作用（物理学）

地球上の空中を移動するボールの軌跡の場合、作用は、2 つの時点t ₁とt ₂の間で、運動エネルギー ( KE ) から位置エネルギー ( PE ) を引いたものを時間積分したものとして定義されます。^{[ 4 ]}$${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigl (}\mathrm {KE} (t)-\mathrm {PE} (t){\bigr )}dt}$$ この動作は運動エネルギーと位置エネルギーのバランスをとる。^{[ 4 ]}

質量mのボールの運動エネルギーは⁠ 1 / 2 ⁠ mv ²で、vはボールの速度です。位置エネルギーはmgxで、 gは重力加速度、x はその高さです。すると、 t ₁とt ₂の間の作用は次のようになります。 $${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)-mgx(t)\right)dt}$$ 作用値は、x ( t )とv ( t )を通るボールの軌跡に依存します。これにより、作用は古典力学と量子力学の両方で強力な定常作用原理の入力となります。定常作用原理を使用して作用からボールのニュートンの運動方程式を導出できますが、作用に基づく力学の利点は、ニュートンの法則を適用するのが難しい場合にのみ現れ始めます。ボールを電子に置き換えます。古典力学は失敗しますが、定常作用は引き続き機能します。^{[ 4 ]}単純な作用の定義におけるエネルギー差、運動エネルギーマイナス位置エネルギーは、より複雑なケースでは一般化され、ラグランジアンと呼ばれます。

プランク定数はhと表記され、作用の量子（最小量）です。 ^{[ 8 ]}これは角運動量ħとħ = h / 2πの関係で結び付けられています。これらの定数はエネルギーと時間の積の単位を持ちます。これらは不確定性原理やド・ブロイ波長など、すべての重要な量子方程式に現れます。作用の値がプランク定数に近づくと、量子効果が顕著になります。^{[ 4 ]}

最も一般的には、この用語は、時間と（場の場合）空間の関数を入力として受け取り、スカラーを返す関数𝒮に使用されます。^{[ 13 ] [ 14 ]}古典力学では、入力関数は、時間t ₁とt ₂の間のシステムの進化q ( t )であり、qは一般化座標を表します。アクション𝒮[ q ( t )]は、2 つの時間間の入力進化に対するラグランジアンLの積分として定義されます。 $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L{\bigl (}\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t{\bigr )}\,dt,}$$ ここで、進化の終点は固定されており、q ₁ = q ( t ₁ )およびq ₂ = q ( t ₂ )と定義されます。ハミルトンの原理によれば、真の進化q _true ( t )は、作用𝒮[ q ( t )]が定常状態(最小値、最大値、または鞍点) となる進化です。この原理は、ラグランジュ力学における運動方程式につながります。

アクション関数に加えて、簡略アクションと呼ばれる別の関数があります。簡略アクションでは、入力関数は、時間によるパラメータ化に関係なく、物理システムがたどる経路です。例えば、惑星の軌道は楕円であり、一様な重力場における粒子の軌道は放物線です。どちらの場合も、経路は粒子が経路を移動する速度に依存しません。

簡略化された作用𝒮 ₀ ( Wと表記されることもある) は、一般化された運動量の積分として定義される。 $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L(q,t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}},}$$一般化座標q _iにおける経路に沿った システムラグランジアンLについて： $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int _{q_{1}}^{q_{2}}\sum _{i}p_{i}\,dq_{i}.}$$ ここで、q ₁とq ₂は開始座標と終了座標です。モーペルテュイの原理によれば、システムの真の経路は、簡略化された作用が静止する経路です。

全エネルギーEが保存される場合、ハミルトン・ヤコビ方程式は加法変数分離法で解くことができる。^{[ 11 ]： 225}$${\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{N},t)=W(q_{1},\dots ,q_{N})-E\cdot t,}$$ ここで、時間に依存しない関数W ( q ₁ , q ₂ ,…, q _N )はハミルトンの特性関数と呼ばれます。この関数の物理的な意味は、その全時間微分をとることによって理解されます。

$${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}=p_{i}{\dot {q}}_{i}.}$$

これは統合して

$${\displaystyle W(q_{1},\dots ,q_{N})=\int p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int p_{i}\,dq_{i},}$$

これは単に簡略化された動作である。^{[ 15 ]： 434}

作用角座標における変数J _{k は}、一般化座標q _kの「作用」と呼ばれ、回転運動または振動運動に対応する位相空間内の閉じた経路に沿って単一の一般化運動量を積分することによって定義されます。 ^{[ 15 ] : 454}

$${\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\,dq_{k}}$$

J _kに対応する共役正準変数は、その「角度」w _kです。その理由は、作用角座標の項でより詳しく説明されています。積分は単一の変数q _kについてのみ行われるため、上記の簡略化された作用積分における積分された内積とは異なります。変数J _kは、閉じた経路に沿ってq _kを変化させたときのS _k ( q _k )の変化に等しくなります。いくつかの興味深い物理系では、J _{k は}定数であるか、非常にゆっくりと変化します。そのため、変数J _kは摂動計算や断熱不変量の決定によく使用されます。たとえば、惑星や衛星の軌道の計算に使用されます。^{[ 15 ] : 477}

相対論的効果が顕著な場合、固有時間τでパラメータ化された世界線Cを移動する質量mの点粒子の作用は次のようになる。 $${\displaystyle S=-mc^{2}\int _{C}\,d\tau .}$$

代わりに、粒子が粒子の座標時間tによってパラメータ化され、座標時間がt ₁からt _{2 の}範囲である場合、アクションは次のようになります。 $${\displaystyle S=\int _{t1}^{t2}L\,dt,}$$ where the Lagrangian is^[16]$${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {-c^{-2}g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}}}\approx -mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$

where g_μν is the metric tensor≈ (−c²,1,1,1).

In classical mechanics, Maupertuis's principle (named after Pierre Louis Maupertuis) states that the path followed by a physical system is the one of least length (with a suitable interpretation of path and length). Maupertuis's principle uses the abbreviated action between two generalized points on a path.

Hamilton's principle states that the differential equations of motion for any physical system can be re-formulated as an equivalent integral equation. Thus, there are two distinct approaches for formulating dynamical models.

ハミルトンの原理は、単一粒子の古典力学だけでなく、電磁場や重力場などの古典場にも適用されます。ハミルトンの原理は量子力学や量子場理論にも拡張されており、特に量子力学の経路積分定式化ではこの概念が利用されています。そこでは、物理システムがすべての可能な経路を探索し、各経路の確率振幅の位相は経路に対する作用によって決定されます。最終的な確率振幅は、すべての経路をその複素振幅と位相を使用して加算します。^{[ 17 ]}

ハミルトンの主関数S = S ( q , t ; q ₀ , t ₀ )は、作用汎関数𝒮から、初期時刻t ₀と初期終点q ₀を固定し、上限時刻tと第二終点qを変化させることによって得られます。ハミルトンの主関数は、古典力学の定式化であるハミルトン・ヤコビ方程式を満たします。シュレーディンガー方程式との類似性から、ハミルトン・ヤコビ方程式は、おそらく量子力学との最も直接的なつながりを提供します。

ラグランジュ力学では、作用積分が小さな摂動の下で定常であるという要件は、変分法を用いて得られる一連の微分方程式（オイラー・ラグランジュ方程式と呼ばれる）と同等である。

作用原理を拡張することで、電磁場や重力場などの場の運動方程式を導出することができる。 定常作用の条件として、マクスウェル方程式を導出することができる。

アインシュタイン方程式は、変分原理によって制約されたアインシュタイン・ヒルベルト作用を利用します。重力場における物体の軌跡（時空内の経路）は、作用原理を用いて求めることができます。自由落下する物体の場合、この軌跡は測地線となります。

物理的状況における対称性の意味は、作用原理と、作用原理から導出されるオイラー・ラグランジュ方程式によって見出すことができる。例として、物理的状況におけるすべての連続対称性には保存則が対応し（そしてその逆も成り立つ）、というノーターの定理がある。この深い関係性を理解するには、作用原理を仮定する必要がある。^{[ 17 ]}

量子力学では、系は作用が定常的な単一の経路をたどるのではなく、系の挙動は許容されるすべての経路とその作用の値に依存します。様々な経路に対応する作用を用いて経路積分を計算し、それによって様々な結果の確率振幅が得られます。

作用原理は古典力学においてはニュートンの法則と同等であるが、より一般化に適しており、現代物理学において重要な役割を果たしている。実際、この原理は物理科学における偉大な一般化の一つである。量子力学、特にリチャード・ファインマンの経路積分定式化において最もよく理解され、そこでは量子振幅の破壊的干渉から生じる。

作用原理はさらに一般化できる。例えば、非局所的な作用が可能であるため、作用は積分である必要はない。非可換幾何学などの特定の特性を考慮すると、構成空間は関数空間である必要すらない。しかし、これらの数学的拡張の物理的基礎は、実験的に確立される必要がある。^{[ 13 ]}