正対角線四角形

ユークリッド幾何学において、直交対角四角形とは、対角線が直角に交わる四角形のことである。言い換えれば、隣接しない頂点間の線分が互いに直交（垂直）する四角形のことである。

凧形は、1つの対角線が対称軸である正対角四角形です。凧形は、 4辺すべてに接する円を 含む正対角四角形です。つまり、凧形は接線正対角四角形です。^{[ 1 ]}

ひし形とは、2組の平行な辺を持つ正対角線四角形（つまり、正対角線四角形であり、かつ平行四辺形でもある）のことです。

正方形は、凧形とひし形の両方の極限的な場合である。

直交対角線を持つ四角形であり、かつ等対角線を持つ四角形は、中点正方形四角形と呼ばれる。^{[ 2 ]}

任意の直交対角四角形の場合、2 つの向かい合う辺の二乗の和は、他の 2 つの向かい合う辺の二乗の和に等しくなります。連続する辺a、b、c、dについては、 ^{[ 3 ] [ 4 ]}となります。

${\displaystyle \displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.}$

これはピタゴラスの定理から導かれる。この定理によれば、2 乗の和のいずれかを、四角形の頂点から対角線が交わる点までの 4 つの距離の 2 乗の和に等しく展開することができる。逆に、 a ² + c ² = b ² + d ²となる四角形は必ず直交対角線を持つ。^{[ 5 ]}これは、余弦定理、ベクトル、間接証明、複素数など、さまざまな方法で証明 できる。^{[ 6 ]}

凸四角形の対角線が垂直になるのは、 2つの二中線の長さが等しい場合のみである。 ^{[ 6 ]}

別の特徴付けによれば、凸四角形ABCDの対角線が垂直であるのは、

${\displaystyle \angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi }$

ここで、Pは対角線の交点である。この式から、凸四角形の対角線が垂直になるのは、対角線の交点を四角形の辺に投影したものが円に内接する四角形の頂点である場合のみであることがほぼ直ちにわかる。^{[ 6 ]}

凸四角形が直交対角であるのは、そのバリニョン平行四辺形（頂点が辺の中点である）が長方形である場合に限る。^{[ 6 ]}関連する特徴付けとして、凸四角形が直交対角であるのは、辺の中点と4つの垂線の足が8つの同心円上の点、すなわち8点円である場合に限る、と述べている。この円の中心は四角形の重心である。垂線の足によって形成される四角形は、主直交四角形と呼ばれる。^{[ 7 ]}

凸四角形ABCDの対角線交点を通る辺への法線が、反対側の辺とR、S、T、Uで交わり、 K、L、M、Nがこれらの法線の足である場合、 ABCDは、8 つの点K、L、M、N、R、S、T、Uが同一円周上にある場合に限り、直交対角線である。2番目の 8 点円。関連する特徴付けでは、凸四角形が直交対角線であるのは、RSTUの辺がABCDの対角線に平行な長方形である場合に限ります。^{[ 6 ]}

凸四角形ABCDの対角線交点Pと頂点によって形成される4 つの三角形に関して、いくつかの計量的な特徴付けがあります。三角形ABP、BCP、CDP、DAPにおいて、Pから辺AB、BC、CD、DAへの中線をそれぞれm ₁、m ₂、m ₃、m ₄とします。R 1、R 2、R 3、R 4 および h 1、h 2、h 3、h 4 がこれらの三角形_の外接円_の半径および_高さを_表す場合、_四角形ABCDが_直交対角線で_あるのは、次の等式のいずれかが成り立つ場合のみです。^{[ 6 ]}

• ${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2}}$
• ${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}}$

さらに、対角線の 交点がPである四角形ABCDは、三角形ABP、BCP、CDP、DAPの外心が四角形の辺の中点である場合に限り、直交対角線である。^{[ 6 ]}

直交対角四角形の面積Kは、対角線pとqの長さの積の 1/2 に等しい。^{[ 8 ]}

${\displaystyle K={\frac {pq}{2}}.}$

逆に、この公式で面積を計算できる凸四角形はすべて直交対角線を持つ必要がある。^{[ 6 ]}直交対角線を持つ四角形は、与えられた対角線を持つすべての凸四角形の中で最大の面積を持つ。

• 直交対角線を持つ四角形は、辺と対角線によって形成される角度が面積を一意に決定しない唯一の四角形です。^{[ 4 ]} 例えば、共通の辺aを持つ(そして、すべてのひし形と同様に、対角線の間に直角を持つ) 2 つのひし形がありますが、一方の鋭角が他方よりも小さい場合、面積が異なります (鋭角がゼロに近づくにつれて、前者の面積はゼロに近づきます)。
• 任意の四角形（凸型、凹型、交差型を問わず）の辺上に正方形を外側に立てると、それらの中心（重心）は、正対角線を持つ四角形の頂点となり、かつ対角線の長さが等しい（つまり、対角線の長さが等しい）四角形となる。これはヴァン・オーベルの定理と呼ばれる。
• 直交対角線を持つ四角形の各辺は、パスカル点円と少なくとも１つの共通点を持つ。^{[ 9 ]}

直交対角線を持つ四角形には、2つの無限個の長方形の集合を内接させることができます。

（i）四角形の対角線に平行な辺を持つ長方形の集合

（ii）パスカル点円によって定義される長方形の集合。^{[ 12 ]}

• Dynamic Geometry Sketchesのインタラクティブな幾何学スケッチにある、直交対角四角形の面積、ピタゴラスと直交対角四角形、および直交対角四角形のヴァン・オーベルのような性質。