レイズドコサインフィルタ

レイズドコサイン フィルタは、シンボル間干渉(ISI) を最小限に抑えることができるため、デジタル変調のパルス整形によく使用されるフィルタです。このフィルタの名前は、最も単純な形式 ( ) の周波数スペクトルの非ゼロ部分がコサイン関数であり、(水平) 軸より上に「持ち上げられて」いることに由来しています。 ${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle f}$

レイズドコサインフィルタは、ローパスナイキストフィルタの実装であり、残留対称性の特性を持つフィルタです。つまり、そのスペクトルは（通信システムのシンボル周期） について奇対称性を示します。${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$${\displaystyle T}$

その周波数領域記述は区分的に定義された関数であり、次のように表される。

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

またはハベルコサインの観点から見ると：

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\\operatorname {hvc} \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right),&{\frac {1-\beta }{2T}'',|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

のために

${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1}$

ロールオフ係数とシンボルレートの逆数 という 2 つの値によって特徴付けられます。${\displaystyle \beta}$${\displaystyle T}$

このようなフィルタのインパルス応答^[1]は次のように表される。

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\{\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

正規化されたsinc関数に関して。ここでは、これは数学的なsincではなく 「通信sinc」です。${\displaystyle \sin(\pi x)/(\pi x)}$

ロールオフ係数は、フィルタの過剰帯域幅、すなわちナイキスト帯域幅を超えて占有される帯域幅の尺度である。一部の著者は を使用する。^[2]${\displaystyle \beta}$${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$${\displaystyle \alpha =\beta }$

余剰帯域幅を と表すと、次のようになります。 ${\displaystyle \Delta f}$

${\displaystyle \beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\,\Delta f}$

シンボルレートは どこでしょうか。${\displaystyle R_{S}={\frac {1}{T}}}$

グラフは、 が 0 から 1 の間で変化するときの振幅応答と、それに対応するインパルス応答への影響を示しています。 が減少するにつれて、時間領域のリップル レベルが増加することがわかります。 これは、フィルタの余分な帯域幅を削減できることを示していますが、インパルス応答が長くなるという代償を払うことになります。 ${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta}$

が 0 に近づくにつれて、ロールオフゾーンは極めて狭くなります。したがって、 ${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle \lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\operatorname {rect} (fT)}$

ここで は矩形関数なので、インパルス応答は に近づきます。したがって、この場合は 理想的なフィルタまたはブリックウォールフィルタに収束します。${\displaystyle \operatorname {rect} (\cdot )}$${\displaystyle h(t)={\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)}$

のとき、スペクトルの非ゼロ部分は純粋な二乗余弦となり、次のように簡略化されます。 ${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

または

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {hvc} \left(\pi fT\right),&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

レイズド コサイン フィルタの帯域幅は、通常、スペクトルの非ゼロ周波数正部分の幅として定義されます。つまり、

${\displaystyle BW={\frac {R_{S}}{2}}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)}$

スペクトラムアナライザを使用して測定すると、変調信号の無線帯域幅B（Hz）はベースバンド帯域幅BWの2倍になります（[1]で説明）。

${\displaystyle B=2BW=R_{S}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)}$

レイズドコサイン関数の自己相関関数は次のとおりです。

${\displaystyle R\left(\tau \right)=T\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left(\beta {\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}-{\frac {\beta }{4}}\operatorname {sinc} \left(\beta {\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}\right]}$

自己相関の結果は、自己相関を使用して分析する場合、さまざまなサンプリング オフセット結果を分析するために使用できます。

シンボル ストリームをフィルタリングするために使用する場合、ナイキスト フィルタは、 を除いてインパルス応答がゼロ( は整数) になるため、 ISI を除去する特性があります。 ${\displaystyle nT}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=0}$

したがって、送信された波形が受信機で正しくサンプリングされると、元のシンボル値を完全に復元できます。

しかし、多くの実際の通信システムでは、白色雑音の影響のため、受信機では整合フィルタが使用されています。ISI がゼロの場合、送信フィルタと受信フィルタの正味応答は次の式に等しくなければなりません。${\displaystyle H(f)}$

${\displaystyle H_{R}(f)\cdot H_{T}(f)=H(f)}$

したがって：

${\displaystyle |H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}}$

これらのフィルターはルートレイズドコサインフィルターと呼ばれます。

レイズドコサインは、ファイバーブラッググレーティングによく使用されるアポダイゼーションフィルターです。

• Glover, I.; Grant, P. (2004).デジタルコミュニケーション(第2版). Pearson Education Ltd. ISBN  0-13-089399-4 .
• Proakis, J. (1995).デジタルコミュニケーション(第3版). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5 . 
• Tavares, LM; Tavares GN (1998) 「非同期帯域制限 DS/SSMA システムのパフォーマンス」に関するコメント。IEICE Trans. Commun.、Vol. E81-B、No. 9

• 「デジタル パルス整形フィルタの管理と供給」と題された技術記事は、もともとRF Designに掲載されたもので、Ken Gentile によって執筆されました。