最接近距離

2 つの物体の最接近距離は、それらの物体が外部的に接しているときの中心間の距離です。物体は、幾何学的形状または境界が明確に定義された物理的粒子である場合があります。最接近距離は、接触距離と呼ばれることもあります。

最も単純な物体である球の場合、最接近距離は単純に半径の合計になります。球形以外の物体の場合、最接近距離は物体の向きの関数となり、計算が難しくなることがあります。硬質粒子の最大充填密度は、現在も関心を集めている重要な問題ですが、^[1]最接近距離に依存します。

粒子の相互作用は通常、粒子間の距離に依存し、最も接近する距離は凝縮物質システムの挙動を決定する上で重要な役割を果たします。

粒子の排除体積（ある粒子の存在によって他の粒子の中心から排除される体積）は、このような記述における重要なパラメータである。^{[2] [3]} 排除体積を計算するには、最近接距離が必要である。同一の球の排除体積は、球1個の体積のわずか4倍である。他の異方性物体の場合、排除体積は方向に依存し、その計算は驚くほど難しい場合がある。^[4] 球の次に単純な形状は楕円と楕円体である。これらはかなりの注目を集めているが、^{[5]その排除体積はわかっていない。Vieillard Baronは、2つの楕円の重なり基準を提供することができた。彼の結果は、硬い粒子系のコンピュータシミュレーションや、}モンテカルロシミュレーションを使用したパッキング問題に役立った。

排除体積を解析的に表現できる唯一の異方性形状は球状円筒であり、この問題の解決策はオンサガーによる古典的な研究である。^[6]この問題は、キャップされた円筒の中心線である2つの線分間の距離を考慮することによって取り組まれた。他の形状の結果はすぐには得られない。最接近距離の配向依存性は、驚くべき結果をもたらす。相互作用がエントロピーのみである硬い粒子のシステムでも、秩序化できる。硬い球状円筒は、配向的に秩序化されたネマチック相だけでなく、位置的に秩序化されたスメクチック相も形成する。^{[7]ここで、システムは、他の場所での無秩序性と}エントロピーを 得るために、ある程度の（配向および位置の）無秩序性を放棄する。

ヴィエイヤール・バロンはこの問題を最初に研究し、最接近距離については結果は得られなかったものの、2つの楕円の重なり基準を導き出しました。彼の最終結果は、硬質粒子の相挙動の研究やモンテカルロシミュレーションを用いたパッキング問題に役立ちました。重なり基準は開発されていますが、^{[8] [9]}最接近距離と接触点の位置に関する解析解は最近になってようやく利用可能になりました。^{[10] [11]}計算の詳細は文献に記載されています。^[12] Fortran 90サブルーチンは文献に記載されています。^[13]

手順は次の 3 つのステップで構成されます。

1. 中心がベクトルで結ばれた2 つの接 楕円 と を、中心がベクトル で結ばれた円と楕円に変換します。 変換後も円 と楕円は接したままです。${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C_{1}'}$${\displaystyle E_{2}'}$${\displaystyle d'}$${\displaystyle C_{1}'}$${\displaystyle E_{2}'}$
2. との最接近距離を解析的に決定します。これには、 4次方程式の適切な解が必要です。法線が計算されます。${\displaystyle d'}$${\displaystyle C_{1}'}$${\displaystyle E_{2}'}$${\displaystyle n'}$
3. ベクトルとを逆変換することにより、最接近距離と、 およびの接点の位置を決定します。${\displaystyle d}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle d'}$${\displaystyle n'}$

入力：

• 半軸の長さ、${\displaystyle a_{1},b_{1},a_{2},b_{2}}$
• 両方の楕円の長軸に沿った単位ベクトル、および${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$
• 2 つの楕円の中心を結ぶ単位ベクトル。${\displaystyle d}$

出力：

• 楕円とが外接している場合の中心間の距離、および${\displaystyle d}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$
• 、に関する連絡先の場所。${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$

与えられた形状と向きを持ち、中心が与えられた方向の直線上にある2 つの楕円体について考えます。楕円体が外部的に点接触している場合の中心間の距離を決定します。この最接近距離は、楕円体の形状と向きの関数です。この問題には解析的な解はありません。距離を解くには 6 次多項式方程式を解く必要があるためです。ここでは、2D における楕円の最接近距離の解析結果に基づいて、この距離を決定するアルゴリズムを開発しました。このアルゴリズムは数値的に実装できます。詳細は出版物に記載されています。^{[14] [15]サブルーチンは、Fortran90 [16]}と C の2 つの形式で提供されています。 ^[17]

アルゴリズムは 3 つのステップで構成されます。

1. 2つの楕円体の中心を結ぶ線を含む平面を作成し、この平面と楕円体の交点によって形成される楕円の方程式を求めます。
2. 楕円の最接近距離を決定します。これは、楕円が外部的に点接触しているときの中心間の距離です。
3. 楕円の最接近距離が最大になるまで平面を回転させます。楕円体の最接近距離はこの最大距離です。

• アプシス
• 影響パラメータ