シューアの補題

数学において、シューアの補題^{[1] は、}群と代数の表現論における初歩的だが非常に有用な命題である。群の場合、MとN が 群Gの2つの有限次元既約表現であり、φ が群の作用と可換なMからNへの線型写像であれば、 φ は可逆であるか、φ = 0 であるかのいずれかである。重要な特殊なケースは、 M  =  N、すなわちφ が自己写像である場合に発生する。特に、群の中心の任意の要素は、 Mに対してスカラー作用素（恒等式のスカラー倍）として動作する必要がある。この補題は、シューアの直交関係を証明し、有限群の表現論の基礎を展開するためにこの補題を使用したイサイ・シューアにちなんで名付けられている。シューアの補題はリー群とリー代数への一般化が認められ、最も一般的なものはジャック・ディクスミアとダニエル・キレンによるものである。

表現論は、群Gからベクトル空間Vの一般線型群GL ( V )への準同型、すなわち、Vの自己同型群への準同型を研究するものです。(ここでは、 Vの基礎体である複素数体 の場合に限定します。) このような準同型は、 V上のGの表現と呼ばれます。 V上の表現は、 V上の群作用の特殊なケースですが、 Vの基礎集合の任意の全単射(順列)を許容するのではなく、可逆な線型変換に限定します。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

ρ をGのV上の表現とします。V が部分空間W を持ち、Gの任意の元gに対して可逆線型写像ρ ( g ) がW を保存または固定し、W内の任意のwに対して ( ρ ( g ))( w ) がWに含まれ、Wに含まれない任意の v に対して( ρ ( g ))( v ) がWに含まれない場合があります。言い換えると、任意の線型写像ρ ( g ): V → Vは、その定義域がWに制限されているとき、Wの自己同型ρ ( g ): W → Wでもあります。W はG の下で安定である、またはGの作用の下で安定であるといいます。 W をそれ自体のベクトル空間と見なすと、 Gの W上の明らかな表現、つまり各写像ρ ( g ) をWに制限することによって得られる表現が存在することは明らかです。 W がこの特性を持つとき、与えられた表現を持つW をVの部分表現と呼びます。Gのすべての表現には、それ自身と零ベクトル空間が自明な部分表現として存在します。非自明な部分表現を持たないGの表現は、既約表現と呼ばれます。素数や群論における単純群のような既約表現は、表現論の構成要素です。表現論の初期の疑問や定理の多くは、既約表現の特性を扱っています。

群間の準同型や位相空間間の連続写像に興味があるのと同じように、 Gの表現間の特定の関数にも興味があります。VとW をベクトル空間とし、 と をそれぞれVとW上のGの表現とします。次に、VからWへのG線型写像f を、 Gの作用に関して同変であるVからWへの線型写像として定義します。つまり、 G内のすべてのgに対して、 です。言い換えると、f がGの作用と可換であることが要求されます。G線型写像は、Gの表現のカテゴリ内の射です。 ${\displaystyle \rho_{V}}$${\displaystyle \rho_{W}}$${\displaystyle \rho _{W}(g)\circ f=f\circ \rho _{V}(g)}$

シューアの補題は、 Gの 2 つの既約表現間にどのようなG線型写像が存在できるかを記述する定理です。

定理 （シューアの補題）：VとWをベクトル空間とし、それぞれVとW上のGの既約表現をとします。^[2]${\displaystyle \rho _{V}}$${\displaystyle \rho _{W}}$

1. と が同型でない場合、それらの間には非自明なG線型写像は存在しません。${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$
2. が代数的に閉じた体（例）上の有限次元である場合、かつ である場合、唯一の非自明なG線型写像は恒等写像と恒等写像のスカラー倍です。（恒等写像のスカラー倍は相似写像と呼ばれることもあります。）${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \rho _{V}=\rho _{W}}$

証明:が からへの非ゼロのG線型写像であるとします。と が同型であることを証明します。 を における の核、またはヌル空間、つまり におけるすべての の部分空間 ( に対して ) とします。(これが部分空間であることは簡単に確認できます。) 仮定により、 の任意のおよびにおけるの選択に対して、 はG線型です。しかし、 と言うことはが のヌル空間にあると言うことと同じです。したがって、はGの作用の下で安定であり、部分表現です。仮定により は既約であるため、 はゼロでなければなりません。したがっては単射です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))=(\rho _{W}(g))(0)=0}$${\displaystyle f(\rho _{V}(g)(x))=0}$${\displaystyle \rho _{V}(g)(x)}$${\displaystyle f:V\rightarrow W}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle f}$

同様の議論により、も全射であることを示します。 であるため、の像におけるの任意の選択に対して、は の像のどこか別の場所に送ると結論付けることができます。特に、 はそれを の像に送ります。 したがって、 の像は の作用の下で安定な の部分空間であるため、部分表現であり、ゼロまたは全射でなければなりません。 仮定により、 はゼロではないため、全射であり、その場合は同型です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \rho _{W}(g)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \rho _{V}(g)x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle W}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f}$

が代数的に閉体上の有限次元であり、 が同じ表現を持つ場合、を の固有値とします。(固有値は、代数的に閉体上の有限次元ベクトル空間上のすべての線型変換に対して存在します。) とします。このとき、が に対応するの固有ベクトルである場合。 がG線型写像であることは明らかです。なぜなら、 G線型写像の和または差もG線型だからです。次に、上記の議論に戻り、写像がG線型であるという事実を使用して、カーネルが部分表現であり、したがって がゼロであるか のすべての に等しいと結論付けました。カーネルはゼロではない ( を含む) ため、Vのすべての であるはずであり、したがっては自明であるため です。 ${\displaystyle V=W}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'=f-\lambda I}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda ,f'(x)=0}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f=\lambda I}$

シューアの補題の重要な帰結は、ある固定された線形演算子に対する個々のグループ要素の作用を「平均化」することによって、表現間の明示的に -線形写像を構築できることが多いという観察から導かれます。特に、任意の既約表現が与えられた場合、そのようなオブジェクトはシューアの補題の仮定を満たすため、恒等式のスカラー倍になります。より正確には、 ${\displaystyle G}$

系: 前の定理と同じ表記法を用いて、を VからWへの線型写像とし、次のように設定する。 ${\displaystyle h}$$${\displaystyle h_{0}={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g))^{-1}h\rho _{V}(g).}$$

1. と が同型でない場合は、 となります。${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle h_{0}=0}$
2. が代数的に閉じた体（例えば）上の有限次元である場合、 であれば となります。ここでn はVの次元です。つまり、は比 の相似性です。${\displaystyle V=W}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \rho _{V}=\rho _{W}}$${\displaystyle h_{0}=I\,\mathrm {Tr} [h]/n}$${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle \mathrm {Tr} [h]/n}$

証明:まず、がG線型写像であること、すなわち、 がすべての に対してである ことを示します。実際、 ${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle \rho _{W}(g)\circ h_{0}=h_{0}\circ \rho _{V}(g)}$${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\rho _{W}(g'))^{-1}h_{0}\rho _{V}(g')&={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g'))^{-1}(\rho _{W}(g))^{-1}h\rho _{V}(g)\rho _{V}(g')\\&={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g\circ g'))^{-1}h\rho _{V}(g\circ g')\\&=h_{0}\end{aligned}}}$

ここで、前の定理を適用すると、ケース1では となり、ケース2では が単位行列のスカラー倍数（つまり）となる。スカラー倍数 を決定するには、次の点を考慮する。 ${\displaystyle h_{0}=0}$${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle h_{0}=\mu I}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mathrm {Tr} [h_{0}]={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\mathrm {Tr} [(\rho _{V}(g))^{-1}h\rho _{V}(g)]=\mathrm {Tr} [h]}$

すると次のようになります。 ${\displaystyle \mu =\mathrm {Tr} [h]/n}$

この結果には多くの応用があります。例えば、量子情報科学の文脈では、複素射影tデザインに関する結果を導き出すために使用されます。^[3]分子軌道理論の文脈では、分子の対称性に基づいて原子軌道相互作用を制限するために使用されます。^[4]

定理: MとN が環R上の2 つの単純加群である場合、R加群の任意の準同型f : M → Nは可逆かゼロのいずれかです。^[5] 特に、単純加群の自己準同型環は除算環です。^[6]

fが加群準同型であるという 条件は、

${\displaystyle f(rm)=rf(m){\text{ for all }}m\in M{\text{ and }}r\in R.}$

証明:がゼロであるか、または射影かつ単射であるかを示せば十分です。まず、とが両方とも- 加群であることを示します。である場合、したがって です。同様に、 である場合、すべての に対してです。さて、と は単純加群のサブ加群であるため、それぞれ 自明または に等しいです。 である場合、その核は に等しくならず、したがって でなければなりません (したがって は単射です)。また、その像は 自明ではあり得ず、したがって に等しい必要があります(したがって は射影です)。 は全単射であるため、同型です。したがって、すべての準同型は0 であるか可逆であり、 は除算環になります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \ker(f)}$${\displaystyle \operatorname {im} (f)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle m\in \ker(f),r\in R}$${\displaystyle f(rm)=rf(m)=0}$${\displaystyle rm\in \ker(f)}$${\displaystyle n=f(m)\in \operatorname {im} (f)}$${\displaystyle rn=rf(m)=f(rm)\in \operatorname {im} (f)}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle \ker(f)\subseteq M}$${\displaystyle \operatorname {im} (f)\subseteq N}$${\displaystyle M,N}$${\displaystyle f\neq 0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M\to N}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

グループバージョンはモジュールバージョンの特殊なケースです。グループGの任意の表現は、 Gのグループリング上のモジュールとして同等に見ることができるためです。

シューアの補題は、次のような特別な場合によく適用されます。R が体k上の代数であり、ベクトル空間M = NがRの単純モジュールであるとします。シューアの補題によれば、モジュールMの自己準同型環はk上の除算代数です。Mが有限次元の場合、この除算代数は有限次元です。kが複素数体の場合、唯一の選択肢は、この除算代数が複素数であることです。したがって、モジュールMの自己準同型環は「可能な限り小さい」です。言い換えると、Rからのすべての変換と交換可能なMの唯一の線形変換は、恒等変換のスカラー倍です。

より一般的には、 が代数的に閉体上の代数であり、 が( の濃度)を満たす単純- 加群である場合、 となります。^[7]したがって特に、 が非可算な代数的に閉体上の代数であり、が最大で可算次元の単純加群である場合、からのすべての変換と可換なの唯一の線型変換は、単位元のスカラー倍です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \dim _{k}(M)<\#k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=k}$${\displaystyle R}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$

体が代数的に閉じていない場合でも、自己準同型環が可能な限り小さいケースは特に興味深い。 -代数上の単純加群は、その自己準同型環がに同型である場合に絶対単純であると言われる。これは一般に体 上で既約であることよりも強く、加群が の代数閉包上でも既約であることを意味する。^{[引用が必要]}${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

定義:を -代数とします。-加群が中心特性(ここで、はの中心)を持つとは、任意の に対してとなるようなが存在する場合、つまり任意の が固有値 を持つの一般化固有ベクトルである場合を指します。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle k}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \chi :Z(R)\to k}$${\displaystyle Z(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle m\in M,z\in Z(R)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (z-\chi (z))^{n}m=0}$${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \chi (z)}$

たとえば、上で概説したケースのように の場合、 のすべての要素はに対して -準同型として作用し、したがってスカラーとして作用します。したがって、すべての に対してとなる環準同型が存在します。特に、は中心特性 を持ちます。 ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=k}$${\displaystyle Z(R)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \chi :Z(R)\to k}$${\displaystyle (z-\chi (z))m=0}$${\displaystyle z\in Z(R),m\in M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \chi }$

がリー代数の普遍包絡代数である場合、中心特性は無限小特性とも呼ばれ、これまでの考察から、が有限次元（つまり可算次元）である場合、すべての単純- 加群は無限小特性を持つことがわかります。 ${\displaystyle R=U({\mathfrak {g}}),k=\mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle R=U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

が有限群 の群代数である場合も、同じ結論が導かれます。ここで、 の中心は の形状の要素で構成され、 はクラス関数、つまり共役に対して不変です。クラス関数の集合は既約表現 の指標によって張られるため、中心の指標はそれが何にマッピングされるかによって決まります (すべての について)。すべてはべき等であるため、それぞれ 0 または 1 にマッピングされ、2 つの異なる既約表現については、モジュール に対応するもののみを 1 にマッピングできるためです。 ${\displaystyle k=\mathbb {C} ,R=\mathbb {C} [G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \sum _{g\in G}a(g)g}$${\displaystyle a:G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \chi _{\pi }}$${\displaystyle \pi \in {\hat {G}}}$${\displaystyle u_{\pi }:={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}\chi _{\pi }(g)g}$${\displaystyle \pi \in {\hat {G}}}$${\displaystyle u_{\pi }}$${\displaystyle u_{\pi }u_{\pi '}=0}$${\displaystyle u_{\pi }}$${\displaystyle M}$

ここでは、リー群とリー代数の表現の文脈で通常述べられるシューアの補題について説明する。結果は3つの部分から構成される。^[8]

まず、および が任意の体上のリー群またはリー代数の既約表現であり、 が絡み合う写像であると仮定します。この場合、はゼロまたは同型のいずれかになります。 ${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle \phi :V_{1}\rightarrow V_{2}}$${\displaystyle \phi }$

第二に、 が代数的に閉じた体上のリー群またはリー代数の既約表現であり、 が絡み合い写像である場合、 は恒等写像のスカラー倍です。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi :V\rightarrow V}$${\displaystyle \phi }$

3 番目に、 および が代数的に閉じた体上のリー群またはリー代数の既約表現であり、 が非ゼロの絡み合う写像であるとします。このとき、何らかのスカラーに対してとなります。 ${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}:V_{1}\rightarrow V_{2}}$${\displaystyle \phi _{1}=\lambda \phi _{2}}$${\displaystyle \lambda }$

2 番目のステートメントの単純な帰結は、アーベル群のすべての複素既約表現が 1 次元であるということです。

がリー代数で、が の普遍包絡代数であるとする。が代数的に閉体上のの既約表現であるとする。普遍包絡代数の普遍的性質により、 が同じベクトル空間に作用するの表現に拡張されることが保証される。 シューアの補題の第 2 部から、 がの中心に属する場合、 は恒等演算子の倍数でなければならないことがわかる。が複素半単純リー代数である場合、前述の構成の重要な例は、が (二次)カシミール元である例である。 この場合、 であり、 はの最高重みによって明示的に計算できる定数である。^[9]カシミール元の作用は、半単純リー代数の有限次元表現の完全還元性の証明において重要な役割を果たす。^[10]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {End} (V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle \pi (C)=\lambda _{\pi }I}$${\displaystyle \lambda _{\pi }}$${\displaystyle \pi }$

シュアーの補題の 1 モジュール バージョンは、必ずしも単純ではないモジュールM を含む一般化を許容します。これらは、 Mのモジュール理論的特性とMの自己準同型環の特性との関係を表現します。

モジュールの自己準同型環が局所環である場合、そのモジュールは強分解不可能であると言われる。有限長の重要なモジュールクラスでは、次の特性は同値である (Lam 2001、§19)。

• モジュールM は分解不可能です。
• Mは強く分解不可能である。
• Mのすべての自己準同型は冪零か可逆のいずれかです。

一般に、シューアの補題は逆転できない。単純ではない加群が存在するが、その自己準同型代数は分割環である。このような加群は必然的に分解不可能であり、したがって有限群の複素群環などの半単純環上には存在できない。しかし、整数の環上であっても、有理数の加群は分割環、具体的には有理数の体である自己準同型環を持つ。群環であっても、体の標数が群の位数を分割する例がある。例えば、 3つの元を持つ有限体F ₃上の交代群A ₅の1次元表現の射影被覆のヤコブソン根基は、自己準同型環として F _{3 を持つ。}

• シュア補数
• キレンの補題

• ダミット、デイビッド・S.; フット、リチャード・M. (1999)。抽象代数（第2版）。ニューヨーク：ワイリー。p. 337。ISBN 0-471-36857-1。
• ホール、ブライアン C. (2015)、リー群、リー代数、および表現: 初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer、ISBN 978-3319134666
• ラム、ツィットユエン（2001）。『非可換環入門』ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 978-0-387-95325-0。
• Sengupta, Ambar (2012)。「誘導表現」。有限群の表現。ニューヨーク。pp. 235–248。doi : 10.1007 /978-1-4614-1231-1_8。ISBN 9781461412311. OCLC  769756134.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• AI、シュターン。 Lomonosov, VI (2001) [1994]、「Schur lemma」、Encyclopedia of Mathematics、EMS Press