中心化マトリックス

数学と多変量統計学において、中心化行列^[1]は対称かつべき等な行列であり、ベクトルと乗算すると、そのベクトルの各要素からベクトルの要素の平均を減算するのと同じ効果があります。

サイズnの中心化行列は、n行n列の行列 として定義される。

${\displaystyle C_{n}=I_{n}-{\tfrac {1}{n}}J_{n}}$

ここで、はサイズnの単位行列であり、はすべてが 1 のn行n列の行列です。 ${\displaystyle I_{n}\,}$${\displaystyle J_{n}}$

例えば

${\displaystyle C_{1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}}$、

${\displaystyle C_{2}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0\\0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1\\1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right]}$、

${\displaystyle C_{3}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{3}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]}$

大きさnの列ベクトルが与えられた場合、の中心化特性は次のように表される。 ${\displaystyle \mathbf {v} \,}$${\displaystyle C_{n}\,}$

${\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} =\mathbf {v} -({\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} )J_{n,1}}$

ここで、 は1 の列ベクトルであり、は の成分の平均です。 ${\displaystyle J_{n,1}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} \,}$

${\displaystyle C_{n}\,}$は対称半正定値です。

${\displaystyle C_{n}\,}$はべき等なので、に対して となります。平均値が削除されるとゼロになり、再度削除しても効果はありません。 ${\displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}}$${\displaystyle k=1,2,\ldots }$

${\displaystyle C_{n}\,}$は特異です。変換を適用した結果を元に戻すことはできません。 ${\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} }$

${\displaystyle C_{n}\,}$重複度n −1の固有値1 と重複度1の固有値0を 持ちます。

${\displaystyle C_{n}\,}$ベクトルに沿って次元 1 のヌル空間を持ちます。 ${\displaystyle J_{n,1}}$

${\displaystyle C_{n}\,}$は直交射影行列です。つまり、は、零空間に直交する( n  − 1) 次元部分空間への の射影です。(これは、成分の合計がゼロになる すべてのnベクトルの部分空間です。)${\displaystyle C_{n}\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} \,}$${\displaystyle J_{n,1}}$

の痕跡はです。 ${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle n(n-1)/n=n-1}$

センタリング行列による乗算は、ベクトルから平均を除去する計算効率のよい方法ではありませんが、便利な分析ツールです。単一のベクトルの平均を除去するだけでなく、m行n列の行列の行または列に格納されている複数のベクトルの平均を除去するためにも使用できます。 ${\displaystyle X}$

による左側の乗算では、 n列のそれぞれから対応する平均値が減算されるため、積の各列の平均はゼロになります。同様に、右側のによる乗算では、 m行のそれぞれから対応する平均値が減算されるため、積の各行の平均はゼロになります。両辺の乗算により、行と列の平均がゼロに等しい 二重中心行列が作成されます。${\displaystyle C_{m}}$${\displaystyle C_{m}\,X}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle X\,C_{n}}$${\displaystyle C_{m}\,X\,C_{n}}$

センタリング行列は、特にデータサンプルの散布行列（サンプル平均）を簡潔に表現する方法を提供します。センタリング行列により、散布行列をよりコンパクトに表現できます。 ${\displaystyle S=(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle X\,}$${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{n}}XJ_{n,1}}$

${\displaystyle S=X\,C_{n}(X\,C_{n})^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }.}$

${\displaystyle C_{n}}$は、多項分布の共分散行列です。ただし、この分布のパラメータが、およびである特殊なケースです。 ${\displaystyle k=n}$${\displaystyle p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}={\frac {1}{n}}}$