黄金菱形

幾何学において、黄金比は対角線が黄金比になっている菱形である。^[1]

${\displaystyle {D \over d}=\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\approx 1.618~034}$

同様に、黄金比は、黄金長方形の辺の中点から形成されるヴァリニョン平行四辺形である。^{[1]この形状の菱形は、いくつかの有名な多面体の面を形成している。黄金比の菱形は、}ペンローズ・タイリング の2つの菱形とは区別する必要がある。ペンローズ・タイリングは、どちらも黄金比とは別の点で関連しているが、黄金比の菱形とは異なる形状をしている。^[2]

(角度の特性については、一般的な菱形の特徴と基本的性質を参照してください。)

黄金菱形の内角は次の通りである: ^[3]

• 鋭角:  ;${\displaystyle \alpha =2\arctan {1 \over \varphi }}$

逆正接の加算公式を使う（逆三角関数を参照）：

${\displaystyle \alpha =\arctan {{2 \over \varphi } \over {1-({1 \over \varphi })^{2}}}=\arctan {{2 \over \varphi } \over {1 \over \varphi }}=\arctan 2\approx 63.43495^{\circ }.}$

• 鈍角：${\displaystyle \beta =2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2\approx 116.56505^{\circ },}$

これは十二面体の二面角でもある。^[4]

注: 「逸話的な」等式:${\displaystyle \pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3~.}$

平行四辺形の法則（一般的な菱形の基本的な性質を参照）を用いると：^[5]

黄金菱形の辺の長さは、対角線の長さに応じて次のようになります。 ${\displaystyle d}$

• ${\displaystyle a={1 \over 2}{\sqrt {d^{2}+(\varphi d)^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}~d={{\sqrt {2+\varphi }} \over 2}~d={1 \over 4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}~d\approx 0.95106~d~.~}$したがって:

黄金菱形の対角線の長さは辺の長さで表すと次のようになる。^[3]${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle d={2a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{3-\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2-{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.05146~a~.}$

• ${\displaystyle D={2\varphi a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{2+\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2+{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.70130~a~.}$

• 一般的な菱形の面積公式を対角線の長さとに関して使用すると、次のようになり ます。${\displaystyle D}$${\displaystyle d}$

黄金菱形の面積は対角線の長さで表すと次のようになる: ^[6]${\displaystyle d}$

${\displaystyle A={{(\varphi d)\cdot d} \over 2}={{\varphi } \over 2}~d^{2}={{1+{\sqrt {5}}} \over 4}~d^{2}\approx 0.80902~d^{2}~.}$

• 一般的な菱形の面積公式を辺の長さに基づいて用いると、次のようになります 。${\displaystyle a}$

黄金菱形の面積は辺の長さで表すと次のようになる: ^{[3] [6]}${\displaystyle a}$

${\displaystyle A=(\sin(\arctan 2))~a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443~a^{2}~.}$

注: 、したがって:${\displaystyle \alpha +\beta =\pi }$${\displaystyle \sin \alpha =\sin \beta ~.}$

黄金菱形を面とする多面体には、2つの黄金菱形（それぞれ6面）、ビリンスキー十二面体（12面）、菱形二十面体（20面）、 菱形三十面体（30面）、非凸菱形六十面体（60面）などがある。これらのうち最初の5つは黄金菱形の面を持つ唯一の凸多面体だが、すべての面がこの形状である非凸多面体は無数に存在する。^[7]

• 
  鋭角黄金菱面体
• 
  鈍角の黄金菱形
• 
  ビリンスキー十二面体
• 
  菱形二十面体
• 
  菱形三十面体
• 
  菱形六十面体

• 黄金の三角形