指数安定性

制御理論では、連続線形時不変システム(LTI) は、システムの固有値(すなわち、入出力システムの極) の実部が厳密に負である場合 (すなわち、複素平面の左半分にある場合) に限り、指数的に安定である。^{[ 1 ]}離散時間入出力 LTI システムは、その伝達関数の極が複素平面の原点を中心とする単位円内に厳密にある場合に限り、指数的に安定である。LTI ではないシステムは、収束が指数的減衰によって制限される場合に指数的に安定である。指数的安定性は漸近安定性の一種であり、より一般的な動的システムにも適用可能である。

システムについて考えてみましょう $${\displaystyle {\dot {x}}=f(t,x),\ x(t_{0})=x_{0},}$$ どこ${\textstyle f}$は区分的に連続である${\textstyle t}$そしてリプシッツは${\textstyle x}$一般性を失うことなく、${\textstyle f}$原点に平衡点を持つ${\textstyle x=0}$この平衡は、以下の条件が満たされる場合に指数的に安定である。${\textstyle c,k,\lambda >0}$そのため $${\displaystyle \|x(t)\|\leq k\|x(t_{0})\|e^{-\lambda (t-t_{0})},}$$ すべての人々のために${\textstyle \|x(t_{0})\|<c}$[ ^{2 ]}つまり、解決策^は${\textstyle x(t)}$指数関数的な減衰率を示す。

指数的に安定なLTIシステムとは、有限の入力またはゼロでない初期条件が与えられたときに「爆発」（つまり、無制限の出力）を起こさないシステムのことです。さらに、システムに固定された有限の入力（つまり、ステップ入力）が与えられた場合、結果として生じる出力の振動は指数関数的に減衰し、出力は漸近的に新しい最終的な定常状態の値に収束します。システムに代わりにディラックのデルタ関数のインパルスが入力として与えられた場合、誘発された振動は消滅し、システムは以前の値に戻ります。振動が消滅しない場合、またはインパルスが適用されたときにシステムが元の出力に戻らない場合は、システムは代わりに限界的に安定です。

右側のグラフは、 2つの類似システムのインパルス応答を示しています。緑色の曲線は、インパルス応答を持つシステムの応答です。$\displaystyle y(t)=e^{-{\frac {t}{5}}}}$青色はシステムを表す${\displaystyle y(t)=e^{-{\frac {t}{5}}}\sin(t)}$一方の応答は振動的であるが、どちらも時間の経過とともに元の値である0に戻る。

• 限界安定性
• 制御理論
• 状態空間（制御）

• 確率フィルタリングにおけるパラメータ推定と漸近安定性、アナスタシア・パパヴァシリオウ∗2004年9月28日