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信号処理において、フィルタとは、信号から不要な成分や特徴を除去する装置または処理のことです。フィルタリングは信号処理の一種であり、フィルタの決定的な特徴は、信号の何らかの側面を完全に、または部分的に抑制することです。多くの場合、これは特定の周波数または周波数帯域を除去することを意味します。しかし、フィルタは周波数領域のみで作用するわけではありません。特に画像処理の分野では、フィルタリングの対象となる領域が他にも多数存在します。周波数領域で作用することなく、特定の周波数成分の相関を除去し、他の周波数成分の相関は除去しないといったことが可能です。フィルタは、電子工学や電気通信、ラジオ、テレビ、音声録音、レーダー、制御システム、音楽合成、画像処理、コンピュータグラフィックス、構造力学など、幅広い分野で利用されています。
フィルタを分類する基準は多岐にわたり、それらは様々な形で重なり合っており、単純な階層的分類は存在しません。フィルタには以下のようなものがあります。
アナログ信号処理の世界では、フィルタという言葉は線形連続時間回路を指すことが最も一般的であり、単に「フィルタ」という言葉も同義語として使われることが多い。これらの回路は一般的に、特定の周波数を除去し、他の周波数を通過させるように設計されている。この機能を果たす回路は、一般的に応答が線形であるか、少なくとも近似的に線形である。非線形性があると、出力信号に入力信号には存在しない周波数成分が含まれる可能性がある。
線形連続時間フィルタの現代的な設計手法は、ネットワーク合成と呼ばれています。この方法で設計された重要なフィルタファミリーには、以下のようなものがあります。
これらのフィルタファミリーの違いは、それぞれ異なる多項式関数を用いて理想的なフィルタ応答を近似している点にある。そのため、それぞれ異なる伝達関数を持つことになる。
もう一つ、古く、あまり使われていない手法として、イメージパラメータ法があります。この手法で設計されたフィルタは、昔ながらの「波動フィルタ」と呼ばれています。この手法で設計された重要なフィルタには、以下のようなものがあります。
線形フィルタを説明および分類するために使用される用語の例：
フィルタの重要な応用例の一つに、電気通信があります。多くの電気通信システムでは、周波数分割多重方式が用いられています。この方式では、システム設計者が広い周波数帯域を「スロット」または「チャネル」と呼ばれる多数の狭い周波数帯域に分割し、各情報ストリームにこれらのチャネルのいずれかを割り当てます。各送信機と各受信機でフィルタを設計する人々は、目的の信号を可能な限り正確に通過させること、他の連携する送信機やシステム外部のノイズ源からの干渉を可能な限り低く抑えること、そして妥当なコストでこれらのバランスを取るように努めています。
マルチレベルおよびマルチフェーズのデジタル変調システムでは、時間領域でのパルスの完全性を維持するために、フラットな位相遅延（通過帯域で線形位相）を持つフィルタが必要であり、 [ 1 ]他の種類のフィルタよりもシンボル間干渉が 少なくなります。
一方、アナログ伝送を使用するアナログオーディオシステムは、位相遅延のリップルがはるかに大きい場合でも許容できるため、そのようなシステムの設計者は、阻止帯域除去性能の向上、通過帯域振幅リップルの低減、コスト削減など、他の点で優れたフィルタを得るために、意図的に線形位相を犠牲にすることがよくあります。
フィルタは、さまざまな技術で構築できます。同じ伝達関数でも、複数の異なる方法で実現できます。つまり、フィルタの数学的な特性は同じでも、物理的な特性は大きく異なります。多くの場合、異なる技術の構成要素は互いに直接的に類似しており、それぞれのフィルタで同じ役割を果たします。例えば、電子回路の抵抗器、インダクタ、コンデンサは、それぞれ力学におけるダンパー、質量、バネに対応します。同様に、分布定数フィルタにも対応する構成要素が存在します。
デジタル信号処理により、多種多様なフィルタを低コストで構築することが可能になります。信号はサンプリングされ、アナログ-デジタル変換器によって数値ストリームに変換されます。CPUまたは専用のDSP（あるいは、まれにアルゴリズムのハードウェア実装上で動作する）上で動作するコンピュータプログラムが、出力数値ストリームを計算します。この出力は、デジタル-アナログ変換器を通すことで信号に変換できます。変換によってノイズが発生するという問題がありますが、多くの有用なフィルタでは、これらのノイズを制御および制限することができます。サンプリングが行われるため、入力信号の周波数成分は限定されている必要があり、そうでない場合はエイリアシングが発生します。
1930年代後半、エンジニアたちは、水晶などの剛性材料で作られた小型の機械システムが、可聴周波数（音）から数百メガヘルツまでの無線周波数で音響共振を起こすことに気づいた。初期の共振器の中には鋼鉄製のものもあったが、すぐに水晶が好まれるようになった。水晶の最大の利点は圧電性であることだ。つまり、水晶共振器は自身の機械的な動きを直接電気信号に変換できる。また、水晶は熱膨張係数が非常に低いため、水晶共振器は広い温度範囲で安定した周波数を生成できる。水晶フィルターはLCRフィルターよりもはるかに高いQ値を持つ。より高い安定性が求められる場合、水晶とその駆動回路を「水晶炉」に取り付けて温度を制御することがある。非常に狭帯域のフィルターの場合、複数の水晶を直列に接続して動作させることもある。
多数の結晶を、櫛形に蒸着した金属を水晶結晶上に配置することで、単一の部品に集約することができる。この方式では、「タップ付き遅延線」が、音波が水晶結晶の表面を通過する際に、目的の周波数を増幅する。タップ付き遅延線は、さまざまな方法で高Qフィルターを作製するための一般的な方式となっている。
SAW（表面弾性波）フィルタは、無線周波数アプリケーションで一般的に使用される電気機械デバイスです。電気信号は、圧電結晶またはセラミックで構成されたデバイス内で機械波に変換されます。この波はデバイスを伝搬する際に遅延し、さらに電極によって電気信号に再変換されます。遅延された出力は再結合され、有限インパルス応答フィルタの直接アナログ実装が生成されます。このハイブリッドフィルタリング技術は、アナログサンプリングフィルタにも見られます。SAWフィルタは、最大3GHzの周波数に制限されます。このフィルタは、テッド・ペイジ教授らによって開発されました。[ 2 ]
BAW（バルク音響波）フィルタは電気機械デバイスです。BAWフィルタは、ラダーフィルタまたはラティスフィルタを実装できます。BAWフィルタは通常、約2GHzから約16GHzの周波数で動作し 、同等のSAWフィルタよりも小型または薄型です。BAWフィルタの主な2つの種類がデバイスに採用されつつあります。薄膜バルク音響共振器（FBAR）と固体実装バルク音響共振器（SMR）です。
800 MHz から約 5 GHz のマイクロ波周波数帯におけるフィルタリングの別の方法として、イットリウムと鉄の化学結合で作られた合成単結晶イットリウム鉄ガーネット球（YIGF、またはイットリウム鉄ガーネットフィルタ）を使用する方法がある。ガーネットはトランジスタで駆動される金属片の上に置かれ、小さなループアンテナが球の上部に接触する。電磁石によってガーネットが通過する周波数が変化する。この方法の利点は、磁場の強度を変化させることで、ガーネットを非常に広い周波数範囲で同調させることができる点である。
さらに高い周波数と精度を実現するには、原子の振動を利用する必要がある。 原子時計は、主発振器を安定させるために、超高Qフィルターとしてセシウムメーザーを使用している。また、非常に微弱な無線信号を用いた高周波数の固定周波数で使用される別の方法として、ルビーメーザーを用いた遅延線がある。
フィルタの伝達関数は、多くの場合、複素周波数領域で定義されます。この領域への往復変換は、ラプラス変換とその逆変換によって行われます（したがって、以下では、「入力信号」という用語は、入力信号の時間表現の「ラプラス変換」などを意味するものとします）。
伝達関数フィルタの は出力信号の比率である入力信号に対して複素周波数の関数として:
と。
離散的な構成要素（集中定数素子）で構成されたフィルタの場合：
分布素子フィルタは一般に有理関数伝達関数を持たないが、それを近似することは可能である。
伝達関数の構築にはラプラス変換が含まれるため、初期条件がゼロであると仮定する必要がある。
そして、f (0) = 0 の場合、定数項を消去して通常の式を使用できます。
伝達関数に代わる方法として、フィルタの動作を時間領域入力とフィルタのインパルス応答の畳み込みとして表す方法がある。ラプラス変換に成り立つ畳み込み定理は、伝達関数との等価性を保証する。
フィルタの種類によっては、フィルタファミリーとバンドフォームによって指定される場合があります。フィルタファミリーは、使用される近似多項式によって指定され、それぞれがフィルタの伝達関数の特定の特性をもたらします。一般的なフィルタファミリーとその特性には、以下のようなものがあります。
各フィルタファミリーは、特定の次数に指定できます。次数が高いほど、フィルタは「理想的な」フィルタに近づきますが、インパルス応答が長くなり、遅延時間も長くなります。理想的なフィルタは、通過帯域で完全な透過、阻止帯域で完全な減衰、そして2つの帯域間の急激な遷移を持ちますが、このフィルタは無限次数（つまり、応答を有限和の線形微分方程式で表現できない）と無限遅延（つまり、フーリエ変換におけるコンパクトなサポートにより、時間応答が永遠に続く）を持ちます。
ここに、バターワースフィルタ、チェビシェフフィルタ、楕円フィルタを比較した図を示します。この図に示されているフィルタはすべて5次ローパスフィルタです。実装方法（アナログかデジタルか、パッシブかアクティブか）は関係なく、出力は同じです。図から明らかなように、楕円フィルタは他のフィルタよりもシャープですが、帯域幅全体にリップルが見られます。
どのファミリでも、特定の周波数帯域を実装するために使用できます。どの周波数帯域が伝送され、通過帯域外の周波数がどの程度減衰されるかは、伝送関数によって決まります。伝達関数は線形フィルタの動作を完全に規定しますが、それを実装するために使用される特定の技術は規定しません。つまり、回路を設計する際に、特定の伝達関数を実現する方法は複数存在します。フィルタの特定の帯域は、そのファミリのプロトタイプフィルタを変換することによって得られます。
インピーダンス整合回路は、必然的にフィルタ、すなわち非損失素子のネットワークの形をとります。例えば、受動電子回路の実装では、インダクタとコンデンサのラダー型トポロジーの形をとることが多いでしょう。整合回路の設計はフィルタと多くの共通点があり、設計の結果として必然的にフィルタリング作用が生じます。整合回路の主な目的はフィルタリングではありませんが、多くの場合、両方の機能が同じ回路に組み込まれています。信号がデジタル領域にある間は、インピーダンス整合の必要性は生じません。
電力分配器や方向性結合器についても同様のことが言えます。分布素子形式で実装すると、これらのデバイスは分布素子フィルタの形をとることができます。整合させるべきポートは4つあり、帯域幅を広げるにはフィルタのような構造が必要です。逆もまた真です。分布素子フィルタは結合線路の形をとることができます。[ 3 ]
