不連続性の分類

連続関数は、数学、関数、およびアプリケーションにおいて非常に重要です。ただし、すべての関数が連続しているわけではありません。関数がその定義域の極限点(「累積点」または「クラスター点」とも呼ばれる)で連続していない場合、その関数には不連続点があるといいます。関数の不連続点のすべての集合は、離散集合、稠密集合、または関数の定義域全体である場合もあります。

ある点における関数の振動は、これらの不連続性を次のように定量化し ます。

• 除去可能な不連続性では、関数の値がずれる距離が振動です。
• ジャンプ不連続では、ジャンプのサイズが振動です（その点の値が2つの辺のこれらの限界値の間にあると仮定します）。
• 本質的な不連続性において、振動は限界が存在しないことを測定します。

特別なケースとして、関数が無限大またはマイナス無限大に発散する場合があり、その場合には振動は定義されません (拡張された実数では、これは除去可能な不連続性です)。

以下のそれぞれについて、が不連続となる点の近傍で定義された実変数の実数値関数 を考えます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$

区分関数 を考える$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\2-x&{\text{ for }}x>1\end{cases}}}$$

要点は、除去可能な不連続性です。この種の不連続性の場合: ${\displaystyle x_{0}=1}$

負の方向からの 片側極限： および正の方向からの片側極限： は 両方とも に存在し、有限であり、 に等しい。言い換えれば、2つの片側極限が存在し、等しいので、 が に近づくときのの極限が存在し、この同じ値に等しい。 の実際の値が に等しくない場合は、と呼ばれる。$${\displaystyle L^{-}=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)}$$$${\displaystyle L^{+}=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)}$$${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle L=L^{-}=L^{+}.}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)}$${\displaystyle L,}$${\displaystyle x_{0}}$除去可能な不連続性。この不連続性は、連続性を実現するために除去することができる。より正確には、関数は 連続性である。${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0},}$$${\displaystyle g(x)={\begin{cases}f(x)&x\neq x_{0}\\L&x=x_{0}\end{cases}}}$$${\displaystyle x=x_{0}.}$

除去可能な不連続性という用語は、両方向の極限が存在して等しいが、関数が点^[a]で定義されていない除去可能な特異点を含むように拡大解釈されることがある。関数の連続性と不連続性は、関数の定義域内の点に対してのみ定義される概念であるため、この用法は用語の乱用である。 ${\displaystyle x_{0}.}$

機能について考える $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0{\text{ (or perhaps undefined)}}&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$$

そこで、ポイントは${\displaystyle x_{0}=1}$不連続をジャンプします。

この場合、片側極限、およびが存在し、有限であるが等しくないため、単一の極限は存在しません。したがって、極限は存在しません。したがって、はジャンプ不連続、ステップ不連続、または第1種の不連続と呼ばれます。このタイプの不連続では、関数は任意の値を持つことができます。${\displaystyle L^{-}}$${\displaystyle L^{+}}$${\displaystyle L^{-}\neq L^{+},}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$

本質的な不連続性の場合、2 つの片側極限のうち少なくとも 1 つは に存在しません。(片側極限の 1 つまたは両方が になる可能性があることに注意してください)。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \pm \infty}$

機能について考える $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\text{ for }}x>1.\end{cases}}}$$

そこで、ポイントは${\displaystyle x_{0}=1}$本質的な不連続性。

この例では、と は 両方ともには存在しないため、本質的不連続性の条件を満たしています。 は本質的不連続性、無限不連続性、または第 2 種の不連続性です。(これは、複素変数の関数を研究するときによく使用される本質的特異点 とは異なります)。 ${\displaystyle L^{-}}$${\displaystyle L^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$

が区間上で定義された関数であると仮定すると、上の不連続点すべての集合を で表す。は、 で除去可能な不連続点を持つすべての の集合を意味する。同様に、でジャンプ不連続点を持つすべての によって構成される集合を で表す。 で本質的な不連続点を持つすべての の集合は で表す。もちろん、${\displaystyle f}$${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x_{0}\in I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle J}$${\displaystyle x_{0}\in I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle x_{0}\in I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle E.}$${\displaystyle D=R\cup J\cup E.}$

このセットの次の 2 つの特性は文献で関連しています。 ${\displaystyle D}$

• の集合は集合である。関数が連続する点の集合は常に集合である（^[2]を参照）。${\displaystyle D}$${\displaystyle F_{\sigma}}$${\displaystyle G_{\delta}}$
• 区間が単調である場合、 は最大でも可算であり、これがフローダの定理です。${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D=J.}$

トム・アポストル^[3]は、除去可能不連続性とジャンプ不連続性のみを考慮することで、上記の分類に部分的に従っています。彼の目的は、主にフローダの定理を証明するために、単調関数の不連続性を研究することです。同じ目的で、ウォルター・ルーディン^[4]とカール・R・ストロンバーグ^[5]も、異なる用語を使用して、除去可能不連続性とジャンプ不連続性を研究しています。しかし、さらに、両方の著者は、は常に可算な集合であると述べています（^{[6] [7]}を参照）。 ${\displaystyle R\cup J}$

本質的不連続性という用語は、1889年には数学的な文脈で使用されていた証拠があります。 ^[8]しかし、この用語が数学的な定義とともに使用された最も古い例は、ジョン・クリッパートの著作であるようです。^[9]その中で、クリッパートは本質的不連続性自体を次の3つのセットに細分化して分類しました。 ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle E_{1}=\left\{x_{0}\in I:\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ および }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ は }}\mathbb {R} \right\} には存在しない},}$$ $${\displaystyle E_{2}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ exists in }}\mathbb {R} {\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ does not exist in }}\mathbb {R} \right\},}$$ $${\displaystyle E_{3}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ does not exist in }}\mathbb {R} {\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ exists in }}\mathbb {R} \right\}.}$$

もちろん、Whenever は第一種の本質的不連続性と呼ばれます。Anyは第二種の本質的不連続性と言われています。したがって、彼は次のように述べることで、可算であるという特徴を失うことなく セットを拡大します。${\displaystyle E=E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3}.}$${\displaystyle x_{0}\in E_{1},}$ ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}\in E_{2}\cup E_{3}}$${\displaystyle R\cup J}$

• この集合は可算です。${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$

および が有界関数であるとき、のリーマン積分可能性に関する集合の重要性はよく知られています。実際、ルベーグの定理 (ルベーグ-ヴィタリの定理とも呼ばれる) は、が上でリーマン積分可能であるのは、がルベーグ測度がゼロである集合である 場合のみであると述べています。${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle D}$

この定理では、すべての種類の不連続性が、有界関数がリーマン積分可能であるという障害に対して同じ重みを持っているように見えます。可算集合はルベーグ測度がゼロの集合であり、ルベーグ測度がゼロである集合の可算和は依然としてルベーグ測度がゼロの集合であるため、これは当てはまらないことが今やわかります。実際、集合内の不連続性は、のリーマン積分可能性に関して完全に中立です。その目的のための主な不連続性は、第一種の本質的不連続性であり、したがって、ルベーグ-ヴィタリの定理は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b].}$${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$${\displaystyle f.}$

• 有界関数は、の第一種のすべての本質的不連続性の対応する集合がルベーグ測度 0 を持つ場合のみ、上でリーマン積分可能です。${\displaystyle f,}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle f}$

の場合は、有界関数のリーマン積分可能性に関する次のよく知られた古典的な補完状況に対応します。 ${\displaystyle E_{1}=\varnothing }$${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

• の各点で右極限を持つ場合、 は上でリーマン積分可能である（^[10]を参照）。${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b[}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$
• の各点で が左極限を持つ場合、 はでリーマン積分可能である。${\displaystyle f}$${\displaystyle ]a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b].}$
• が上の規制関数である場合、リーマン積分は上で${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b].}$

トーマ関数は、ゼロでないすべての有理点で不連続ですが、すべての無理点で連続です。これらの不連続はすべて除去可能であることが簡単にわかります。最初の段落では、すべての有理点で連続であるが、すべての無理点で不連続である 関数は存在しません。

ディリクレ関数としても知られる有理数の指示関数は、どこでも不連続です。これらの不連続性はすべて、第一種の性質でもあります。

ここで、3元カントール集合 とその指示関数（または特性関数） を考えてみましょう。カントール集合を​​構成する1つの方法は、次のように表されます。ここで、集合は再帰的に次のように求められます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset [0,1]}$$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)={\begin{cases}1&x\in {\mathcal {C}}\\0&x\in [0,1]\setminus {\mathcal {C}}.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\textstyle {\mathcal {C}}:=\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}}$${\displaystyle C_{n}}$$${\displaystyle C_{n}={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right){\text{ for }}n\geq 1,{\text{ and }}C_{0}=[0,1].}$$

関数の不連続性を考慮して、点を仮定してみましょう。${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x),}$${\displaystyle x_{0}\not \in {\mathcal {C}}.}$

したがって、の定式化に使用されている集合が存在し、 は を含まない。つまり、は の構築で削除された開区間の 1 つに属する。このように、は の点のない近傍を持つ(別の言い方をすれば、 は閉集合であり、 に関するその補集合は開集合であることを考慮すると、同じ結論が導かれる)。したがって、の近傍でのみ 0 の値が仮定される。したがって、 は で連続である。${\displaystyle C_{n},}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle C_{n}.}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$${\displaystyle x_{0}.}$

これは、区間 上ののすべての不連続点の集合が のサブセットであることを意味します。 は、ルベーグ測度がゼロの無数集合であるため、もルベーグ測度集合であり、したがって、ルベーグ-ヴィタリの定理に関して、はリーマン積分可能関数です。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$

より正確には、はどこにも存在しない稠密集合なので、の近傍はには含まれない。このように、 の任意の近傍にはの点と に含まれない点が含まれる。関数 に関して、これはと の両方が存在しないことを意味する。つまり、で、前と同様に、関数の第一種 のすべての本質的不連続の集合を表す。明らかに${\displaystyle D={\mathcal {C}}.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \left(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon \right)}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$${\textstyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}\mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)}$${\textstyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}1_{\mathcal {C}}(x)}$${\displaystyle D=E_{1},}$${\displaystyle E_{1},}$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}.}$${\textstyle \int _{0}^{1}\mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)dx=0.}$

開区間をとし、を 上で微分可能とし、をの導関数とします。つまり、任意の に対してとなります。ダルブーの定理によれば、導関数は中間値特性を満たします。もちろん、関数は区間 上で連続になる可能性があり、その場合にはボルツァーノの定理も適用されます。ボルツァーノの定理は、すべての連続関数が中間値特性を満たすことを主張していることを思い出してください。一方、その逆は偽です。ダルブーの定理は が連続であると仮定せず、中間値特性はが 上で連続することを意味しません。${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle F:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle I,}$${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle F.}$${\displaystyle F'(x)=f(x)}$${\displaystyle x\in I}$${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle I,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I.}$

しかしながら、ダルブーの定理は、 が持つことができる不連続性のタイプに直接的な影響を及ぼします。実際、が の不連続点である場合、 は必然的に の本質的な不連続性です。^[11] これは特に、次の 2 つの状況は発生しないことを意味します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}\in I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$

さらに、他の2つの状況を除外する必要があります（ジョン・クリッパート^[12]を参照）。

条件 (i)、(ii)、(iii)、または (iv) のいずれかが に対して満たされる場合は常に、は区間 上で原始微分を持たないと結論付けることができることに注意してください。 ${\displaystyle x_{0}\in I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle I}$

一方、任意の関数に関する新しいタイプの不連続性を導入することができる。関数 の本質的不連続性 は、の基本的な本質的不連続性であると言われる。 ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}\in I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)\neq \pm \infty }$$そして$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)\neq \pm \infty .}$$

したがって、 が微分関数 の不連続性である場合、 は必然的に の基本的な本質的不連続性です。 ${\displaystyle x_{0}\in I}$${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$

また、およびが有界関数であるとき 、ルベーグの定理の仮定のように、すべての に対して が成り立つことにも注意してください。 したがって、 の 任意の本質的な不連続性は基本的な不連続性です。 ${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{\pm }}f(x)\neq \pm \infty ,}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\neq \pm \infty ,}$$$${\displaystyle \lim _{x\to b^{-}}f(x)\neq \pm \infty .}$$${\displaystyle f}$

• 除去可能な特異点 – 正則関数上の未定義の点であり、正則化できる
• 数学的特異点 – 関数、曲線、その他の数学的対象が規則的に動作しない点Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 連続性による拡張 – 位相空間の性質
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  • 幾何学的連続性 – 関数の導関数の数（数学）Pages displaying short descriptions of redirect targets
  • パラメトリック連続性 – 関数の導関数の数 (数学)Pages displaying short descriptions of redirect targets

• Malik, SC; Arora, Savita (1992)。数学的分析（第2版）。ニューヨーク：Wiley。ISBN 0-470-21858-4。

• 「不連続」。PlanetMath 。
• 「不連続性」、Ed Pegg, Jr.著、The Wolfram Demonstrations Project、2007 年。
• Weisstein、Eric W.「不連続性」。MathWorld。
• Kudryavtsev, LD (2001) [1994]. 「不連続点」.数学百科事典. EMS Press .