共役変数

共役変数は、数学的に定義された変数のペアで、フーリエ変換の双対となるもの[ 1 ] ^{[ 2] 、またはより一般的には}ポンチャギン双対性によって関連付けられます。双対関係は、自然に変数間の不確定性関係 (物理学ではハイゼンベルクの不確定性原理と呼ばれます) につながります。数学的には、共役変数はシンプレクティック基底の一部であり、不確定性関係はシンプレクティック形式に対応します。また、共役変数はノイマンの定理によって関連付けられます。ノイマンの定理は、物理法則が共役変数の1つの変化に対して不変である場合、もう1つの共役変数は時間とともに変化しない (つまり、保存される) と述べています。 熱力学では共役変数が広く使用されています。

特定のシステムが実行している（または受けている）作業の種類に応じて、共役変数には多くの種類があります。標準共役変数の例には、次のものがあります。

• 時間と周波数: 音符が長く続くほど、その周波数をより正確に知ることができますが、持続時間が長くなるため、時間的に分散したイベント、つまり「瞬間」になります。逆に、非常に短い音符はクリック音になり、時間的に局所的になりますが、その周波数を正確に判断することはできません。^[3]
• ドップラーと距離:レーダーターゲットがどれだけ離れているかがわかればわかるほど、接近または後退の正確な速度を知ることは難しくなります。逆もまた同様です。この場合、ドップラーと距離の 2 次元関数は、レーダーあいまいさ関数またはレーダーあいまいさ図として知られています。
• 表面エネルギー: γ  d A ( γ =表面張力、A = 表面積)。
• 弾性伸張: F  d L ( F = 弾性力、L =伸張した長さ)。
• エネルギーと時間: 単位 はkg${\displaystyle \Delta E\times \Delta t}$ ${\displaystyle m^{2}s^{-1}}$

古典物理学では、作用の導関数は微分する量と共役な変数です。量子力学では、これらの同じ変数のペアはハイゼンベルクの不確定性原理によって関連付けられています。

• あるイベントにおける粒子のエネルギーは、そのイベントで終わるその粒子の軌跡に沿った作用をイベントの時間に関して微分したものの負の値です。
• 粒子の線形運動量は、その位置に対するその作用の微分です。
• 粒子の角運動量は、粒子の方向（角位置）に対するその作用の微分です。
• 粒子の質量モーメント（ ）は、その作用のその速さに関する微分値の負の値である。${\displaystyle \mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r} }$
• ある事象における電位（φ、電圧）は、その事象における（自由）電荷の密度に対する電磁場の作用の微分値の負の値である。 ^[要出典]
• ある事象における磁気ポテンシャル( A ) は、その事象における(自由)電流の密度に対する電磁場の作用の微分です。 ^{[引用が必要]}
• ある事象における電場（E ）は、その事象における電気分極密度に対する電磁場の作用の微分である。^[要出典]
• ある事象における磁気誘導（B ）は、その事象における磁化に対する電磁場の作用の微分である。 ^[要出典]
• ある事象におけるニュートンの重力ポテンシャルは、その事象における質量密度に対するニュートンの重力場の作用の微分の負の値である。 ^{[引用が必要]}

量子力学では、共役変数は、演算子が交換しない観測量のペアとして実現されます。従来の用語では、これらは互換性のない観測量と呼ばれます。例として、位置と運動量によって与えられる測定可能な量を考えてみましょう。量子力学形式では、2 つの観測量と は演算子 と に対応し、これらは必ず標準的な交換関係を満たします。 ${\displaystyle \left(x\right)}$${\displaystyle \left(p\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\widehat {x}}}$${\displaystyle {\ワイドハット {p\,}}}$$${\displaystyle [{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{\widehat {x}}=i\hbar }$$

2 つの演算子のゼロでない交換子ごとに「不確定性原理」が存在し、現在の例では次の形式で表現できます。 $${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2}$$

この不明確な表記では、と は、 と の同時指定における「不確実性」を表します。標準偏差を含む、より正確で統計的に完全な記述は次のようになります。 ${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \sigma}$$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2}$$

より一般的には、演算子 および に対応する任意の2 つの観測可能値 および に対して、一般化不確定性原理は次のように与えられます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\ワイドハット {A}}}$${\displaystyle {\ワイドハット {B}}}$$${\displaystyle {\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{\widehat {A}},{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}}$$

ここで、2 つの特定の演算子を明示的に定義し、それぞれに特定の数学的形式を割り当てて、そのペアが前述の交換関係を満たすと仮定します。演算子の特定の「選択」は、量子力学を根本的に特徴付ける一般的な代数構造の多くの同等の、または同型の表現の 1 つを反映するだけであることを覚えておくことが重要です。一般化は、ハイゼンベルクリー代数 によって正式に提供され、対応するグループはハイゼンベルク群 と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}}$${\displaystyle H_{3}}$

ハミルトン流体力学と量子流体力学では、作用自体（または速度ポテンシャル）は密度（または確率密度）の共役変数です。

• 標準座標