波の干渉

物理学において、干渉とは、 2 つのコヒーレントな 波が、その位相差を考慮して強度または変位を加えることによって結合される現象です。結果として生じる波は、2 つの波が同位相または異位相の場合、それぞれ強度が増す (建設的干渉) か、振幅が小さくなる (破壊的干渉) 可能性があります。干渉効果は、光、電波、音響、表面水波、重力波、物質波など、あらゆる種類の波で観察できます。また、スピーカーでは電気波として観察できます。

干渉という言葉は、ラテン語の「間の」を意味するinterと「当たる」を意味するfereに由来し、 1801年にトーマス・ヤングによって波の重ね合わせの文脈で使用されました。 ^{[1] [2] [3]}

波の重ね合わせの原理は、同じ種類の伝播する 2 つ以上の波が同じ点に入射した場合、その点での結果としての振幅は、個々の波の振幅のベクトル和に等しいというものです。 ^[4]波の山が同じ点で同じ周波数の別の波の山と出会う場合、振幅は個々の振幅の合計になります。これは建設的干渉です。1 つの波の山が別の波の谷と出会う場合、振幅は個々の振幅の差に等しくなります。これは、弱め合う干渉として知られています。理想的な媒体 (水、空気はほぼ理想的) では、エネルギーは常に保存され、弱め合う干渉のポイントでは、波の振幅が互いに打ち消し合い、エネルギーは他の領域に再分配されます。たとえば、2 つの小石を池に落とすと、パターンが観察されますが、最終的には波が継続し、岸に到達して初めてエネルギーが媒体から吸収されます。

波間の位相差がπ (180°)の偶数倍のときに建設的干渉が発生し、差がπの奇数倍のときに破壊的干渉が発生します。位相差がこれら 2 つの極端な値の中間である場合、合計された波の変位の大きさは最小値と最大値の間にあります。

たとえば、2 つの同じ石を異なる場所にある静かな水たまりに落としたときに何が起こるか考えてみましょう。それぞれの石は、石が落とされた地点から外側に伝わる円形の波を生成します。2 つの波が重なると、特定の地点での正味の変位は、個々の波の変位の合計になります。いくつかの地点では、これらは同位相になり、最大変位を生成します。他の場所では、波は逆位相になり、これらの地点では正味の変位はありません。したがって、表面の一部は静止します。これらは、上図と右側の図で、中心から放射状に広がる静止した青緑色の線として表示されます。

光の干渉は、水中などで見られるように電磁場の重ね合わせを直接観察することができないという点で、ユニークな現象です。電磁場の重ね合わせは仮定の現象であり、2 本の光線が互いに通過してそれぞれの経路を進む仕組みを説明するために必要です。光干渉の主な例としては、有名な二重スリット実験、レーザースペックル、反射防止コーティング、干渉計などがあります。

光干渉を理解するための古典的な波モデルに加えて、量子物質波も干渉を示します。

上記は、2 つの波の和の公式を導出することで 1 次元で実証できます。x 軸に沿って右に進む 正弦波の振幅の方程式は、 で、 はピーク振幅、は波数、は波の角周波数です。 周波数と振幅は同じだが位相が異なる 2 番目の波も右に進むとします。 は波間の位相差 (ラジアン )です。 2 つの波は重ね合わせて加算されます。2 つの波の和は、 です。 2 つのコサインの和に三角関数の恒等式 を使用すると、 と書くことができます 。 これは、元の周波数の波が、その成分と同じように右に進み、振幅が のコサインに比例していることを表しています。 $${\displaystyle W_{1}(x,t)=A\cos(kx-\omega t)}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$${\displaystyle \omega =2\pi f}$$${\displaystyle W_{2}(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )}$$${\displaystyle \varphi}$$${\displaystyle W_{1}+W_{2}=A[\cos(kx-\omega t)+\cos(kx-\omega t+\varphi )].}$$${\textstyle \cos a+\cos b=2\cos \left({ab \over 2}\right)\cos \left({a+b \over 2}\right),}$$${\displaystyle W_{1}+W_{2}=2A\cos \left({\varphi \over 2}\right)\cos \left(kx-\omega t+{\varphi \over 2}\right).}$$${\displaystyle \varphi /2}$

• 建設的干渉：位相差がπの偶数倍の場合、2つの波の和は振幅が2倍の波となる。${\displaystyle \varphi =\ldots ,-4\pi ,-2\pi ,0,2\pi ,4\pi ,\ldots }$${\displaystyle \left|\cos(\varphi /2)\right|=1}$$${\displaystyle W_{1}+W_{2}=2A\cos(kx-\omega t)}$$
• 相殺的干渉：位相差がπの奇数倍の場合、2つの波の和はゼロになる。${\displaystyle \varphi =\ldots ,-3\pi ,\,-\pi ,\,\pi ,\,3\pi ,\,5\pi ,\ldots }$${\displaystyle \cos(\varphi /2)=0\,}$$${\displaystyle W_{1}+W_{2}=0}$$

同じ周波数の2つの平面波が角度をつけて交差すると、単純な形の干渉パターンが得られます。1つの波は水平方向に進み、もう1つの波は最初の波に対して角度 θ で下向きに進みます。2つの波が点Bで同位相であると仮定すると、相対位相はx軸に沿って変化します。点Aでの位相差は次のように表されます。

$${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {2\pi d}{\lambda }}={\frac {2\pi x\sin \theta }{\lambda }}.}$$

2つの波が同位相であることがわかる。

$${\displaystyle {\frac {x\sin \theta }{\lambda }}=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,}$$

そして、半周期位相がずれているとき

$${\displaystyle {\frac {x\sin \theta }{\lambda }}=\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\ldots }$$

波の位相が合っているときは建設的干渉が起こり、半周期ずれているときは破壊的干渉が起こります。このようにして、干渉縞パターンが生成され、最大値の分離は

$${\displaystyle d_{f}={\frac {\lambda }{\sin \theta }}}$$

d _{f は}縞間隔として知られています。縞間隔は波長の増加と角度θ の減少とともに増加します。

2 つの波が重なる場所には必ず縞模様が観察され、縞模様の間隔は全体にわたって均一です。

点光源は球面波を生成します。2 つの点光源からの光が重なると、干渉パターンは 2 つの波の位相差が空間内でどのように変化するかを示します。これは波長と点光源の間隔によって異なります。右の図は 2 つの球面波の干渉を示しています。波長は上から下に向かって増加し、光源間の距離は左から右に向かって増加します。

観測面が十分に離れている場合、波はほぼ平面となるため、縞模様はほぼ直線の連続になります。

複数の波が加算され、それらの間の位相差が観測時間にわたって一定のままである場合に干渉が発生します。

同じ周波数と振幅を持つ複数の波を合計するとゼロになる（つまり、破壊的に干渉し、打ち消す）ことが望ましい場合があります。これは、たとえば3 相電力と回折格子の背後にある原理です。どちらの場合も、位相の間隔を均一にすることで結果が達成されます。

波の振幅が同じで位相が等間隔の角度にある場合、波の集合は打ち消し合うことが容易に分かります。位相子 を使用すると、各波はからまでの波についてと表すことができます。ここで ${\displaystyle Ae^{i\varphi _{n}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle n=N-1}$$${\displaystyle \varphi _{n}-\varphi _{n-1}={\frac {2\pi }{N}}.}$$

それを示すために $${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}Ae^{i\varphi _{n}}=0}$$

単に逆を仮定し、両辺を${\displaystyle e^{i{\frac {2\pi }{N}}}.}$

ファブリ・ペロー干渉計は、複数の反射間の干渉を利用します。

回折格子は、格子内の各要素によって透過された光間の干渉によって生成されるピークを生成するため、多重ビーム干渉計と見なすことができます。詳細については、 干渉と回折を参照してください。

機械波と重力波は直接観測できます。これらは実数値の波動関数です。一方、光波と物質波は直接観測できません。これらは複素数値の波動関数です。実数値の波動干渉と複素数値の波動干渉の違いには、次のようなものがあります。

1. 干渉には、さまざまな種類の数学関数が関係します。古典波は、平衡位置からの変位を表す実関数です。光学波動関数または量子波動関数は、複素関数です。古典波は、どの点でも正または負の値を取ることができますが、量子確率関数は負ではありません。
2. 同じ媒体内の2つの異なる実波は干渉するが、複素波が干渉するにはコヒーレントでなければならない。実際には、これは波が同じ発生源から発生し、同様の周波数を持つ必要があることを意味する。
3. 実際の波の干渉は、2 つの波の平衡からの変位 (または振幅) を単純に加算することによって得られます。複雑な波の干渉では、波動関数の 2 乗の係数を測定します。

光波の周波数 (~10 ¹⁴ Hz) は、現在利用可能な検出器では光の電界の変化を検出するには高すぎるため、光干渉パターンの強度のみを観測することができます。特定の点における光の強度は、波の平均振幅の 2 乗に比例します。これは数学的に次のように表すことができます。点rにおける 2 つの波の変位は、次のようになります。

$${\displaystyle U_{1}(\mathbf {r} ,t)=A_{1}(\mathbf {r} )e^{i[\varphi _{1}(\mathbf {r} )-\omega t]}}$$ $${\displaystyle U_{2}(\mathbf {r} ,t)=A_{2}(\mathbf {r} )e^{i[\varphi _{2}(\mathbf {r} )-\omega t]}}$$

ここで、Aは変位の大きさ、φは位相、ωは角周波数を表します。

加算された波の変位は

$${\displaystyle U(\mathbf {r} ,t)=A_{1}(\mathbf {r} )e^{i[\varphi _{1}(\mathbf {r} )-\omega t]}+A_{2}(\mathbf {r} )e^{i[\varphi _{2}(\mathbf {r} )-\omega t]}.}$$

rにおける光の強度は次のように表される。

$${\displaystyle I(\mathbf {r} )=\int U(\mathbf {r} ,t)U^{*}(\mathbf {r} ,t)\,dt\propto A_{1}^{2}(\mathbf {r} )+A_{2}^{2}(\mathbf {r} )+2A_{1}(\mathbf {r} )A_{2}(\mathbf {r} )\cos[\varphi _{1}(\mathbf {r} )-\varphi _{2}(\mathbf {r} )].}$$

これは、個々の波の強度で次のように表すことができます。

$${\displaystyle I(\mathbf {r} )=I_{1}(\mathbf {r} )+I_{2}(\mathbf {r} )+2{\sqrt {I_{1}(\mathbf {r} )I_{2}(\mathbf {r} )}}\cos[\varphi _{1}(\mathbf {r} )-\varphi _{2}(\mathbf {r} )].}$$

したがって、干渉パターンは 2 つの波の位相の差を表し、位相差が 2 πの倍数のときに最大値が発生します。2 つのビームの強度が等しい場合、最大値は個々のビームの 4 倍の明るさになり、最小値は強度がゼロになります。

古典的には、異なる偏光の波が互いに打ち消したり、加算したりすることは不可能なので、干渉縞を生じさせるには 2 つの波が同じ偏光を持っている必要があります。代わりに、異なる偏光の波が加算されると、異なる偏光状態の波が生じます。

量子力学的には、ポール・ディラックとリチャード・ファインマンの理論は、より現代的なアプローチを提供します。ディラックは、光のすべての量子または光子は独自に作用することを示し、彼は「すべての光子は自分自身と干渉する」と有名な​​言葉を残しています。リチャード・ファインマンは、すべての可能な経路が考慮される経路積分を評価することによって、より確率の高い経路がいくつか出現することを示しました。たとえば、薄膜では、膜厚が光の波長の倍数ではないため、量子は通過できず、反射のみが可能です。

上の議論では、互いに干渉する波は単色、つまり単一の周波数を持つと仮定しています。これは、波が時間的に無限であることを必要とします。しかし、これは現実的でも必要でもありません。有限期間の 2 つの同一波の周波数はその期間にわたって固定されており、重なり合うと干渉パターンが生じます。有限期間 (ただし、コヒーレンス時間より短い) の狭い周波数波のスペクトルで構成される 2 つの同一波は、わずかに異なる間隔の一連の干渉縞パターンを生じ、間隔の広がりが平均干渉縞間隔より大幅に小さい場合、2 つの波が重なり合う時間中に干渉縞パターンが再び観察されます。

従来の光源は、光源の異なる点から異なる周波数の波を異なる時間に放射します。光が2つの波に分割され、その後再結合されると、各光波は他の半分と干渉パターンを生成しますが、生成された個々の縞模様は異なる位相と間隔を持ち、通常、全体的な縞模様は観察されません。ただし、ナトリウムランプや水銀灯などの単一要素光源は、非常に狭い周波数スペクトルの輝線を持っています。これらを空間的および色的にフィルタリングしてから2つの波に分割すると、重ね合わせて干渉縞を生成できます。^[5]レーザーの発明以前のすべての干渉測定は、このような光源を使用して行われ、幅広い分野で成功を収めてきました。

レーザービームは一般に単色光源に非常に近いため、レーザーを使用して干渉縞を生成する方がはるかに簡単です。レーザー ビームで干渉縞を簡単に観察できることにより、迷光反射によって誤った干渉縞が発生し、エラーが発生するという問題が発生する場合があります。

通常、干渉計では単一のレーザービームが使用されますが、位相要件を満たすのに周波数が十分に一致した2つの独立したレーザーを使用した干渉も観察されています。^[6] これは、2つの非コヒーレントレーザー光源間の広視野干渉でも観察されています。^[7]

白色光を使って干渉縞を観察することも可能です。白色光の縞模様は、それぞれがわずかに異なる間隔を持つ縞模様の「スペクトル」で構成されていると考えられます。すべての縞模様が中心で同位相である場合、波長が短くなるにつれて縞の大きさが大きくなり、合計強度は3～4本の異なる色の縞を示します。ヤングは、2つのスリット干渉について論じる際に、これを非常にエレガントに説明しています。白色光の縞は、2つの波が光源から等距離を移動した場合にのみ得られるため、干渉測定では非常に有用であり、これによりゼロパス差縞を識別できます。^[8]

干渉縞を生成するには、光源からの光を 2 つの波に分割し、その後再結合する必要があります。従来、干渉計は振幅分割システムまたは波面分割システムのいずれかに分類されてきました。

振幅分割システムでは、ビームスプリッターを使用して光を異なる方向に進む 2 つのビームに分割し、それらを重ね合わせて干渉パターンを生成します。マイケルソン干渉計とマッハ・ツェンダー干渉計は、振幅分割システムの例です。

波面分割システムでは、波は空間的に分割されます。例としては、ヤングの二重スリット干渉計やロイドの鏡などがあります。

干渉は、虹彩や構造色などの日常的な現象にも見られます。たとえば、シャボン玉に見える色は、薄いシャボン玉の膜の前面と背面で反射した光の干渉によって生じます。膜の厚さに応じて、異なる色が建設的または破壊的に干渉します。

• 薄膜干渉による虹彩現象
• 
  虹色に輝く背面パネルを備えたスマートフォン
• 
  石油流出
• 
  シャボン玉の中の白色光の干渉。

量子干渉（観測される物質の波動挙動^[9]）は光干渉に似ている。を量子力学的物体に対するシュレーディンガー方程式の波動関数解とする。このとき、物体を位置 で観測する確率は* が複素共役を示す。量子干渉は、波動関数が2つの項の和または線形重ね合わせとして表されるときのこの確率の問題に関係する。 ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ ${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(x)=|\Psi (x,t)|^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)}$${\displaystyle \Psi (x,t)=\Psi _{A}(x,t)+\Psi _{B}(x,t)}$$${\displaystyle P(x)=|\Psi (x,t)|^{2}=|\Psi _{A}(x,t)|^{2}+|\Psi _{B}(x,t)|^{2}+(\Psi _{A}^{*}(x,t)\Psi _{B}(x,t)+\Psi _{A}(x,t)\Psi _{B}^{*}(x,t))}$$

通常、と は、異なる状況 A と状況 B に対応します。この場合、式は、 オブジェクトが状況 A または状況 B にある可能性があることを示します。上の式は、次のように解釈できます。 でオブジェクトが見つかる確率は、状況 A にあるときにオブジェクトが で見つかる確率に、状況 B にあるときにオブジェクトが で見つかる確率を足し、さらに追加の項を加えたものです。この追加の項は量子干渉項と呼ばれ、上の式にあります。上記の古典波の場合と同様に、量子干渉項は、量子干渉項が正か負かに応じて、上の式の に加算 (建設的干渉) または減算 (破壊的干渉) できます。この項がすべての に対して存在しない場合は、状況 A および B に関連する量子力学的干渉はありません。 ${\displaystyle \Psi _{A}(x,t)}$${\displaystyle \Psi _{B}(x,t)}$${\displaystyle \Psi (x,t)=\Psi _{A}(x,t)+\Psi _{B}(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Psi _{A}^{*}(x,t)\Psi _{B}(x,t)+\Psi _{A}(x,t)\Psi _{B}^{*}(x,t)}$${\displaystyle |\Psi _{A}(x,t)|^{2}+|\Psi _{B}(x,t)|^{2}}$${\displaystyle x}$

量子干渉の最もよく知られた例は、二重スリット実験である。この実験では、電子、原子、分子からの物質波が、2つのスリットがある障壁に近づく。一方のスリットは になり、もう一方のスリットは になる 。干渉パターンは向こう側に発生し、物質波を発生させる粒子に適した検出器で観測される。^[10]このパターンは、光学的な二重スリットパターンと一致する。 ${\displaystyle \Psi _{A}(x,t)}$${\displaystyle \Psi _{B}(x,t)}$

音響学では、ビートとはわずかに異なる周波数の2 つの音の間の干渉パターンであり、2 つの周波数の 差に応じた音量の周期的な変化として認識されます。

持続音を生成できる調律器具を使えば、ビートを容易に認識できます。2つの音をユニゾンに調律すると、奇妙な効果が現れます。2つの音のピッチは近いが同じではない場合、周波数の差によってビートが生成されます。音が交互に建設的および破壊的に干渉するため、音量はトレモロのように変化します。2つの音が徐々にユニゾンに近づくにつれて、ビートは遅くなり、知覚できないほど遅くなる場合があります。2つの音がさらに離れると、ビート周波数が人間のピッチ知覚の範囲に近づき始め、^[11]ビートが音符のように聞こえ始め、複合音が生成されます。この複合音は、2つの音のビート周波数が暗黙の基本周波数の周波数に等しいため、ミッシングファンダメンタルとも呼ばれます。

干渉法は物理学の進歩に重要な役割を果たしており、物理的および工学的測定においても幅広い用途があります。

1803年、トーマス・ヤングの二重スリット干渉計は、太陽光で照らされた別の小さな穴からの光が2つの小さな穴を照らすと干渉縞ができることを実証した。ヤングは干渉縞の間隔からスペクトル内の異なる色の波長を推定することができた。この実験は光の波動理論が一般に受け入れられる上で大きな役割を果たした。^[8] 量子力学では、この実験は光と他の量子粒子の波動性と粒子性が分離不可能であること（波動粒子二重性）を実証するものと考えられている。リチャード・ファインマンは、この実験の意味を注意深く考えることで量子力学のすべてを理解できるとよく言っていた。^[12]

マイケルソン・モーリーの実験の結果は、光伝導エーテルの理論に反し、特殊相対性理論を支持する最初の強力な証拠であると一般に考えられています。

干渉法は、長さの標準の定義と較正に使用されてきました。メートルが白金イリジウム棒上の2つのマーク間の距離として定義されたとき、マイケルソンとベノワは干渉法を使用して新しい標準の赤いカドミウム線の波長を測定し、長さの標準として使用できることも示しました。60年後の1960年に、新しいSIシステムのメートルは、真空中のクリプトン86原子の電磁スペクトルの橙赤色の輝線の波長1,650,763.73倍に等しいと定義されました。この定義は1983年に、メートルを特定の時間間隔で真空中を光が移動する距離として定義することに置き換えられました。干渉法は、長さ測定の較正チェーンを確立する上で今でも基本的なものです。

干渉法は、スリップゲージ（米国ではゲージブロックと呼ばれる）の校正や座標測定機に使用されます。また、光学部品のテストにも使用されます。^[13]

1946 年、天文干渉法と呼ばれる技術が開発されました。天文電波干渉計は通常、パラボラ アンテナのアレイか、全方向性アンテナの 2 次元アレイで構成されます。アレイ内のすべての望遠鏡は広く離れており、通常は同軸ケーブル、導波管、光ファイバー、またはその他のタイプの伝送線を使用して相互に接続されています。干渉法は収集される信号の合計を増加させますが、その主な目的は、開口合成と呼ばれるプロセスによって解像度を大幅に向上させることです。この技術は、同じ位相で一致する波は互いに加算され、反対位相の 2 つの波は互いに打ち消し合うという原理に基づいて、異なる望遠鏡からの信号波を重ね合わせる (干渉させる) ことによって機能します。これにより、アレイ内で最も離れたアンテナの間隔に等しい直径を持つ単一のアンテナと解像度が同等 (ただし感度は同等ではない) の複合望遠鏡が作成されます。

音響干渉計は、速度、波長、吸収、インピーダンスなど、気体または液体中の音波の物理的特性を測定するための機器です。振動する結晶が超音波を生成し、それが媒体に放射されます。超音波は結晶と平行に配置された反射器に当たり、音源に反射されて測定されます。

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ウィキメディア・コモンズには干渉に関連するメディアがあります。

• 1次元波干渉の簡単なJavaScriptシミュレーションモデル
• 位置と縞間隔の表現
• 水波の干渉のJavaシミュレーション1
• 水波の干渉のJavaシミュレーション2
• 干渉を示すフラッシュアニメーション 2009-06-24 にWayback Machineでアーカイブ