国家監視員

線形時不変離散時間システムの 状態は以下を満たすと仮定する。

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)}$

その時${\displaystyle k}$、${\displaystyle x(k)}$植物の状態です。${\displaystyle u(k)}$入力は、${\displaystyle y(k)}$は、その出力です。これらの式は、プラントの現在の出力と将来の状態の両方が、現在の状態と現在の入力のみによって決定されることを単純に示しています。（これらの式は離散的な時間ステップで表現されていますが、非常によく似た式が連続システムにも適用されます）。このシステムが観測可能であれば、プラントの出力は、${\displaystyle y(k)}$状態オブザーバーの状態を制御するために使用できます。

物理システムのオブザーバモデルは、通常、上記の式から導出されます。プラントの入力と出力の連続的な測定値を受け取った際に、モデルの状態がプラントの状態に収束するように、追加の項を含めることができます。具体的には、オブザーバの出力をプラントの出力から減算し、行列を乗算します。${\displaystyle L}$そして、これを観測者の状態の方程式に加えることで、以下の式で定義されるいわゆるルーエンバーガー観測者が生成されます。なお、状態観測者の変数は一般的に「ハット」で表されます。$\displaystyle {\hat {x}}(k)}$そして$\displaystyle {\hat {y}}(k)}$それらを物理システムが満たす方程式の変数と区別するため。

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]+Bu(k)}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)+Du(k)}$

オブザーバの誤差が${\displaystyle e(k)={\hat {x}}(k)-x(k)}$ゼロに収束するのは$\displaystyle k\to \infty }$ルーエンバーガー観測者の場合、観測者誤差は以下を満たす。${\displaystyle e(k+1)=(A-LC)e(k)}$したがって、この離散時間システムのルーエンバーガーオブザーバは、行列が${\displaystyle A-LC}$単位円内にすべての固有値を持つ。

制御目的のため、オブザーバシステムの出力はゲイン行列を介してオブザーバとプラントの両方の入力にフィードバックされる。${\displaystyle K}$。

${\displaystyle u(k)=-K{\hat {x}}(k)}$

観測方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]-BK{\hat {x}}(k)}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)-DK{\hat {x}}(k)}$

あるいはもっと簡単に言うと、

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=\left(A-BK\right){\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=\left(C-DK\right){\hat {x}}(k)}$

分離原理により、私たちは選択できることがわかります${\displaystyle K}$そして${\displaystyle L}$システムの全体的な安定性を損なうことなく独立して。経験則として、観測者の極は${\displaystyle A-LC}$通常、システムの極よりも10倍速く収束するように選択される。${\displaystyle A-BK}$。

前の例は、離散時間LTIシステムに実装されたオブザーバに関するものでした。しかし、連続時間の場合もプロセスは同様です。オブザーバは${\displaystyle L}$連続時間誤差ダイナミクスが漸近的にゼロに収束するように選択されます（つまり、${\displaystyle A-LC}$はフルヴィッツ行列である。

連続時間線形システムの場合

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}$

${\displaystyle y=Cx+Du,}$

どこ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},u\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{r}}$観測者は、上述の離散時間の場合と類似しているように見える。

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=A{\hat {x}}+Bu+L\left(y-{\hat {y}}\right)}$。

${\displaystyle {\hat {y}}=C{\hat {x}}+Du,}$

観測者誤差${\displaystyle e=x-{\hat {x}}}$方程式を満たす

${\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e}$。

行列の固有値${\displaystyle A-LC}$オブザーバゲインを適切に選択することで任意に選択できる${\displaystyle L}$二人が${\displaystyle [A,C]}$観測可能である、すなわち観測可能性条件が満たされる。特に、フルヴィッツ行列にすることができるので、観測者誤差は${\displaystyle e(t)\to 0}$いつ$t→∞$。

観察者が獲得すると${\displaystyle L}$ゲインが高い場合、線形ルーエンバーガーオブザーバはシステム状態に非常に速く収束します。しかし、オブザーバゲインが高いと、初期推定誤差が許容できないほど大きくなる（つまり、実用的ではないか、使用が安全でない）ピーク現象が発生します。^{[ 1 ]}その結果、ピーク現象なしで速く収束する非線形高ゲインオブザーバ法が利用可能です。たとえば、スライディングモード制御を使用して、測定誤差が存在する場合でも、1 つの推定状態の誤差を有限時間でゼロにするオブザーバを設計できます。他の状態の誤差は、ピークが収束した後、ルーエンバーガーオブザーバの誤差と同様の挙動を示します。スライディングモードオブザーバは、カルマンフィルタと同様の魅力的なノイズ耐性特性も持っています。^{[ 2 ] [ 3 ]} 別のアプローチは、マルチオブザーバを適用することです。これにより、過渡応答が大幅に改善され、オブザーバのオーバーシュートが減少します。マルチオブザーバは、高ゲインオブザーバが適用可能なすべてのシステムに適用できます。^{[ 4 ]}

KrenerとIsidori ^{[ 5 ]}およびKrenerとRespondek ^{[ 6 ]}による提案の1つは、線形化変換（フィードバック線形化で使用されるような微分同相写像）が存在する状況に適用できます。${\displaystyle z=\Phi (x)}$新しい変数でシステム方程式は次のようになる

${\displaystyle {\dot {z}}=Az+\phi (y),}$

${\displaystyle y=Cz.}$

リューエンバーガー観測器は次のように設計されます。

${\displaystyle {\dot {\hat {z}}}=A{\hat {z}}+\phi (y)-L\left(C{\hat {z}}-y\right)}$。

変換された変数の観測者誤差${\displaystyle e={\hat {z}}-z}$古典的な線形の場合と同じ方程式を満たす。

${\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e}$。

Gauthier、Hammouri、Othman ^{[ 7 ]} および Hammouri と Kinnaert ^{[ 8 ]}が示し​​たように、変換が存在する場合${\displaystyle z=\Phi (x)}$システムを次の形式に変換できる

${\displaystyle {\dot {z}}=A(u(t))z+\phi (y,u(t)),}$

${\displaystyle y=Cz,}$

するとオブザーバーは次のように設計される。

${\displaystyle {\dot {\hat {z}}}=A(u(t)){\hat {z}}+\phi (y,u(t))-L(t)\left(C{\hat {z}}-y\right)}$、

どこ${\displaystyle L(t)}$これは時間とともに変化する観測者ゲインです。

Ciccarella、Dalla Mora、およびGermani ^{[ 9 ]}は、非線形変換の必要性を排除し、正則性に関する単純な仮定のみを使用して推定状態が真の状態にグローバルに漸近収束することを証明することで、より高度で一般的な結果を得ました。

上記の線形ケースで説明したように、Luenberger オブザーバに存在するピーク現象は、スイッチド オブザーバの使用を正当化します。スイッチド オブザーバは、測定出力の微細な変化を検出すると動作するリレーまたはバイナリ スイッチを含みます。一般的なスイッチド オブザーバの種類には、スライディング モード オブザーバ、非線形拡張状態オブザーバ^{[ 10 ]} 、固定時間オブザーバ^{[ 11 ]} 、スイッチド高ゲイン オブザーバ^{[ 12 ] 、およびユニティング オブザーバ[ 13 ]}があります。スライディングモード オブザーバは、非線形高ゲイン フィードバックを使用して、推定状態を、推定出力と測定出力の間に差がない超曲面に駆動します。オブザーバで使用される非線形ゲインは、通常、推定出力と測定出力の誤差の符号(つまり、sgn) のようなスケーリングされたスイッチング関数で実装されます。したがって、この高ゲイン フィードバックにより、オブザーバのベクトル場には折り目があり、オブザーバの軌跡は、推定出力が測定出力と完全に一致する曲線に沿ってスライドします。したがって、システムがその出力から観測可能であれば、オブザーバの状態はすべて実際のシステム状態に駆動されます。さらに、誤差の符号を使用してスライディングモードオブザーバを駆動することで、オブザーバの軌跡は多くの種類のノイズに対して鈍感になります。そのため、一部のスライディングモードオブザーバは、カルマンフィルタと同様の魅力的な特性を持ちながら、実装がより単純です。^{[ 2 ] [ 3 ]}

Drakunov ^{[ 14 ]}が示唆するように、スライディングモードオブザーバは非線形システムのクラスに対しても設計できる。このようなオブザーバは、元の変数推定値の観点から記述できる。${\displaystyle {\hat {x}}}$そして、その形式は

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=\left[{\frac {\partial H({\hat {x}})}{\partial x}}\right]^{-1}M({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))}$

どこ：

• の${\displaystyle \operatorname {sgn}({\mathord {\cdot }})}$ベクトルはスカラー符号関数を拡張し、${\displaystyle n}$寸法。つまり、

  ${\displaystyle \operatorname {sgn}(z)={\begin{bmatrix}\operatorname {sgn}(z_{1})\\\operatorname {sgn}(z_{2})\\\vdots \\\operatorname {sgn}(z_{i})\\\vdots \\\operatorname {sgn}(z_{n})\end{bmatrix}}}$

  ベクトルの場合${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$。

• ベクトル${\displaystyle H(x)}$出力関数となるコンポーネントを持つ${\displaystyle h(x)}$そしてその繰り返しリー微分。特に、

  ${\displaystyle H(x)\triangleq {\begin{bmatrix}h_{1}(x)\\h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{n}(x)\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\L_{f}^{2}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}}$

  どこ${\displaystyle L_{f}^{i}h}$は出力関数のi^次リー微分である。${\displaystyle h}$ベクトル場に沿って${\displaystyle f}$（つまり、${\displaystyle x}$非線形システムの軌跡）。システムに入力がない場合、または相対次数がnの場合、${\displaystyle H(x(t))}$出力のコレクションです${\displaystyle y(t)=h(x(t))}$そしてその${\displaystyle n-1}$導関数。ヤコビアン線形化の逆関数は${\displaystyle H(x)}$この観察者が明確に定義されるためには、変換が存在しなければならない。${\displaystyle H(x)}$局所微分同相写像であることが保証されている。

• 対角行列${\displaystyle M({\hat {x}})}$利益は次のようなものである。

  ${\displaystyle M({\hat {x}})\triangleq \operatorname {diag} (m_{1}({\hat {x}}),m_{2}({\hat {x}}),\ldots ,m_{n}({\hat {x}}))={\begin{bmatrix}m_{1}({\hat {x}})&&&&&\\&m_{2}({\hat {x}})&&&&\\&&\ddots &&&\\&&&m_{i}({\hat {x}})&&\\&&&&\ddots &\\&&&&&m_{n}({\hat {x}})\end{bmatrix}}}$

  ここで、各${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$、 要素${\displaystyle m_{i}({\hat {x}})>0}$また、スライドモードへのアクセス性を確保するために、適切な大きさである。

• 観測者ベクトル${\displaystyle V(t)}$は、

  ${\displaystyle V(t)\triangleq {\begin{bmatrix}v_{1}(t)\\v_{2}(t)\\v_{3}(t)\\\vdots \\v_{i}(t)\\\vdots \\v_{n}(t)\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}y(t)\\\{m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\{m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{i-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i-1}(t)-h_{i-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{n-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\end{bmatrix}}}$

  どこ${\displaystyle \operatorname {sgn}({\mathord {\cdot }})}$ここにスカラーに対して定義された通常の符号関数があり、${\displaystyle \{\ldots \}_{\text{eq}}}$は、スライディングモードにおける不連続関数の「等価値演算子」を表します。

この考え方は簡単に次のように説明できます。スライディングモード理論によれば、システムの挙動を記述するために、スライディングモードが始まると、関数${\displaystyle \operatorname {sgn}(v_{i}(t)\!-\!h_{i}({\hat {x}}(t)))}$は等価な値に置き換える必要があります（スライディングモード理論の等価制御を参照）。実際には、低速成分が等価な値に等しくなる高周波で切り替わります（チャタリング）。適切なローパスフィルタを適用して高周波成分を除去すると、推定システムの 状態に関するより多くの情報を含む等価制御の値が得られます。上記のオブザーバは、この方法を複数回使用して、理想的には有限時間で非線形システムの 状態を取得します。

修正された観測誤差は、変換された状態で記述することができる。${\displaystyle e=H(x)-H({\hat {x}})}$。 特に、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {e}}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-M({\hat {x}})\,\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t))),\end{aligned}}}$

など

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\dot {e}}_{1}\\{\dot {e}}_{2}\\\vdots \\{\dot {e}}_{i}\\\vdots \\{\dot {e}}_{n-1}\\{\dot {e}}_{n}\end{bmatrix}}&={\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {h}}_{1}(x)\\{\dot {h}}_{2}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{i}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{n-1}(x)\\{\dot {h}}_{n}(x)\end{bmatrix}} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)}}}-{\mathord {\overbrace {M({\hat {x}})\,\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t)))} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})}}}={\begin{bmatrix}h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{i+1}(x)\\\vdots \\h_{n}(x)\\L_{f}^{n}h(x)\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}m_{1}\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\\m_{2}\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\m_{i}\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\m_{n-1}\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\m_{n}\operatorname {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}h_{2}(x)-m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}({\mathord {\overbrace {{\mathord {\overbrace {v_{1}(t)} ^{v_{1}(t)=y(t)=h_{1}(x)}}}-h_{1}({\hat {x}}(t))} ^{e_{1}}}})\\h_{3}(x)-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{i+1}(x)-m_{i}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{n}(x)-m_{n-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\L_{f}^{n}h(x)-m_{n}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

それで：

1. に限って${\displaystyle m_{1}({\hat {x}})\geq |h_{2}(x(t))|}$誤差ダイナミクスの最初の行、${\displaystyle {\dot {e}}_{1}=h_{2}({\hat {x}})-m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{1})}$、${\displaystyle e_{1}=0}$有限時間におけるスライディングモード。
2. 沿って${\displaystyle e_{1}=0}$表面、対応する${\displaystyle v_{2}(t)=\{m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{1})\}_{\text{eq}}}$同等の制御は${\displaystyle h_{2}(x)}$、 など${\displaystyle v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}})=h_{2}(x)-h_{2}({\hat {x}})=e_{2}}$したがって、${\displaystyle m_{2}({\hat {x}})\geq |h_{3}(x(t))|}$誤差ダイナミクスの2行目、${\displaystyle {\dot {e}}_{2}=h_{3}({\hat {x}})-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{2})}$、${\displaystyle e_{2}=0}$有限時間におけるスライディングモード。
3. 沿って${\displaystyle e_{i}=0}$表面、対応する${\displaystyle v_{i+1}(t)=\{\ldots \}_{\text{eq}}}$同等の制御は${\displaystyle h_{i+1}(x)}$したがって、${\displaystyle m_{i+1}({\hat {x}})\geq |h_{i+2}(x(t))|}$、${\displaystyle (i+1)}$エラーダイナミクスの 番目の行^、${\displaystyle {\dot {e}}_{i+1}=h_{i+2}({\hat {x}})-m_{i+1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{i+1})}$、${\displaystyle e_{i+1}=0}$有限時間におけるスライディングモード。

したがって、十分に大きい場合${\displaystyle m_{i}}$ゲインが増加すると、観測者が推定したすべての状態は有限時間内に実際の状態に到達します。${\displaystyle m_{i}}$各${\displaystyle |h_{i}(x(0))|}$関数は確実に制限できる。したがって、マップの要件は${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$これは微分同相写像（すなわち、そのヤコビアン線形化が可逆である）であり、推定出力の収束は推定状態の収束を意味すると主張します。つまり、この要件は可観測性条件です。

入力のあるシステムのスライディングモードオブザーバの場合、観測誤差が入力に依存しないためには追加の条件が必要です。例えば、

${\displaystyle {\frac {\partial H(x)}{\partial x}}B(x)}$

時間に依存しない。観察者は

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=\left[{\frac {\partial H({\hat {x}})}{\partial x}}\right]^{-1}M({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))+B({\hat {x}})u.}$