パルス密度変調

パルス密度変調( PDM ) は、アナログ信号をバイナリ信号で表すために使用される変調形式です。PDM 信号では、特定の振幅値は、パルス符号変調(PCM)の場合のように異なる重みのパルスのコードワードにエンコードされません。むしろ、パルスの相対密度がアナログ信号の振幅に対応します。1ビット DACの出力は、信号の PDM エンコードと同じです。

パルス密度変調ビットストリームでは、1は正極性パルス（+ A ）に対応し、0は負極性パルス（− A）に対応する。数学的には、これは次のように表される。

${\displaystyle x[n]=-A(-1)^{a[n]},}$

ここで、x [ n ]はバイポーラビットストリーム（−Aまたは+ Aのいずれか）であり、a [ n ]は対応するバイナリビットストリーム（0または1のいずれか）です。

すべて 1 で構成される連続は最大 (正) 振幅値に対応し、すべて 0 は最小 (負) 振幅値に対応し、1 と 0 が交互に続く連続はゼロ振幅値に対応します。連続振幅波形は、バイポーラ PDM ビットストリーム をローパス フィルタリングすることによって復元されます。

三角正弦関数の単一周期を100 回サンプリングし、PDM ビット ストリームとして表すと、次のようになります。

010101101111011111111111111111111011111101101101010100100100000010000000000000000000001000010010101

高周波正弦波の 2 つの周期は次のように表示されます。

0101101111111111111101101010010000000000000100010011011101111111111111011010100100000000000000100101

パルス密度変調では、正弦波のピークで 1 の高密度が発生し、正弦波の谷で 1 の 低密度が発生します。

PDM ビットストリームは、1 ビットデルタ シグマ変調のプロセスを通じてアナログ信号からエンコードされます。このプロセスでは、アナログ信号の振幅に応じて 1 または 0 を生成する 1 ビットの量子化器を使用します。1 または 0 は、それぞれずっと上またはずっと下の信号に対応します。現実の世界では、アナログ信号がずっと一方向であることはめったにないため、量子化誤差、つまり 1 または 0 とそれが表す実際の振幅との差が存在します。この誤差は、ΔΣ プロセス ループで負にフィードバックされます。このように、すべての誤差は、他のすべての量子化測定とその誤差に連続的に影響を与えます。これにより、量子化誤差 が平均化されます。

PDM 信号をアナログ信号にデコードするプロセスは簡単です。PDM 信号をローパス フィルタに通すだけです。ローパス フィルタの機能は基本的に信号を平均化することなので、この処理は機能します。パルスの平均振幅は、時間経過に伴うパルスの密度によって測定されるため、デコード プロセスで必要なステップはローパス フィルタのみです。

パルス幅変調(PWM) は PDM の特殊なケースで、スイッチング周波数は固定されており、1 つのサンプルに対応するすべてのパルスはデジタル信号内で連続しています。アナログ信号への復調方法は同じままですが、8 ビットの解像度で 50% 信号を表現すると、PWM 波形は 128 クロック サイクルの間オンになり、残りの 128 サイクルの間オフになります。PDM で同じクロック レートの場合、信号は 1 サイクルおきにオンとオフを交互に繰り返します。ローパス フィルタによって得られる平均は、両方の波形の最大信号レベルの 50% ですが、PDM 信号の方が頻繁に切り替わります。100% または 0% レベルの場合、それらは同じで、信号はそれぞれ永続的にオンまたはオフになります。

注目すべきことに、動物の神経系が感覚やその他の情報を表す方法の 1 つは、信号の大きさが感覚ニューロンの発火率と関連しているレートコーディングです。 ^[要出典]直接的な類推では、活動電位と呼ばれる各神経イベントは 1 ビット (パルス) を表し、ニューロンの発火率はパルス密度を表します。

パルス密度変調の次のデジタルモデルは、1次1ビットデルタシグマ変調器のデジタルモデルから得ることができます。離散時間領域の信号を1次デルタシグマ変調器への入力として考えます。出力は です。離散周波数領域では、振幅時系列にZ変換が適用されてが生成され、デルタシグマ変調器の動作の出力は次のように表されます 。${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle y[n]}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle X(z)}$${\displaystyle Y(z)}$

${\displaystyle Y(z)=X(z)+E(z)\left(1-z^{-1}\right),}$

ここで、はデルタシグマ変調器の 周波数領域量子化誤差である。項を整理すると、次の式が得られる。${\displaystyle E(z)}$

${\displaystyle Y(z)=E(z)+\left[X(z)-Y(z)z^{-1}\right]\left({\frac {1}{1-z^{-1}}}\right).}$

係数はハイパス フィルタを表しているため、低周波数では出力への寄与が少なく、高周波数では寄与が大きいことは明らかです。これは、デルタ シグマ モジュレータのノイズ シェーピング効果を示しています。量子化ノイズは、低周波数から高周波数範囲に「押し出されます」。 ${\displaystyle 1-z^{-1}}$${\displaystyle E(z)}$${\displaystyle Y(z)}$

逆Z変換を使用すると、これをデルタシグマ変調器の入力と離散時間領域での出力を関連付ける差分方程式に変換できます。

${\displaystyle y[n]=x[n]+e[n]-e[n-1].}$

考慮すべき制約が2つあります。1つは、各ステップで出力サンプルが「実行中の」量子化誤差を最小化するように選択されることです。2つ目は、1ビットとして表されるため、2つの値しか取れません。便宜上、次のように記述できます。 ${\displaystyle y[n]}$${\displaystyle e[n].}$${\displaystyle y[n]}$${\displaystyle y[n]=\pm 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=\operatorname {sgn} {\big (}x[n]-e[n-1]{\big )}\\&={\begin{cases}+1&x[n]>e[n-1]\\-1&x[n]<e[n-1]\end{cases}}\\&=(x[n]-e[n-1])+e[n].\\\end{aligned}}}$

収量を求めるために並べ替えると次のようになります。 ${\displaystyle e[n]}$

${\displaystyle e[n]=y[n]-{\big (}x[n]-e[n-1]{\big )}=\operatorname {sgn} {\big (}x[n]-e[n-1]{\big )}-{\big (}x[n]-e[n-1]{\big )}.}$

最終的に、これは入力サンプルに関する出力サンプルの式を与えます。各サンプルの量子化誤差は、次のサンプルの入力に フィードバックされます。${\displaystyle y[n]}$${\displaystyle x[n]}$

次の疑似コードは、パルス符号変調信号を PDM 信号に変換するアルゴリズムを実装します。

// 1次シグマデルタ変調器を使用してサンプルをパルス密度変調にエンコードします

function pdm( real[0..s] x, real qe = 0) // 初期実行誤差はゼロ
    var  int[0..s] y
  
    nが0からsまでの場合
        qe := qe + x[n]
        qe > 0ならば
            y[n] := 1
        それ以外
            y[n] := −1
        qe := qe - y[n]
  
    return y, qe // 出力と実行エラーを返す

PDM は、 Direct Stream Digitalという名前でSony のスーパーオーディオ CD (SACD) 形式で使用されるエンコーディングです。

PDMは一部のMEMS マイクの出力でもある。^[1]

一部のシステムでは、PDMステレオオーディオを1本のデータ線で送信します。マスタークロックの立ち上がりエッジは左チャンネルのビットを示し、マスタークロックの立ち下がりエッジは右チャンネルのビットを示します。^{[2] [3] [4]}

• デルタ変調
• パルス符号変調
• デルタシグマ変調

• 1 ビット A/D および D/A コンバータ –デルタ変調、PDM (シグマデルタ変調または SDM とも呼ばれる)、およびパルスコード変調(PCM)との関係について説明します。
• Kite, Thomas (2012) 「PDM デジタルオーディオを理解する」(PDF)。Audio Precision 。2017 年1 月 19 日閲覧。