu }}$${\displaystyle X^{\mu }}$${\displaystyle \phi ^{\mu }}$${\displaystyle \partial _{\mu }\phi ^{a}=\delta _{~\mu }^{a}.}$${\displaystyle \mathbf {i} ^{a},}$ ${\displaystyle f_{~\mu }^{a}=\partial _{\mu }\phi ^{\nu }\delta _{~\nu }^{a},}$${\displaystyle e_{~\mu }^{a}={\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \phi ^{\mu }}}\Lambda _{~b}^{a}e_{~\nu }^{b}}$${\displaystyle \mathbf {i} ^{a}}$

${\displaystyle S=-{\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}m^{2}\epsilon _{abcd}\int \left[\mathbf {f} ^{a}\land \left(\Lambda _{b'}^{b}\mathbf {e} ^{b'}\right)\land \left(\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'}\right)\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land \left(\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'}\right)\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land \mathbf {f} ^{c}\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)\right].}$

これができるのは、ローレンツ変換を通して微分同相変換を基準四周界に自由に移動できるためです。さらに重要なのは、微分同相変換がヘリシティ 0 モードとヘリシティ 1 モードのダイナミクスを明らかにするのに役立つため、シュテッケルベルク場をオフにしてゲージ変換のみのバージョンと理論を比較すると、ゲージ変換を簡単に排除できるということです。 ${\displaystyle \partial _{\nu }\phi ^{\mu }}$${\displaystyle \Lambda _{~b}^{a}}$${\displaystyle U(1)}$

なぜ係数が省略されているのか、また、明示的に場に依存しない数値であることをどのように保証するのか疑問に思う人もいるかもしれない。実際、これは、局所的にローレンツ変換されたシュテッケルベルク場に対するビエルバイン作用の変化がこの素晴らしい結果をもたらすため、許されている。^[45]さらに、ローレンツ不変なシュテッケルベルク場について明示的に解くことができ、ビエルバイン作用に代入すると、dRGT質量のある重力のテンソル形式と完全に同等であることを示すことができる。^[46]

もし重力子の質量がハッブル宇宙望遠鏡の速度に匹敵するならば、宇宙論的距離において質量項は反発的な重力効果を生み出し、宇宙の加速につながる可能性がある。大まかに言えば、極限における強化された微分同相対称性は小さな重力子の質量を大きな量子補正から保護するため、この選択は技術的に自然である。^{[47]したがって、質量のある重力は、}宇宙定数の問題、つまり量子補正によって宇宙が極めて早い時期に加速しないのはなぜかという問題に対する解決策を提供する可能性がある。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle m\sim H_{0}}$

しかし、平坦で閉じたフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー宇宙論解は、平坦な参照計量を持つ dRGT 質量重力には存在しないことが判明しました。 ^[13]開いた解と一般的な参照計量を持つ解は不安定性に悩まされます。^{[48]したがって、実行可能な宇宙論は、宇宙が大規模で均一であるという}宇宙論的原理を放棄するか、そうでなければ dRGT を一般化した場合にのみ、質量重力で見つけることができます。たとえば、宇宙論解は、ダイナミクスを与えることで dRGT を拡張する理論であるbigravity ^[14]でより適切に動作します。 これらも不安定性を持つ傾向がありますが、^{[49] [50]}これらの不安定性は、非線形ダイナミクス (Vainshtein のようなメカニズムを通じて) で解決されるか、不安定性の時代を非常に初期の宇宙に押し進めることによって解決される可能性があります。^[15]${\displaystyle f_{\mu \nu }}$

3次元では、質量のない重力子が自由度を伝播しない特殊なケースが存在する。ここでは、質量のある重力子が2つの自由度を伝播するゴーストフリー理論がいくつか定義できる。位相的に質量のある重力の場合^[1]、作用は次のようになる。

${\displaystyle S={\frac {M_{3}}{2}}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}(R-2\Lambda )+{\frac {1}{4\mu }}\epsilon ^{\lambda \mu \nu }\Gamma _{\lambda \sigma }^{\rho }\left(\partial _{\mu }\Gamma _{\rho \nu }^{\sigma }+{\frac {2}{3}}\Gamma _{\mu \alpha }^{\sigma }\Gamma _{\nu \rho }^{\alpha }\right),}$

3次元のプランク質量を持つ。これは、クリストッフェル記号から構築されたチャーン-サイモンズのような項によって補完された3次元の一般相対性理論です。 ${\displaystyle M_{3}}$

最近では、新しい大質量重力理論^[2]が開発され、これは次のような作用によって説明される。

${\displaystyle S=M_{3}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}\left[\pm R+{\frac {1}{m^{2}}}\left(R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }-{\frac {3}{8}}R^{2}\right)\right].}$

2016年の重力波の発見^[51]とその後の観測により、重力子の最大質量に関する制約が得られた。重力子がそもそも質量を持つとすれば、 GW170104イベントの後、重力子のコンプトン波長は少なくとも1.6 × 10 ¹⁶  m、つまり約1.6光年で、重力子の質量は7.7 × 10 ⁻²³  eV/c ²。^[16]この波長とエネルギーの関係は、電磁波の波長と光子のエネルギーを関連付ける同じ式（プランク・アインシュタインの関係）で計算されます。しかし、エネルギーのみを持ち質量を持たない光子は、この点で質量を持つ重力子とは根本的に異なります。重力子のコンプトン波長は重力波長と等しくないからです。代わりに、下限の重力子コンプトン波長は約 これは、GW170104 イベントの重力波長 (約 1,700 km) の9 × 10 ⁹倍です。これは、コンプトン波長が重力子の静止質量によって定義され、不変のスカラー量であるためです。

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レビュー記事

• de Rham, Claudia (2014)、「Massive Gravity」、Living Reviews in Relativity、17 (1): 7、arXiv : 1401.4173、Bibcode :2014LRR....17....7D、doi : 10.12942/lrr-2014-7、PMC  5256007、PMID  28179850
• ヒンタービヒラー、カート (2012)、「質量重力の理論的側面」、現代物理学レビュー、84 (2): 671–710、arXiv : 1105.3735、Bibcode :2012RvMP...84..671H、doi :10.1103/RevModPhys.84.671、S2CID  119279950