スイッチドキャパシタ

定義上、料金${\displaystyle q}$どのコンデンサでも${\displaystyle C}$電圧付き${\displaystyle V}$そのプレートの間には以下がある。

${\displaystyle q=CV.\ }$

したがって、S ₁が閉じられ、S ₂が開いているとき、コンデンサに蓄積される電荷​​は${\displaystyle C_{S}}$次になります:

${\displaystyle q_{\text{in}}=C_{S}V_{\text{in}}}$

想定${\displaystyle V_{\text{in}}}$は理想的な電圧源です。

S2_が閉じているとき（S1_は開いている。両方が同時に閉じられることはない）、その電荷の一部がコンデンサから移動します。出力に接続されている負荷がわからない限り、どれだけの電荷が移動するかを正確に判断することはできません。しかし、定義により、コンデンサに残る電荷は${\displaystyle C_{S}}$未知変数を用いて表現できる${\displaystyle V_{\text{out}}}$:

${\displaystyle q_{\text{out}}=C_{S}V_{\text{out}}.\ }$

したがって、 1回のスイッチングサイクル中にinからoutへ移動する電荷は次のようになります。

${\displaystyle q_{\text{in-out}}=q_{\text{in}}-q_{\text{out}}=C_{S}(V_{\text{in}}-V_{\text{out}}).\ }$

この料金は以下のレートで転送されます${\displaystyle f}$したがって、入力から出力への平均電流（単位時間あたりの電荷移動速度）は次のようになります。

${\displaystyle I_{\text{in-out}}=q_{\text{in-out}}f=C_{S}(V_{\text{in}}-V_{\text{out}})f.\ }$

入力から出力への電圧差は次のように表すことができます。

${\displaystyle V_{\text{in-out}}=V_{\text{in}}-V_{\text{out}}.\ }$

最後に、入力から出力への電流-電圧関係はオームの法則と同じ形式で表すことができ、このスイッチドキャパシタ回路が等価抵抗を持つ抵抗器をシミュレートしていることを示すことができる。

${\displaystyle R_{\text{equivalent}}={V_{\text{in-out}} \over I_{\text{in-out}}}={(V_{\text{in}}-V_{\text{out}}) \over C_{S}(V_{\text{in}}-V_{\text{out}})f}={1 \over {C_{S}f}}.\ }$

この回路は、入力と出力が並列に接続され、直接結合されていないため、並列抵抗シミュレーションと呼ばれます。SCシミュレーションによる抵抗回路には、他にも双線形抵抗シミュレーション、直列抵抗シミュレーション、直並列抵抗シミュレーション、寄生要素に影響されない抵抗シミュレーションなどがあります。

電荷は連続的ではなく、離散的なパルスとして入力から出力へと転送されます。スイッチング周波数が入力信号の帯域幅制限よりも十分に高い場合（100倍以上）、この転送は抵抗器の連続的な電荷転送とほぼ等価になります。

ここでモデル化した、抵抗ゼロの理想的なスイッチを用いたSC回路は、通常の抵抗器のようなオームによる発熱エネルギー損失を受けないため、理想的には損失のない抵抗器と呼ぶことができる。しかし、実際のスイッチはチャネルまたはp-n接合部にわずかな抵抗を持つため、電力は依然として消費される。コンデンサも理想的ではなく、同様に電力を消費する。

電気スイッチ内部の抵抗は、通常の抵抗器を用いた回路の抵抗よりもはるかに小さいため、SC回路はジョンソン・ナイキストノイズを大幅に低減できます。ただし、スイッチング周波数の高調波は高周波ノイズとして現れる可能性があり、ローパスフィルタで減衰させる必要がある場合があります。

SCシミュレーション抵抗器には、スイッチング周波数を変更することで等価抵抗値を調整できる（つまり、プログラマブル抵抗器である）という利点もあります。調整可能な抵抗値は、スイッチング周期の分解能によって制限されます。したがって、スイッチの発振を制御することで（例えば、マイクロコントローラからの設定可能なクロック出力信号を使用するなど）、オンラインまたは実行時に調整を行うことができます。

集積回路において、SCシミュレーション抵抗器は実際の抵抗器の代替として使用される。これは、幅広い値で信頼性の高い製造が容易であり、シリコン面積を大幅に削減できるためである。

_{この回路は、}離散時間システム（ADCなど）においてサンプルホールド回路として使用できます。適切なクロックフェーズでは、コンデンサがスイッチS1を介してアナログ電圧をサンプリングし、第2フェーズでは、この保持されたサンプリング値をスイッチS2を介して電子回路に送り、_処理します。

で表す${\displaystyle T=1/f}$スイッチング周期。コンデンサでは、

$\displaystyle {\text{電荷}}={\text{静電容量}}\times {\text{電圧}}$

そして、S ₁が開いてS ₂が閉じるとき（両方が同時に閉じることは決してない）、次のようになります。

1) なぜなら${\displaystyle C_{s}}$請求されたばかりです:

${\displaystyle Q_{s}(t)=C_{s}\cdot V_{s}(t)\,}$

2) フィードバックキャップのため、${\displaystyle C_{fb}}$は、突然その量の電荷で充電される（オペアンプは入力間に仮想的な短絡回路を求めるため）。

${\displaystyle Q_{fb}(t)=Q_{s}(tT)+Q_{fb}(tT)\,}$

2)を${\displaystyle C_{fb}}$:

${\displaystyle V_{fb}(t)={\frac {Q_{s}(tT)}{C_{fb}}}+V_{fb}(tT)\,}$

そして1を挿入する：

${\displaystyle V_{fb}(t)={\frac {C_{s}}{C_{fb}}}\cdot V_{s}(tT)+V_{fb}(tT)\,}$

この最後の方程式は、${\displaystyle C_{fb}}$- サイクルごとに、排出される電荷​​に応じて電圧が増加（または減少）します。${\displaystyle C_{s}}$（オペアンプによる）

しかし、この事実をより洗練された形で表現する方法があります。${\displaystyle T}$とても短いです。$\displaystyle dt\leftarrow T}$そして${\displaystyle dV_{fb}\leftarrow V_{fb}(t)-V_{fb}(t-dt)}$そして最後の式をdtで割って書き直します。

${\displaystyle {\frac {dV_{fb}(t)}{dt}}=f{\frac {C_{s}}{C_{fb}}}\cdot V_{s}(t)\,}$

したがって、オペアンプの出力電圧は次のようになります。

${\displaystyle V_{\text{out}}(t)=-V_{fb}(t)=-{\frac {1}{{\frac {1}{fC_{s}}}C_{fb}}}\int V_{s}(t)dt\,}$

これは、オペアンプ反転積分器と同じ式で、抵抗が等価抵抗を持つSCシミュレート抵抗に置き換えられています。

${\displaystyle R_{\text{equivalent}}={1 \over {C_{s}f}}.\ }$

このスイッチドキャパシタ回路は、寄生容量によって動作が大きく影響を受けるため、「寄生容量感受性」と呼ばれます。寄生容量を制御できない場合、この影響により誤差が生じます。「寄生容量非感受性」回路は、この問題を克服しようとします。

遅延型寄生不感積分器は、バイカッドフィルタ、アンチエイリアシング構造、デルタシグマデータコンバータなどの離散時間電子回路で広く使用されています。この回路は、次のz領域関数を実装します。

${\displaystyle H(z)={\frac {1}{z-1}}}$