漸近線

直線x = aは、関数y = ƒ ( x )のグラフの垂直漸近線である。ただし、以下のいずれかの条件が満たされる場合に限る。

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,}$

どこ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}}$は、 x が左側 (より小さい値から) から値aに近づくときの極限であり、${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}}$これは、 xが右側からaに近づくときの極限です。

例えば、ƒ( x ) = x /( x –1) の場合、 x が1 に近づくにつれて分子は 1 に近づき、分母は 0 に近づきます。

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{+}}{\frac {x}{x-1}}=+\infty }$

$\lim_{x\to 1^{-}}{\frac{x}{x-1}}=-\infty }$

そして、この曲線はx = 1において垂直漸近線を持つ。

関数ƒ ( x ) はaで定義されている場合も定義されていない場合もあり、点x = aにおけるその正確な値は漸近線に影響を与えません。例えば、関数の場合

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\text{if }}x>0,\\5&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}}$

x → 0 ⁺のとき、f ( x )は +∞ の極限を持ち、 f (0) = 5 であるにもかかわらず、垂直漸近線x = 0を持ちます。この関数のグラフは、垂直漸近線と (0, 5) で一度だけ交わります。関数のグラフが垂直漸近線 (または一般的には垂直線) と複数の点で交わることはあり得ません。さらに、関数が定義されているすべての点で連続である場合、そのグラフが垂直漸近線と交わることはあり得ません。  

垂直漸近線の一般的な例としては、分母がゼロで分子がゼロでない点xにおける有理関数の場合が挙げられる。

関数に垂直漸近線がある場合、その関数の導関数に同じ場所に垂直漸近線があるとは限らない。例を挙げると、

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}+\sin({\tfrac {1}{x}})\quad }$で${\displaystyle \quad x=0}$。

この関数は垂直漸近線を持ちます。${\displaystyle x=0,}$なぜなら

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\lim _{x\to 0^{+}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=+\infty ,}$

そして

$\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=-\infty }$。

の導関数${\displaystyle f}$関数は

${\displaystyle f'(x)={\frac {-(\cos({\tfrac {1}{x}})+1)}{x^{2}}}}$。

点のシーケンスについて

${\displaystyle x_{n}={\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)\pi }},\quad }$のために${\displaystyle \quad n=0,1,2,\ldots }$

近づく${\displaystyle x=0}$左からも右からも、値は${\displaystyle f'(x_{n})}$常に${\displaystyle 0}$したがって、​${\displaystyle f'}$で${\displaystyle 0}$どちらでもない${\displaystyle +\infty }$または${\displaystyle -\infty }$したがって${\displaystyle f'(x)}$垂直漸近線はありません${\displaystyle x=0}$。

水平漸近線とは、関数のグラフがx → ± ∞のときに近づく水平線のことです。水平線y  = cは、関数y = ƒ ( x ) の水平漸近線です。   

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=c}$または${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=c}$。

最初のケースでは、x が− ∞に近づくとき、 ƒ ( x ) はy  = cを漸近線とし、2 番目のケースでは、x が+∞に近づくとき、 ƒ ( x ) はy = cを漸近線とします。   

例えば、逆正接関数は以下を満たす。

$\lim_{x\rightarrow -\infty}\arctan(x)=-{\frac{\pi}{2}}}$そして${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }\arctan(x)={\frac {\pi }{2}}.}$

したがって、直線y = – π /2はx が–∞に近づくときの逆正接の水平漸近線であり、y = π /2はx が+∞に近づくときの逆正接の水平漸近線です。

関数は、片側または両側に水平漸近線を持たない場合もあれば、両方向で同じ水平漸近線を1つ持つ場合もあります。たとえば、関数ƒ( x ) = 1/( x ² +1)は、 x が− ∞と+∞の両方に近づくときにy  =  0に水平漸近線を持ちます。これは、それぞれ、

$\lim_{x\to -\infty}{\frac{1}{x^{2}+1}}=\lim_{x\to +\infty}{\frac{1}{x^{2}+1}}=0.$

水平漸近線が 1 つまたは 2 つある一般的な関数には、x ↦ 1/ x (グラフが双曲線になる)、ガウス関数などがあります。${\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}),}$誤差関数、およびロジスティック関数。

線形漸近線がx軸またはy軸に平行でない場合、それは斜め漸近線または傾斜漸近線と呼ばれます。関数ƒ ( x ) は、次の場合に直線y = mx + n ( m  ≠  0)に漸近します。

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0\,{\mbox{ または }}\lim _{x\to -\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0.}$

最初のケースでは、 xが+∞に近づくとき、直線y = mx + nはƒ ( x )の斜め漸近線であり、2番目のケースでは、 xが−∞に近づくとき、直線y = mx + nはƒ ( x )の斜め漸近線である。

例として、ƒ ( x )  = x + 1/ xがあり、これは、極限で示されるように、斜め漸近線y = x (つまりm = 1、n = 0) を持ちます。       

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \infty }\left[\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-x\right]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {1}{x}}=0.}$

関数f ( x ) の斜め漸近線は、方程式y = mx + nで与えられます。m の値は最初に計算され、次のように与えられます。

${\displaystyle m\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}f(x)/x}$

ここでaは${\displaystyle -\infty }$または${\displaystyle +\infty }$検討対象のケースによって異なります。2つのケースを別々に扱うのが良いでしょう。この極限が存在しない場合、その方向には斜め漸近線は存在しません。

mが分かれば、 nの値は次のように計算できます。

${\displaystyle n\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}(f(x)-mx)}$

ここで、a は以前使用した値と同じである必要があります。この極限が存在しない場合、 m を定義する極限が存在する場合でも、その方向には斜め漸近線はありません。そうでない場合、x がaに近づくときのƒ ( x )の斜め漸近線はy = mx + nです。

例えば、関数ƒ ( x ) = (2 x ² + 3 x + 1)/ xは

${\displaystyle m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {2x^{2}+3x+1}{x^{2}}}=2}$その後

${\displaystyle n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left({\frac {2x^{2}+3x+1}{x}}-2x\right)=3}$

つまり、xが+∞に近づくとき、 y = 2x + 3はƒ ( x )の漸近線となる。

関数ƒ ( x ) = ln xは

${\displaystyle m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}$その後

${\displaystyle n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln x}$それは存在しない。

したがって、y = ln x はx が+∞ に近づくとき漸近線を持ちません。

有理関数は、水平漸近線または斜め漸近線を最大で1つ持ち、垂直漸近線は複数持つ可能性がある。

分子の次数と分母の次数によって、水平漸近線または斜め漸近線が存在するかどうかが決まります。以下にその場合を表に示します。ここで、deg num_は分子の次数、deg _denは分母の次数です。

垂直漸近線は、分母がゼロの場合にのみ発生します（分子と分母の両方がゼロの場合は、ゼロの重複度が比較されます）。たとえば、次の関数は、x = 0 とx = 1 に垂直漸近線を持ちますが、x = 2 には持ちません。

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-5x+6}{x^{3}-3x^{2}+2x}}={\frac {(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x-2)}}}$

有理関数の斜め漸近線

有理関数の分子の次数が分母の次数よりちょうど1つ大きい場合、その関数は斜交漸近線を持ちます。漸近線とは、分子と分母を割った後の多項式項のことです。この現象は、分数を割ると線形項と余りが生じるために起こります。例えば、次の関数を考えてみましょう。

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x+1}}=x+{\frac {1}{x+1}}}$

右図に示すように、 xの値が増加するにつれて、fは漸近線y = xに近づきます。これは、もう一方の項である1/( x + 1)が0に近づくためです。

分子の次数が分母の次数より1より大きい場合、かつ分母が分子を割り切らない場合、xが増加するにつれてゼロに近づく非ゼロの剰余が生じますが、商は線形ではなく、関数は斜め漸近線を持ちません。

既知の関数に漸近線がある場合（例えば、f (x) = eˣの場合、 y = 0 ）、その^関数の平行移動にも漸近線が存在します。

• x = a がf ( x )の垂直漸近線である場合、x = a + hはf ( x - h )の垂直漸近線である。
• y = c がf ( x )の水平漸近線であるならば、y = c + kはf ( x ) + kの水平漸近線である。

既知の関数に漸近線が存在する場合、その関数のスケーリングにも漸近線が存在する。

• y = ax + bがf ( x )の漸近線であるならば、y = cax + cbはcf ( x )の漸近線である。

例えば、f ( x )= e ^{x -1} +2 は水平漸近線y =0+2=2 を持ち、垂直漸近線や斜め漸近線はありません。

A  : ( a , b ) → R ^{2 を}座標A ( t )  =  ( x ( t ), y ( t ))で定義されるパラメトリック平面曲線とし、B を別の (非パラメトリック) 曲線とする。これまでと同様に、曲線Aが無限大に近づくと仮定する。曲線Bは、点A ( t ) からB上の点までの最短距離がt → bのときにゼロに近づく場合、 Aの曲線漸近線である。線形漸近線との混同の恐れがない場合、Bは単にAの漸近線と呼ばれることもある。 ^{[ 9 ]}  

例えば、関数

${\displaystyle y={\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{x}}}$

曲線漸近線y = x ² + 2 x + 3を持ち、これは直線ではなく放物線であるため放物線漸近線として知られています。 ^{[ 10 ]}

漸近線は曲線描画の手順で使用されます。漸近線は、曲線が無限大に向かってどのように振る舞うかを示すガイドラインとして機能します。^{[ 11 ]}曲線のより良い近似を得るために、曲線漸近線も使用されています^{[ 12 ]}が、漸近曲線という用語が好まれるようです。^{[ 13 ]}

アフィン平面上の代数曲線の漸近線は、射影された曲線に無限遠点で接する直線である。^{[ 14 ]}例えば、単位双曲線の漸近線はこのようにして特定することができる。漸近線は実曲線のみについて考えられることが多いが、^{[ 15 ]}任意の体上の曲線に対してもこのように定義すれば意味がある。^{[ 16 ]}

ベズーの定理によれば、 n 次平面曲線は漸近線と最大でn − 2 個の他の点で交わります。これは、無限遠点における交点の重複度が少なくとも 2 であるからです。円錐曲線の場合、どの複素数点でも円錐曲線と交わらない直線のペアが存在します。これらが円錐曲線の 2 つの漸近線です。

平面代数曲線は、P ( x , y )  =  0 の形の式で定義される。ここで、Pは次数nの多項式である。

${\displaystyle P(x,y)=P_{n}(x,y)+P_{n-1}(x,y)+\cdots +P_{1}(x,y)+P_{0}}$

ここでP _{k は}次数kの同次関数_である。最高次数項P _nの線形因子がゼロになることで曲線の漸近線が定義される。Q = P _nと設定すると、P n ( x , y ) = ( ax − by ) Q _{n − 1} ( x , y )の場合、直線は

${\displaystyle Q'_{x}(b,a)x+Q'_{y}(b,a)y+P_{n-1}(b,a)=0}$

漸近線である場合${\displaystyle Q'_{x}(b,a)}$そして${\displaystyle Q'_{y}(b,a)}$両方ともゼロではない。${\displaystyle Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=0}$そして${\displaystyle P_{n-1}(b,a)\neq 0}$漸近線はありませんが、曲線には放物線の枝のような枝があります。このような枝は放物線状の枝は、曲線的な漸近線である放物線を持たない場合でも、放物線状の枝です。${\displaystyle Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=P_{n-1}(b,a)=0,}$この曲線は無限遠に特異点を持ち、その点には複数の漸近線または放物線状の枝が存在する可能性がある。

複素数体上では、P _{n は}線形因子に分解され、それぞれの因子が漸近線を定義します（多重因子の場合は複数の漸近線を定義します）。実数体上では、P _{n は}線形因子または二次因子に分解されます。線形因子のみが曲線の無限（実数）枝に対応しますが、線形因子の多重度が 1 より大きい場合、曲線は複数の漸近線または放物線枝を持つ可能性があります。また、このような多重線形因子が 2 つの複素共役枝に対応し、実数曲線の無限枝には対応しない場合もあります。例えば、曲線x ⁴ + y ² - 1 = 0は、正方形の外側に実数点を持ちません。${\displaystyle |x|\leq 1,|y|\leq 1}$しかし、その最高次の項は、重複度4の線形因子xを与え、一意の漸近線x =0につながる。

双曲線​

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

2つの漸近線を持つ

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x.}$

これら2つの直線の和の式は

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$

同様に、双曲面

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$

漸近円錐を持つと言われている^{[ 17 ] [ 18 ]}

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0.}$

原点からの距離が無限大に近づくにつれて、双曲面と円錐の間の距離は0に近づく。

より一般的には、陰関数方程式を持つ曲面を考えてみましょう。 ${\displaystyle P_{d}(x,y,z)+P_{d-2}(x,y,z)+\cdots P_{0}=0,}$ どこで${\displaystyle P_{i}}$次数が の同次多項式である${\displaystyle i}$そして${\displaystyle P_{d-1}=0}$すると方程式は${\displaystyle P_{d}(x,y,z)=0}$原点を中心とする円錐を定義します。これは漸近円錐と呼ばれ、曲面上の点から円錐までの距離は、曲面上の点が無限大に近づくにつれてゼロに近づくためです。