グローバル対称性 注：ここでいう対称性とは、二次元理論（ワールドシート上）の観点から、局所的または大域的であることを意味します。例えば、時空の局所的対称性であるローレンツ変換は、ワールドシート上の理論においては大域的対称性となります。
この作用は、時空の並進 と微小 ローレンツ変換 に対して不変である。
X α → X α + b α 、 {\displaystyle X^{\alpha }\to X^{\alpha }+b^{\alpha },} X α → X α + ω β α X β 、 {\displaystyle X^{\alpha }\to X^{\alpha }+\omega _{\ \beta }^{\alpha }X^{\beta },} どこω μ ν = − ω ν μ {\displaystyle \omega _{\mu \nu }=-\omega _{\nu \mu }} b α \displaystyle b^{\alpha }} ポアンカレ対称性が形成される。
(i) の下での不変性は、アクションから導かれる。S \displaystyle {\mathcal {S}}} X α \displaystyle X^{\alpha }}
S ′ = T 2 ∫ d 2 σ − h h 1 b g μ ν ∂ 1 （ X μ + ω δ μ X δ ） ∂ b （ X ν + ω δ ν X δ ） = S + T 2 ∫ d 2 σ − h h 1 b （ ω μ δ ∂ 1 X μ ∂ b X δ + ω ν δ ∂ 1 X δ ∂ b X ν ） + O （ ω 2 ） = S + T 2 ∫ d 2 σ − h h 1 b （ ω μ δ + ω δ μ ） ∂ 1 X μ ∂ b X δ + O （ ω 2 ） = S + O （ ω 2 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}'&={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}g_{\mu \nu }\partial _{a}\left(X^{\mu }+\omega _{\ \delta }^{\mu }X^{\delta }\right)\partial _{b}\left(X^{\nu }+\omega _{\ \delta }^{\nu }X^{\delta }\right)\\&={\mathcal {S}}+{T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}\left(\omega _{\mu \delta }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\delta }+\omega _{\nu \delta }\partial _{a}X^{\delta }\partial _{b}X^{\nu }\right)+\operatorname {O} \left(\omega ^{2}\right)\\&={\mathcal {S}}+{T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \,{\sqrt {-h}}\,h^{ab}\left(\omega _{\mu \delta }+\omega _{\delta \mu }\right)\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\delta }+\operatorname {O} \left(\omega ^{2}\right)\\&={\mathcal {S}}+\operatorname {O} \left(\omega ^{2}\right).\end{aligned}}}
局所対称性 この作用は、世界面微分同相写像 （または座標変換）およびワイル変換 に対して不変で ある。
微分同相写像 以下の変換を仮定します。
σ α → σ ～ α （ σ 、 τ ） 。 \displaystyle \sigma ^{\alpha }\rightarrow {\tilde {\sigma }}^{\alpha }\left(\sigma ,\tau \right).} これは、計量テンソルを 次のように変換します。
h 1 b （ σ ） → h ～ 1 b = h c d （ σ ～ ） ∂ σ 1 ∂ σ ～ c ∂ σ b ∂ σ ～ d 。 ${\displaystyle h^{ab}(\sigma )\rightarrow {\tilde {h}}^{ab}=h^{cd}({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial {\sigma }^{a}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{c}}}{\frac {\partial {\sigma }^{b}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{d}}}.} 次のようなことが分かる。
h ～ 1 b ∂ ∂ σ 1 X μ （ σ ～ ） ∂ ∂ σ b X ν （ σ ～ ） = h c d （ σ ～ ） ∂ σ 1 ∂ σ ～ c ∂ σ b ∂ σ ～ d ∂ ∂ σ 1 X μ （ σ ～ ） ∂ ∂ σ b X ν （ σ ～ ） = h 1 b （ σ ～ ） ∂ ∂ σ ～ 1 X μ （ σ ～ ） ∂ ∂ σ ～ b X ν （ σ ～ ） 。 {\displaystyle {\tilde {h}}^{ab}{\frac {\partial }{\partial {\sigma }^{a}}}X^{\mu }({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial }{\partial \sigma ^{b}}}X^{\nu }({\tilde {\sigma }})=h^{cd}\left({\tilde {\sigma }}\right){\frac {\partial \sigma ^{a}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{c}}}{\frac {\partial \sigma ^{b}}{\partial {\tilde {\sigma }}^{d}}}{\frac {\partial }{\partial \sigma ^{a}}}X^{\mu }({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial }{\partial {\sigma }^{b}}}X^{\nu }({\tilde {\sigma }})=h^{ab}\left({\tilde {\sigma }}\right){\frac {\partial }{\partial {\tilde {\sigma }}^{a}}}X^{\mu }({\tilde {\sigma }}){\frac {\partial }{\partial {\tilde {\sigma }}^{b}}}X^{\nu }({\tilde {\sigma }}).} この変換のヤコビアン は次の式で与えられることがわかっている。
J = 検出 （ ∂ σ ～ α ∂ σ β ） 、 {\displaystyle \mathrm {J} =\operatorname {det} \left({\frac {\partial {\tilde {\sigma }}^{\alpha }}{\partial \sigma ^{\beta }}}\right),} これは
d 2 σ ～ = J d 2 σ h = 検出 （ h 1 b ） ⇒ h ～ = J 2 h 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} ^{2}{\tilde {\sigma }}&=\mathrm {J} \mathrm {d} ^{2}\sigma \\h&=\operatorname {det} \left(h_{ab}\right)\\\Rightarrow {\tilde {h}}&=\mathrm {J} ^{2}h,\end{整列}}} そして、
− h ～ d 2 σ = − h （ σ ～ ） d 2 σ ～ 。 {\displaystyle {\sqrt {-{\tilde {h}}}}\mathrm {d} ^{2}{\sigma }={\sqrt {-h\left({\tilde {\sigma }}\right)}}\mathrm {d} ^{2}{\tilde {\sigma }}.} この変革と再ラベル付けをまとめるとσ ～ = σ {\displaystyle {\tilde {\sigma }}=\sigma }
ワイル変換 を仮定する：
h 1 b → h ～ 1 b = Λ （ σ ） h 1 b 、 {\displaystyle h_{ab}\to {\tilde {h}}_{ab}=\Lambda (\sigma )h_{ab},} それから
h ～ 1 b = Λ − 1 （ σ ） h 1 b 、 検出 （ h ～ 1 b ） = Λ 2 （ σ ） 検出 （ h 1 b ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {h}}^{ab}&=\Lambda ^{-1}(\sigma )h^{ab},\\\operatorname {det} \left({\tilde {h}}_{ab}\right)&=\Lambda ^{2}(\sigma )\operatorname {det} (h_{ab}).\end{aligned}}} そして最後に：
そして、この作用はワイル変換の 下で不変であることがわかる。作用がその世界面面積/超面積に比例するn 次元 (空間的に) 拡張されたオブジェクトを考えると、 n = 1 でない限り、対応するポリャコフ作用にはワイル対称性を破る別の項が含まれることになる。
応力エネルギーテンソルは 次のように定義できる。
T 1 b = − 2 − h δ S δ h 1 b 。 {\displaystyle T^{ab}={\frac {-2}{\sqrt {-h}}}{\frac {\delta S}{\delta h_{ab}}}.} 定義してみましょう：
h ^ 1 b = exp （ ϕ （ σ ） ） h 1 b 。 {\displaystyle {\hat {h}}_{ab}=\exp \left(\phi (\sigma )\right)h_{ab}.} ワイル対称性 により、作用はϕ {\displaystyle \phi }
δ S δ ϕ = δ S δ h ^ 1 b δ h ^ 1 b δ ϕ = − 1 2 − h T 1 b e ϕ h 1 b = − 1 2 − h T 1 1 e ϕ = 0 ⇒ T 1 1 = 0 、 {\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \phi }}={\frac {\delta S}{\delta {\hat {h}}_{ab}}}{\frac {\delta {\hat {h}}_{ab}}{\delta \phi }}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}\,T_{ab}\,e^{\phi }\,h^{ab}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}\,T_{\ a}^{a}\,e^{\phi }=0\Rightarrow T_{\ a}^{a}=0,} ここでは、関数微分 連鎖律を用いました。
計量テンソル に対するオイラー・ラグランジュ方程式の 記述h 1 b {\displaystyle h^{ab}}
δ S δ h 1 b = T 1 b = 0. {\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}=T_{ab}=0.} また、以下のことも知っておく。
δ − h = − 1 2 − h h 1 b δ h 1 b 。 {\displaystyle \delta {\sqrt {-h}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}h_{ab}\delta h^{ab}.} 作用の変分微分は次のように表すことができる。
δ S δ h 1 b = T 2 − h （ G 1 b − 1 2 h 1 b h c d G c d ） 、 {\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}={\frac {T}{2}}{\sqrt {-h}}\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right),} どこG 1 b = g μ ν ∂ 1 X μ ∂ b X ν {\displaystyle G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }}
T 1 b = T （ G 1 b − 1 2 h 1 b h c d G c d ） = 0 、 G 1 b = 1 2 h 1 b h c d G c d 、 G = 検出 （ G 1 b ） = 1 4 h （ h c d G c d ） 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}T_{ab}&=T\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)=0,\\G_{ab}&={\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd},\\G&=\operatorname {det} \left(G_{ab}\right)={\frac {1}{4}}h\left(h^{cd}G_{cd}\right)^{2}.\end{aligned}}} 補助ワールドシート 計量テンソル − h {\displaystyle {\sqrt {-h}}}
− h = 2 − G h c d G c d {\displaystyle {\sqrt {-h}}={\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}} そして、それを元の動作に戻すと、南部・後藤の動作 となる。
S = T 2 ∫ d 2 σ − h h 1 b G 1 b = T 2 ∫ d 2 σ 2 − G h c d G c d h 1 b G 1 b = T ∫ d 2 σ − G 。 {\displaystyle S={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}G_{ab}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}h^{ab}G_{ab}=T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-G}}.} しかし、ポリャコフ作用は線形で あるため、量子化が 容易である。
運動方程式 微分同相写像 とワイル変換 を用い、ミンコフスキー空間 を対象とすることで、物理的に意味のない変換を行うことができる。− h h 1 b → η 1 b {\displaystyle {\sqrt {-h}}h^{ab}\rightarrow \eta ^{ab}} 共形ゲージ で記述すると次のようになる。
S = T 2 ∫ d 2 σ − η η 1 b g μ ν （ X ） ∂ 1 X μ （ σ ） ∂ b X ν （ σ ） = T 2 ∫ d 2 σ （ X ˙ 2 − X ′ 2 ） 、 {\displaystyle {\mathcal {S}}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-\eta }}\eta ^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma )={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \left({\dot {X}}^{2}-X'^{2}\right),} どこη 1 b = （ 1 0 0 − 1 ） {\displaystyle \eta _{ab}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)}
次の点を念頭に置いてくださいT 1 b = 0 {\displaystyle T_{ab}=0}
T 01 = T 10 = X ˙ X ′ = 0 、 T 00 = T 11 = 1 2 （ X ˙ 2 + X ′ 2 ） = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}T_{01}&=T_{10}={\dot {X}}X'=0,\\T_{00}&=T_{11}={\frac {1}{2}}\left({\dot {X}}^{2}+X'^{2}\right)=0.\end{aligned}}} 代入X μ → X μ + δ X μ {\displaystyle X^{\mu }\to X^{\mu }+\delta X^{\mu }}
δ S = T ∫ d 2 σ η 1 b ∂ 1 X μ ∂ b δ X μ = − T ∫ d 2 σ η 1 b ∂ 1 ∂ b X μ δ X μ + （ T ∫ d τ X ′ δ X ） σ = π − （ T ∫ d τ X ′ δ X ） σ = 0 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\mathcal {S}}&=T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \eta ^{ab}\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}\delta X_{\mu }\\&=-T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \eta ^{ab}\partial _{a}\partial _{b}X^{\mu }\delta X_{\mu }+\left(T\int d\tau X'\delta X\right)_{\sigma =\pi }-\left(T\int d\tau X'\delta X\right)_{\sigma =0}\\&=0.\end{aligned}}} そして結果として
◻ X μ = η 1 b ∂ 1 ∂ b X μ = 0. {\displaystyle \square X^{\mu }=\eta ^{ab}\partial _{a}\partial _{b}X^{\mu }=0.} 作用の変分の第２部を満たすための境界条件は以下のとおりである。
閉じた文字列: 周期境界条件 ：X μ （ τ 、 σ + π ） = X μ （ τ 、 σ ） 。 {\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma +\pi )=X^{\mu }(\tau ,\sigma ).} オープンストリング：ノイマン境界条件 ：∂ σ X μ （ τ 、 0 ） = 0 、 ∂ σ X μ （ τ 、 π ） = 0. {\displaystyle \partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,0)=0,\partial _{\sigma }X^{\mu }(\tau ,\pi )=0.} ディリクレ境界条件 ：X μ （ τ 、 0 ） = b μ 、 X μ （ τ 、 π ） = b ′ μ 。 {\displaystyle X^{\mu }(\tau ,0)=b^{\mu },X^{\mu }(\tau ,\pi )=b'^{\mu }.} 光円錐座標系 での作業ξ ± = τ ± σ {\displaystyle \xi ^{\pm }=\tau \pm \sigma }
∂ + ∂ − X μ = 0 、 （ ∂ + X ） 2 = （ ∂ − X ） 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{+}\partial _{-}X^{\mu }&=0,\\(\partial _{+}X)^{2}=(\partial _{-}X)^{2}&=0.\end{aligned}}} したがって、解は次のように表すことができる。X μ = X + μ （ ξ + ） + X − μ （ ξ − ） {\displaystyle X^{\mu }=X_{+}^{\mu }(\xi ^{+})+X_{-}^{\mu }(\xi ^{-})} フーリエ展開し 、係数に正準交換関係を 課すことで、運動の第2方程式を適用することにより、ビラソロ演算子の定義が導かれ、物理状態に作用すると消滅するビラソロ拘束条件が得られます。
参考文献 ↑ Deser, S. ; Zumino, B. (1976). "A Complete Action for the Spinning String" . Phys. Lett. B . 65 (4): 369– 373. doi : 10.1016/0370-2693(76)90245-8 .↑ Brink, L. ; Di Vecchia, P. ; Howe, P. (1976). "回転弦に対する局所的に超対称かつ再パラメータ化不変な作用" . Physics Letters B . 65 (5): 471– 474. doi : 10.1016/0370-2693(76)90445-7 . ↑ Polyakov, AM (1981). "ボソン弦の量子幾何学" . Physics Letters B . 103 (3): 207– 210. doi : 10.1016/0370-2693(81)90743-7 . ↑ Friedan, D. (1980). "Nonlinear Models in 2+ε Dimensions" (PDF) . Physical Review Letters . 45 (13): 1057– 1060. Bibcode : 1980PhRvL..45.1057F . doi : 10.1103/PhysRevLett.45.1057 .
さらに読む ポルチンスキー（1994年11月）。弦理論とは何か 、NSF-ITP-94-97、153 ページ、arXiv:hep-th/9411028v1。 大栗殷（1997年2月）。TASI摂動弦理論講義 、UCB-PTH-96/64、LBNL-39774、80 ページ、arXiv:hep-th/9612254v3。
