州監視員

制御理論において、状態観測器、状態推定器、またはルーエンバーガー観測器は、実際のシステムの入力と出力の測定値から、特定の実際のシステムの内部状態の推定値を提供するシステムです。これは通常、コンピューターで実装され、多くの実用的なアプリケーションの基礎を提供します。

システムの状態を知ることは、多くの制御理論の問題を解決するために必要です。たとえば、状態フィードバックを使用してシステムを安定化する場合などです。ほとんどの実際のケースでは、システムの物理的状態は直接観察によって決定することはできません。代わりに、内部状態の間接的な影響がシステム出力によって観察されます。簡単な例としては、トンネル内の車両があります。車両がトンネルに出入りする割合と速度は直接観察できますが、トンネル内の正確な状態は推定することしかできません。システムが観測可能であれば、状態オブザーバーを使用して出力測定からシステムの状態を完全に再構築できます。

線形、遅延、スライディング モード、高ゲイン、タウ、均質性ベース、拡張、およびキュービック オブザーバーは、線形および非線形システムの状態推定に使用されるいくつかのオブザーバー構造の一部です。線形オブザーバー構造については、次のセクションで説明します。

線形、時間不変離散時間システムの状態は、

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)}$

ここで、時刻 では、はプラントの状態、は入力、 は出力です。これらの方程式は、プラントの現在の出力と将来の状態は、両方とも現在の状態と現在の入力によってのみ決定されることを単純に示しています。(これらの方程式は離散時間ステップで表現されていますが、連続システムでも非常によく似た方程式が当てはまります)。このシステムが観測可能であれば、プラントの出力 を使って状態観測器の状態を制御できます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle x(k)}$${\displaystyle u(k)}$${\displaystyle y(k)}$${\displaystyle y(k)}$

物理システムのオブザーバ モデルは、通常、上記の方程式から導出されます。プラントの入力と出力の連続した測定値を受信すると、モデルの状態がプラントの状態と収束するように、追加の項を含めることができます。特に、オブザーバの出力は、プラントの出力から減算され、行列 で乗算されます。次に、これがオブザーバの状態の方程式に追加され、以下の方程式で定義される、いわゆるLuenbergerオブザーバが生成されます。状態オブザーバの変数は、物理システムが満たす方程式の変数と区別するために 、一般に「ハット」で表されます。 および です。${\displaystyle L}$${\displaystyle {\hat {x}}(k)}$${\displaystyle {\hat {y}}(k)}$

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]+Bu(k)}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)+Du(k)}$

のときに観測誤差がゼロに収束する場合、観測器は漸近安定であると呼ばれます。ルーエンバーガー観測器の場合、観測誤差は を満たします。したがって、この離散時間システムのルーエンバーガー観測器は、行列のすべての固有値が単位円の内側にある 場合、漸近安定です。${\displaystyle e(k)={\hat {x}}(k)-x(k)}$${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle e(k+1)=(A-LC)e(k)}$${\displaystyle A-LC}$

制御の目的で、オブザーバー システムの出力はゲイン マトリックスを介してオブザーバーとプラントの両方の入力にフィードバックされます。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle u(k)=-K{\hat {x}}(k)}$

観測方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left(y(k)-{\hat {y}}(k)\right)-BK{\hat {x}}(k)}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)-DK{\hat {x}}(k)}$

あるいは、もっと簡単に言えば、

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=\left(A-BK\right){\hat {x}}(k)+L\left(y(k)-{\hat {y}}(k)\right)}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=\left(C-DK\right){\hat {x}}(k)}$

分離原理により、システム全体の安定性を損なうことなく、 とを独立して選択できることがわかっています。経験則として、観測者の極は通常、システムの極よりも 10 倍速く収束するように選択されます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle A-LC}$${\displaystyle A-BK}$

前の例は、離散時間 LTI システムに実装されたオブザーバーの例です。ただし、プロセスは連続時間の場合と同様です。オブザーバー ゲインは、連続時間エラー ダイナミクスが漸近的にゼロに収束するように選択されます (つまり、がHurwitz 行列の場合)。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle A-LC}$

連続時間線形システムの場合

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}$

${\displaystyle y=Cx+Du,}$

ここで、観測者は上記の離散時間の場合と似ています。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},u\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{r}}$

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=A{\hat {x}}+Bu+L\left(y-{\hat {y}}\right)}$。

${\displaystyle {\hat {y}}=C{\hat {x}}+Du,}$

観測誤差は次の式を満たす。 ${\displaystyle e=x-{\hat {x}}}$

${\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e}$。

ペアが観測可能である場合、つまり観測可能性条件が満たされている場合、観測器ゲインを適切に選択することで、行列の固有値を任意に選択できます。特に、これは Hurwitz にすることができるため、のときの観測器誤差はになります。 ${\displaystyle A-LC}$${\displaystyle L}$${\displaystyle [A,C]}$${\displaystyle e(t)\to 0}$${\displaystyle t\to \infty }$

オブザーバーゲインが高い場合、線形ルーエンバーガーオブザーバーはシステム状態に非常に速く収束します。しかし、オブザーバーゲインが高いとピーキング現象が発生し、初期推定誤差が法外に大きくなる可能性があります（つまり、使用が非現実的または安全ではありません）。^[1]結果として、ピーキング現象なしで急速に収束する非線形高ゲインオブザーバー法が利用可能になります。たとえば、スライディングモード制御を使用すると、測定誤差があっても、有限時間内に推定状態の誤差をゼロにするオブザーバーを設計できます。他の状態の誤差は、ピーキングが治まった後、ルーエンバーガーオブザーバーの誤差と同様に動作します。スライディングモードオブザーバーには、カルマンフィルターに似た魅力的なノイズ耐性特性もあります。^{[2] [3]} 別のアプローチは、マルチオブザーバーを適用することです。これにより、過渡現象が大幅に改善され、オブザーバーのオーバーシュートが減少します。マルチオブザーバーは、高ゲインオブザーバーを適用できるすべてのシステムに適応できます。^[4]${\displaystyle L}$

高ゲイン、スライディング モード、拡張オブザーバーは、非線形システムで最も一般的なオブザーバーです。非線形システムへのスライディング モード オブザーバーの適用を説明するために、まず入力のない非線形システムを考えてみましょう。

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$

ここで、 である。また、測定可能な出力が次のように与えられる と仮定する。${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle y=h(x).}$

オブザーバーを設計するための非近似的なアプローチはいくつかあります。以下に示す2つのオブザーバーは、システムに入力がある場合にも適用されます。つまり、

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+B(x)u}$

${\displaystyle y=h(x).}$

^{KrenerとIsidori [5]}とKrenerとRespondek ^[6]による提案の1つは、線形化変換（つまり、フィードバック線形化で使用されるような微分同相写像）が存在する状況に適用でき、新しい変数ではシステム方程式が次のように読み取られる。 ${\displaystyle z=\Phi (x)}$

${\displaystyle {\dot {z}}=Az+\phi (y),}$

${\displaystyle y=Cz.}$

ルーエンベルガー観測器は次のように設計される。

${\displaystyle {\dot {\hat {z}}}=A{\hat {z}}+\phi (y)-L\left(C{\hat {z}}-y\right)}$。

変換された変数の観測誤差は、古典的な線形の場合と同じ方程式を満たします。 ${\displaystyle e={\hat {z}}-z}$

${\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e}$。

ゴーティエ、ハンモウリ、オスマン^[7] とハンモウリとキナート^[8]が示したように、もしシステムが次の形式に変換できるような 変換が存在するならば、${\displaystyle z=\Phi (x)}$

${\displaystyle {\dot {z}}=A(u(t))z+\phi (y,u(t)),}$

${\displaystyle y=Cz,}$

観察者は次のように設計される

${\displaystyle {\dot {\hat {z}}}=A(u(t)){\hat {z}}+\phi (y,u(t))-L(t)\left(C{\hat {z}}-y\right)}$、

ここで、は時間によって変化する観測者ゲインです。 ${\displaystyle L(t)}$

Ciccarella、Dalla Mora、Germani ^[9]は、非線形変換の必要性を排除し、規則性に関する単純な仮定のみを使用して推定状態から真の状態への大域的漸近収束を証明し、より高度で一般的な結果を得ました。

上で線形の場合について説明したように、ルーエンバーガー オブザーバーに見られるピーキング現象は、スイッチ オブザーバーの使用を正当化します。スイッチ オブザーバーには、測定された出力のわずかな変化を検出すると動作するリレーまたはバイナリ スイッチが含まれます。スイッチ オブザーバーの一般的なタイプには、スライディング モード オブザーバー、非線形拡張状態オブザーバー、^[10]固定時間オブザーバー、^[11]スイッチ高ゲイン オブザーバー^[12]および統合オブザーバー^[13]などがあります。スライディングモード オブザーバーは、非線形高ゲイン フィードバックを使用して、推定出力と測定出力に差がない超曲面まで推定状態を誘導します。オブザーバーで使用される非線形ゲインは、通常、推定出力と測定出力の誤差の符号(つまり、sgn) のようなスケーリングされたスイッチング関数を使用して実装されます。したがって、この高ゲイン フィードバックにより、オブザーバーのベクトル フィールドには折り目が付き、オブザーバーの軌跡は、推定出力が測定出力と正確に一致する曲線に沿ってスライドします。したがって、システムがその出力から観測可能であれば、観測器の状態はすべて実際のシステム状態に駆動されます。さらに、誤差の符号を使用してスライディングモード観測器を駆動することにより、観測器の軌跡は多くの種類のノイズの影響を受けなくなります。したがって、一部のスライディングモード観測器は、カルマンフィルタに似た魅力的な特性を持ちますが、実装はより簡単です。^{[2] [3]}

Drakunov ^{[14]が示唆しているように、}スライディングモードオブザーバーは非線形システムのクラスに対しても設計できる。このようなオブザーバーは元の変数推定値で記述でき、次の形式を持つ。 ${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=\left[{\frac {\partial H({\hat {x}})}{\partial x}}\right]^{-1}M({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))}$

どこ：

• ベクトルはスカラー符号関数を次元に拡張する。つまり、 ${\displaystyle \operatorname {sgn}({\mathord {\cdot }})}$${\displaystyle n}$

  ${\displaystyle \operatorname {sgn}(z)={\begin{bmatrix}\operatorname {sgn}(z_{1})\\\operatorname {sgn}(z_{2})\\\vdots \\\operatorname {sgn}(z_{i})\\\vdots \\\operatorname {sgn}(z_{n})\end{bmatrix}}}$

  ベクトルの場合。${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$

• ベクトルには出力関数とその繰り返しリー導関数の要素があります。特に、 ${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle h(x)}$

  ${\displaystyle H(x)\triangleq {\begin{bmatrix}h_{1}(x)\\h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{n}(x)\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\L_{f}^{2}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}}$

  ここで、はベクトル場（つまり、非線形システムの軌跡）に沿った出力関数のi^番目のリー導関数です。システムに入力がないか、相対次数がnである特殊なケースでは、は出力とその導関数の集合です。この観測者が適切に定義されるためには、のヤコビアン線形化の逆関数が存在する必要があるため、変換は局所微分同相写像になることが保証されます。${\displaystyle L_{f}^{i}h}$ ${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H(x(t))}$${\displaystyle y(t)=h(x(t))}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle H(x)}$

• 利得の 対角行列 は、${\displaystyle M({\hat {x}})}$

  ${\displaystyle M({\hat {x}})\triangleq \operatorname {diag} (m_{1}({\hat {x}}),m_{2}({\hat {x}}),\ldots ,m_{n}({\hat {x}}))={\begin{bmatrix}m_{1}({\hat {x}})&&&&&\\&m_{2}({\hat {x}})&&&&\\&&\ddots &&&\\&&&m_{i}({\hat {x}})&&\\&&&&\ddots &\\&&&&&m_{n}({\hat {x}})\end{bmatrix}}}$

  ここで、各 に対して、要素と はスライディング モードの到達可能性を保証するために適切に大きくなります。${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$${\displaystyle m_{i}({\hat {x}})>0}$

• 観測者ベクトルは ${\displaystyle V(t)}$

  ${\displaystyle V(t)\triangleq {\begin{bmatrix}v_{1}(t)\\v_{2}(t)\\v_{3}(t)\\\vdots \\v_{i}(t)\\\vdots \\v_{n}(t)\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}y(t)\\\{m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\{m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{i-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i-1}(t)-h_{i-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{n-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\end{bmatrix}}}$

  ここで、はスカラーに対して定義された通常の符号関数であり、スライディング モードの不連続関数の「同値演算子」を表します。${\displaystyle \operatorname {sgn}({\mathord {\cdot }})}$${\displaystyle \{\ldots \}_{\text{eq}}}$

この考え方は、簡単に説明すると次のようになります。スライディング モード理論によれば、システムの動作を記述するためには、スライディング モードが開始したら、関数を等価値に置き換える必要があります (スライディング モード理論の等価制御を参照)。実際には、低速成分が等価値に等しい状態で高周波で切り替わり (チャタリング) ます。適切なローパス フィルターを適用して高周波成分を取り除くと、等価制御の値を取得できます。この値には、推定システムの状態に関するより多くの情報が含まれています。上記のオブザーバーは、この方法を複数回使用して、有限時間内に非線形システムの状態を理想的に取得します。 ${\displaystyle \operatorname {sgn}(v_{i}(t)\!-\!h_{i}({\hat {x}}(t)))}$

修正された観測誤差は変換された状態で表すことができる。特に、 ${\displaystyle e=H(x)-H({\hat {x}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {e}}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-M({\hat {x}})\,\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t))),\end{aligned}}}$

など

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\dot {e}}_{1}\\{\dot {e}}_{2}\\\vdots \\{\dot {e}}_{i}\\\vdots \\{\dot {e}}_{n-1}\\{\dot {e}}_{n}\end{bmatrix}}&={\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {h}}_{1}(x)\\{\dot {h}}_{2}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{i}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{n-1}(x)\\{\dot {h}}_{n}(x)\end{bmatrix}} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)}}}-{\mathord {\overbrace {M({\hat {x}})\,\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t)))} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})}}}={\begin{bmatrix}h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{i+1}(x)\\\vdots \\h_{n}(x)\\L_{f}^{n}h(x)\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}m_{1}\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\\m_{2}\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\m_{i}\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\m_{n-1}\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\m_{n}\operatorname {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}h_{2}(x)-m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}({\mathord {\overbrace {{\mathord {\overbrace {v_{1}(t)} ^{v_{1}(t)=y(t)=h_{1}(x)}}}-h_{1}({\hat {x}}(t))} ^{e_{1}}}})\\h_{3}(x)-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{i+1}(x)-m_{i}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{n}(x)-m_{n-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\L_{f}^{n}h(x)-m_{n}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

それで：

1. である限り、誤差ダイナミクスの最初の行は、有限時間内にスライディング モードに入るための十分な条件を満たします。${\displaystyle m_{1}({\hat {x}})\geq |h_{2}(x(t))|}$${\displaystyle {\dot {e}}_{1}=h_{2}({\hat {x}})-m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{1})}$${\displaystyle e_{1}=0}$
2. 表面に沿って、対応する等価制御は に等しくなり、 になります。したがって、 である限り、誤差ダイナミクスの 2 番目の行 は有限時間内にスライディング モードに入ります。${\displaystyle e_{1}=0}$${\displaystyle v_{2}(t)=\{m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{1})\}_{\text{eq}}}$${\displaystyle h_{2}(x)}$${\displaystyle v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}})=h_{2}(x)-h_{2}({\hat {x}})=e_{2}}$${\displaystyle m_{2}({\hat {x}})\geq |h_{3}(x(t))|}$${\displaystyle {\dot {e}}_{2}=h_{3}({\hat {x}})-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{2})}$${\displaystyle e_{2}=0}$
3. 表面に沿って、対応する等価制御は に等しくなります。したがって、 である限り、誤差ダイナミクスの 番目の行 は^有限時間内にスライディング モードに入ります。${\displaystyle e_{i}=0}$${\displaystyle v_{i+1}(t)=\{\ldots \}_{\text{eq}}}$${\displaystyle h_{i+1}(x)}$${\displaystyle m_{i+1}({\hat {x}})\geq |h_{i+2}(x(t))|}$${\displaystyle (i+1)}$${\displaystyle {\dot {e}}_{i+1}=h_{i+2}({\hat {x}})-m_{i+1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{i+1})}$${\displaystyle e_{i+1}=0}$

したがって、ゲインが十分に大きい場合、すべてのオブザーバー推定状態は有限時間内に実際の状態に到達します。実際、各関数が確実に制限できる限り、増加により任意の有限時間内で収束が可能になります。したがって、マップが微分同相写像であるという要件(つまり、そのヤコビアン線形化が可逆である) は、推定出力の収束が推定状態の収束を意味することを主張します。つまり、この要件は観測可能性条件です。 ${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle |h_{i}(x(0))|}$${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

入力を持つシステムのスライディングモードオブザーバーの場合、観測誤差が入力に依存しないためには追加の条件が必要である。例えば、

${\displaystyle {\frac {\partial H(x)}{\partial x}}B(x)}$

時間に依存しない。観察者は

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=\left[{\frac {\partial H({\hat {x}})}{\partial x}}\right]^{-1}M({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))+B({\hat {x}})u.}$

マルチオブザーバーは、高ゲインオブザーバー構造を単一オブザーバーから複数オブザーバーに拡張し、多くのモデルが同時に動作する。これには2つの層があり、最初の層は異なる推定状態を持つ複数の高ゲインオブザーバーで構成され、2番目の層は最初の層のオブザーバーの重要度重みを決定します。このアルゴリズムは実装が簡単で、微分化などのリスクのある操作は含まれていません。^[4]複数モデルの考え方は、以前は適応制御で情報を取得するために適用されていました。^[15]

• 
  マルチオブザーバースキーマ

高ゲイン観測者の数が であると仮定すると、 ${\displaystyle n+1}$

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}_{k}(t)=A{\hat {x_{k}}}(t)+B\phi _{0}({\hat {x}}(t),u(t))-L({\hat {y_{k}}}(t)-y(t))}$

${\displaystyle {\hat {y_{k}}}(t)=C{\hat {x_{k}}}(t)}$

ここで、はオブザーバインデックスです。第1層のオブザーバは同じゲインで構成されていますが、初期状態が異なります。第2層では、すべてのオブザーバが1つに結合され、単一の状態ベクトル推定が得られます。 ${\displaystyle k=1,\dots ,n+1}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x_{k}(0)}$${\displaystyle x_{k}(t)}$${\displaystyle k=1...n+1}$

${\displaystyle {\hat {y_{k}}}(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t){\hat {x_{k}}}(t)}$

ここで、重み係数です。これらの係数は、第 2 層での推定値を提供し、観測プロセスを改善するために変更されます。 ${\displaystyle \alpha _{k}\in \mathbb {R} }$

仮に

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)\xi _{k}(t)=0}$

そして

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)=1}$

ここで、 は観測者の誤差に依存するベクトルです。 ${\displaystyle \xi _{k}\in \mathbb {R} ^{n\times 1}}$${\displaystyle kth}$${\displaystyle e_{k}(t)}$

いくつかの変換は線形回帰問題をもたらす

${\displaystyle [-\xi _{n+1}(t)]=[\xi _{1}(t)-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{k}(t)-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{n}(t)-\xi _{n+1}(t)]^{T}{\begin{bmatrix}\alpha _{1}(t)\\\vdots \\\alpha _{k}(t)\\\vdots \\\alpha _{n}(t)\end{bmatrix}}}$

この式は を推定する可能性を与えます。多様体を構築するには、 との間のマッピングが必要です。測定可能な信号に依存して計算可能であることが保証されます。まず、 のパーキング現象を観測者の誤差から 排除します。${\displaystyle \alpha _{k}(t)}$${\displaystyle m:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \xi _{k}(t)=m(e_{k}(t))}$${\displaystyle \xi _{k}(t)}$${\displaystyle \alpha _{k}(t)}$

${\displaystyle e_{\sigma }(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)e_{k}(t)}$。

の微分を計算して、 mのマッピングを見つけ、次のように定義されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \eta _{k}(t)={\hat {y}}_{k}(t)-y(t)}$${\displaystyle \xi _{k}(t)}$

${\displaystyle \xi _{k}(t)={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\CL&1&0&\cdots &0\\CAL&CL&1&\cdots &0\\CA^{2}L&CAL&CL&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\CA^{n-2}L&CA^{n-3}L&CA^{n-4}L&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\int \limits _{t-t_{d}}^{t}{{n-1} \atop \cdots }\int \limits _{t-t_{d}}^{t}\eta _{k}(\tau )d\tau \\\vdots \\\eta (t)-\eta (t-(n-1)t_{d})\end{bmatrix}}}$

ここで、 は時間定数です。は とその積分の両方にリレーするので、制御システムで簡単に利用できます。 さらに、 は推定法則によって指定され、したがって多様体が測定可能であることが証明されます。 2番目の層では、の係数の推定値として導入されます。 マッピング誤差は次のように指定されます 。${\displaystyle t_{d}>0}$${\displaystyle \xi _{k}(t)}$${\displaystyle \eta _{k}(t)}$${\displaystyle \alpha _{k}(t)}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{k}(t)}$${\displaystyle k=1\dots n+1}$${\displaystyle \alpha _{k}(t)}$

${\displaystyle e_{\xi }(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}{\hat {\alpha }}_{k}(t)\xi _{k}(t)}$

ここで。係数が に等しい場合、マッピング誤差 は上記の式から計算できるようになり、多様体の特性によりピーキング現象が軽減されます。作成されたマッピングにより、推定プロセスに多くの柔軟性がもたらされます。第2層の の値を推定し、状態 を計算することも可能になります。^[4]${\displaystyle e_{\xi }(t)\in \mathbb {R} ^{n\times 1},{\hat {\alpha }}_{k}(t)\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\hat {\alpha }}(t)}$${\displaystyle \alpha _{k}(t)}$${\displaystyle e_{\xi }(t)=0}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x}$

境界^[16]または区間観測器^{[17] [18]}は、状態の2つの推定値を同時に提供する観測器の一種です。推定値の1つは状態の実際の値の上限を提供し、もう1つは下限を提供します。状態の実際の値は常にこれら2つの推定値の範囲内にあることが分かっています。

これらの境界は実際の応用において非常に重要であり、^{[19] [20]}推定の精度をその都度知ることを可能にする。

数学的には、が適切に選択されていれば、例えば正のシステム特性を使用して、2つのルーエンベルガー観測器を使用することができます。 ^[21] 1つは上限（ノイズと不確実性がない場合に が上からゼロに収束することを保証する）用、もう1つは下限（ が下からゼロに収束することを保証する）用です。つまり、常に${\displaystyle L}$${\displaystyle {\hat {x}}_{U}(k)}$${\displaystyle e(k)={\hat {x}}_{U}(k)-x(k)}$${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle {\hat {x}}_{L}(k)}$${\displaystyle e(k)={\hat {x}}_{L}(k)-x(k)}$${\displaystyle {\hat {x}}_{U}(k)\geq x(k)\geq {\hat {x}}_{L}(k)}$

• 移動地平線推定
• カルマンフィルタ
• 拡張カルマンフィルタ
• ポジティブなシステム

インライン参照