操作変数推定

統計学、計量経済学、疫学および関連分野では、制御された実験が実行不可能な場合、またはランダム化実験ですべてのユニットに処理がうまく提供されなかった場合に、因果関係を推定するために、操作変数法（IV）が使用されます。 ^[1]直感的には、IVは、対象の説明変数が誤差項（内生）と相関している場合に使用され、その場合、通常の最小二乗法とANOVAでは偏った結果が得られます。有効な操作変数は、説明変数に変化を引き起こしますが（内生変数と相関しています）、従属変数には独立した影響を与えず、誤差項とも相関していません。これにより、研究者は説明変数が従属変数に与える因果効果を明らかにすることができます。

操作変数法では、説明変数(共変量) が回帰モデルの誤差項と相関している場合に、一貫した推定が可能になります。このような相関は、次の場合に発生する可能性があります。

1. 従属変数の変化は共変量の少なくとも1つの値を変化させる（「逆」因果関係）、
2. 従属変数と説明変数の両方に影響を与える省略変数がある、または
3. 共変量は非ランダムな測定誤差の影響を受けます。

回帰分析の文脈においてこれらの問題の1つ以上を抱える説明変数は、内生的と呼ばれることがあります。このような状況では、通常の最小二乗法では偏った一貫性のない推定値が生成されます。^[2]ただし、道具変数が利用できる場合は、一貫性のある推定値が得られる場合があります。道具変数とは、それ自体は説明方程式に属さないが、他の共変量の値を条件として、 内生的説明変数と相関する変数です。

線形モデルでは、IV を使用するための主な要件が 2 つあります。

• 道具変数は、他の共変量を条件として、内生的説明変数と相関している必要がある。この相関が強い場合、道具変数は強い第一段階を持っていると言われる。相関が弱いと、パラメータ推定値や標準誤差について誤った推論が生じる可能性がある。^{[3] [4]}
• 他の共変量を条件として、この道具変数は説明方程式の誤差項と相関できません。言い換えれば、道具変数は元の予測変数と同じ問題に悩まされることはありません。この条件が満たされると、道具変数は除外制約を満たしていると言えます。

非公式には、ある変数X (「共変量」または「説明変数」) が別の変数 Y (「従属変数」)に及ぼす因果効果を推定しようとする場合、操作変数は、 Xへの影響を通じてのみ Yに影響を与える第 3 の変数Zです。

例えば、ある研究者が喫煙 ( X ) が一般的な健康 ( Y ) に及ぼす因果効果を推定したいとします。^[5] 喫煙と健康の相関関係は、喫煙が健康不良を引き起こすことを意味しません。うつ病などの他の変数が健康と喫煙の両方に影響を及ぼす可能性があり、また健康が喫煙に影響を及ぼす可能性があるためです。一般集団の喫煙状況について、管理された実験を行うことはできません。研究者は、喫煙の手段変数としてタバコ製品に対する税率 ( Z ) を使用して、観察データから喫煙が健康に及ぼす因果効果を推定しようとするかもしれません。タバコ製品に対する税率は、喫煙への影響を通じてのみ健康と相関すると研究者が想定しているため、手段変数として妥当な選択です。その後、研究者がタバコ税と健康状態に相関関係があることを発見した場合、これは喫煙が健康に変化をもたらすという証拠と見なすことができます。

操作変数の最初の使用は、1928年にフィリップ・G・ライトが著した本で、彼は1900年代初頭の米国における植物油と動物油の生産、輸送、販売に関する優れた記述で最もよく知られています。^{[6] [7] 1945年に}オラフ・ライナーソルは、博士論文の中で変数誤差モデルの文脈で同じアプローチを適用し、この方法に名前を付けました。^[8]

ライトは、米国で販売された価格と数量に関するパネル データを使用して、バターの需要と供給を決定しようとしました。その考え方は、需要曲線または供給曲線は価格と需要または供給数量の間の経路によって形成されるため、回帰分析によって需要曲線または供給曲線を生成できるというものでした。問題は、観測データが需要曲線または供給曲線そのものではなく、さまざまな市場状況で異なる形状をとる点観測の集合体であることです。データから推論することは依然として困難であるように思われました。

問題は、価格が供給と需要の両方に影響を与えるため、観測データから 2 つのうちの 1 つだけを表す関数を直接構築できないことでした。ライト氏は、需要または供給の両方ではなくどちらか一方と相関する変数、つまり操作変数が必要であると正しく結論付けました。

ライトは熟考の末、地域の降雨量を操作変数として用いることにした。降雨量は牧草の生産、ひいては牛乳の生産、そして最終的にはバターの供給に影響を与えるが、バターの需要には影響を与えないと結論付けた。こうしてライトは価格と供給という操作変数のみで回帰方程式を構築することができた。^[9]

反事実的仮定とグラフ基準を用いた操作変数の正式な定義は、2000年にジュディア・パールによって与えられた。 ^[10] アングリストとクルーガー（2001）は、操作変数技法の歴史と使用法の調査を発表している。^{[11]計量経済学における因果関係の概念と、操作変数や他の方法との関係は、}ヘックマン（2008）によって議論されている。 ^[12]

IVの背後にある考え方は幅広いモデルに広がっていますが、IVの非常に一般的なコンテキストは線形回帰です。伝統的に、^[13]操作変数は、独立変数と相関し 、線形方程式の「誤差項」Uとは相関しない 変数として定義されます。${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle Y=X\beta +U}$

${\displaystyle Y}$はベクトルです。 は行列で、通常は 1 の列を持ち、他の共変量のための追加の列を持つ場合もあります。 操作変数によって が回復される方法を考えてみましょう。OLSはを解き、（二乗誤差の合計 を最小化する場合、1 次条件はちょうど になります。）上記のいずれかの理由により、真のモデルが であると考えられる場合（たとえば、と の両方に別々に影響する省略された変数がある場合）、このOLS手順では の への因果的影響は得られません。OLS は、結果として生じる誤差が と相関しないように見えるパラメータを単に選択します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle {\ワイドハット {\beta }}}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,{\widehat {U}})=0}$${\displaystyle \min _{\beta }(Y-X\beta )'(Y-X\beta )}$${\displaystyle X'(Y-X{\widehat {\beta }})=X'{\widehat {U}}=0}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,U)\neq 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

簡単にするために、単一変数の場合を考えてみましょう。1 つの変数と定数 (おそらく他の共変量は不要、または他の関連する共変量を部分的に除外している) による回帰を検討しているとします。

${\displaystyle y=\alpha +\beta x+u}$

この場合、関心のある回帰変数の係数は で与えられます。 を代入すると、 ${\displaystyle {\widehat {\beta }}={\frac {\operatorname {cov} (x,y)}{\operatorname {var} (x)}}}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\beta }}&={\frac {\operatorname {cov} (x,y)}{\operatorname {var} (x)}}={\frac {\operatorname {cov} (x,\alpha +\beta x+u)}{\operatorname {var} (x)}}\\[6pt]&={\frac {\operatorname {cov} (x,\alpha +\beta x)}{\operatorname {var} (x)}}+{\frac {\operatorname {cov} (x,u)}{\operatorname {var} (x)}}=\beta ^{*}+{\frac {\operatorname {cov} (x,u)}{\operatorname {var} (x)}},\end{aligned}}}$

ここで、 はの場合の推定係数ベクトルです 。この場合、は の不偏推定量であることがわかります。が私たちが信じている基礎モデルの場合、OLS は、対象となる基礎的な因果効果を反映しない矛盾した推定値を与えます。IV は、 がと無相関であるかどうかではなく、別の変数が と無相関であるかどうかに基づいてパラメータを識別することで、この問題を修正するのに役立ちます。 がと関連している(最初のステージ) が、 とは無相関である (除外制約) ことが理論で示唆されている場合、IV は、OLS が失敗する対象となる因果パラメータを識別する可能性があります。線形の場合だけでも、IV 推定量を使用および導出する特定の方法が複数あるため (IV、2SLS、GMM)、以降の説明は推定のセクションで説明します。 ${\displaystyle \beta ^{*}}$${\displaystyle \operatorname {cov} (x,u)=0}$${\displaystyle \beta ^{*}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \operatorname {cov} (x,u)\neq 0}$${\displaystyle {\beta }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$${\displaystyle z}$${\displaystyle u}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$

IV技術は、より広範な非線形モデルの中で開発されてきた。反事実的およびグラフィカルな形式論を用いた操作変数の一般的な定義は、パール（2000年、p.248）によって与えられた。^[10]グラフィカルな定義では、Zが以下の条件を満たす必要がある。

${\displaystyle (Z\perp \!\!\!\perp Y)_{G_{\overline {X}}}\qquad (Z\not \!\!{\perp \!\!\!\perp }X)_{G}}$

ここで、 はd分離を表し、 はXに入るすべての矢印が切断された グラフを表します。${\displaystyle \perp \!\!\!\perp }$${\displaystyle G_{\overline {X}}}$

反事実的定義では、Zは以下を満たす 必要がある。

${\displaystyle (Z\perp \!\!\!\perp Y_{x})\qquad (Z\not \!\!{\perp \!\!\!\perp }X)}$

ここで、Y _{x は}、 X がxであった場合にYが達成する値を表し、独立性を表します。 ${\displaystyle \perp \!\!\!\perp }$

追加の共変量Wがある場合、上記の定義は変更され、指定された基準がW を条件として保持する場合にZ が計量変数として適格になります。

パールの定義の本質は次のとおりです。

1. 関心のある方程式は「回帰」ではなく「構造」です。
2. 誤差項U は、 X が一定に保たれているときにY に影響を与えるすべての外生要因を表します。
3. 機器Z はUから独立している必要があります。
4. Xが一定に保たれている場合、機器Z はYに影響を与えないはずです(除外制約)。
5. 機器Z はXから独立してはなりません。

これらの条件は方程式の特定の関数形式に依存しないため、非線形方程式に適用でき、U は非加法的である可能性があります（ノンパラメトリック分析を参照）。また、X（および他の要因）がいくつかの中間変数を介してYに影響を及ぼす複数の方程式のシステムにも適用できます。操作変数はXの原因である必要はありません。条件1〜5を満たす場合は、そのような原因の代理変数を使用することもできます。^[10]排除制約（条件4）は冗長であり、条件2と3から従います。

Uは観測されないため、 ZがUから独立しているという要件はデータから推測することはできず、モデル構造、つまりデータ生成プロセスから決定する必要があります。因果グラフはこの構造を表現したもので、上記のグラフィカル定義を使用すると、共変量Wのセットが与えられた場合に変数Z が操作変数として適格かどうかをすばやく判断できます。その方法を確認するには、次の例を検討してください。

大学の個別指導プログラムが成績平均点 ( GPA )に与える影響を推定するとします。個別指導プログラムへの参加と GPA の関係は、多くの要因によって交絡する可能性があります。個別指導プログラムに参加する学生は、成績を気にしている可能性があり、または勉強に苦労している可能性があります。この交絡は、右側の図 1 ～ 3 で、個別指導プログラムと GPA の間の双方向の弧を通して示されています。学生がランダムに寮に割り当てられる場合、学生の寮と個別指導プログラムの距離は、操作変数になる自然な候補です。

• 
  図1: 図書館の営業時間を考慮すると、近接性は操作変数として適格である
• 
  図2：近接性が操作変数であるかどうかを判断するために使用されます。${\displaystyle G_{\overline {X}}}$
• 
  図3: 図書館の営業時間を考慮すると、近接性は操作変数として適格ではない
• 
  図 4: 図書館の開館時間を共変量として含めない限り、近接性は操作変数として適格です。

しかし、個別指導プログラムが大学図書館内にある場合はどうなるでしょうか。その場合、近接性によって学生が図書館で過ごす時間が増え、GPA が向上する可能性があります (図 1 を参照)。図 2 に示されている因果グラフを使用すると、近接性は、近接性 → 図書館時間 → GPAというパスを介して GPA に接続されているため、操作変数としての資格を満たしていないことがわかります。ただし、図書館時間を共変量として追加して制御すると、近接性は操作変数になります。これは、図書館時間^{[引用が必要]}を考えると、近接性が GPA から切り離されるためです。 ${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle G_{\overline {X}}}$${\displaystyle G_{\overline {X}}}$

ここで、図 3 に示すように、学生の「自然な能力」が図書館で過ごす時間と GPA に影響していることに気付いたとします。因果グラフを使用すると、図書館時間はコライダーであり、それを条件にすると、近接図書館時間GPA のパスが開かれることがわかります。結果として、近接は操作変数として使用できません。 ${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle \leftrightarrow }$

最後に、図 4 に示すように、図書館で勉強しない学生は単に他の場所で勉強するため、図書館利用時間は実際には GPA に影響を与えないと仮定します。この場合、図書館利用時間を制御しても、近接性から GPA への誤ったパスが開きます。ただし、図書館利用時間を制御せず、共変量として削除すると、近接性を再び操作変数として使用できます。

ここでIVの仕組みを再度検討し、さらに詳しく見ていきましょう。データが次のようなプロセスによって生成されたと仮定します。

${\displaystyle y_{i}=X_{i}\beta +e_{i},}$

どこ

• iは観測値をインデックスし、
• ${\displaystyle y_{i}}$は従属変数のi番目の値であり、
• ${\displaystyle X_{i}}$は独立変数のi番目の値と定数のベクトルであり、
• ${\displaystyle e_{i}}$は、以外のすべての原因を表す観測されない誤差項のi番目の値であり、${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$
• ${\displaystyle \beta }$観測されないパラメータベクトルです。

パラメータ ベクトルは、 の他のすべての原因を一定に保ったまま、の各要素の 1 単位の変化が に及ぼす因果効果です。計量経済学の目標は を推定することです。簡単にするために、 eの抽出は相関がなく、同じ分散を持つ分布から抽出されていると仮定します(つまり、誤差は連続的に相関がなく、等分散)。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \beta }$

名目上同じ形式の回帰モデルも提案されていると仮定する。このプロセスからT個の観測値のランダムサンプルが与えられた場合、通常の最小二乗推定量は

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {OLS} }=(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }y=(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }(X\beta +e)=\beta +(X^{\mathrm {T} }X)^{-1}X^{\mathrm {T} }e}$

ここで、X、y、eは長さTの列ベクトルを表します。この式は、導入部の式に似ています（これはその式の行列バージョンです）。 Xとeが相関していない場合、特定の規則性条件下では、2 番目の項はXがゼロであることを条件とする期待値を持ち、極限でゼロに収束するため、推定量は偏りがなく一貫性があります。ただし、 Xと、 e項にまとめられたその他の測定されていない因果変数が相関している場合、OLS 推定量は一般に βに対して偏りがあり一貫性がありません。この場合、推定値を使用してXの値が与えられた場合にyの値を予測することは有効ですが、推定値はXのyへ の因果効果を回復しません。 ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,y)}$

基礎パラメータ を回復するために、 Xの各内生成分と高い相関があるが（基礎モデルでは）  eとは相関がない変数セットZを導入します。簡単にするために、X を定数の列と 1 つの内生変数で構成されるT × 2行列、 Z を定数の列と 1 つの操作変数で構成されるT × 2 と見なすことができます。ただし、この手法は、 X が定数と、たとえば 5 つの内生変数の行列で、Z が定数と 5 つの操作変数で構成される行列であると一般化されます。以下の説明では、XがT × K行列であると仮定し、この値Kを指定しないままにします。 XとZが両方ともT × K行列である推定量は、単に識別されたと呼ばれます。 ${\displaystyle \beta }$

各内生的要素x _iと道具変数 の関係が次のように表されるとする。

${\displaystyle x_{i}=Z_{i}\gamma +v_{i},}$

最も一般的な IV 仕様では、次の推定値が使用されます。

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }y}$

この仕様は、真のモデルでは 、サンプルが大きくなるにつれて真のパラメータに近づきます。${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }y=(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }X\beta +(Z^{\mathrm {T} }X)^{-1}Z^{\mathrm {T} }e\rightarrow \beta }$

データを生成する基礎プロセスである限り、IV 推定量を適切に使用することでこのパラメータを特定できます。これが機能するのは、IV が を満たす一意のパラメータを解き、サンプル サイズが大きくなるにつれて真の基礎パラメータに焦点を絞るためです。 ${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$${\displaystyle Z^{\mathrm {T} }e=0}$

ここで拡張して、関心のある方程式に共変量よりも多くの道具変数があると仮定します。この場合、 ZはM > KのT × M行列です。これは、しばしば過剰識別ケースと呼ばれます。この場合、一般化モーメント法（GMM）を使用できます。GMM IV推定量は、

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {GMM} }=(X^{\mathrm {T} }P_{Z}X)^{-1}X^{\mathrm {T} }P_{Z}y,}$

ここで、 は射影行列を指します。 ${\displaystyle P_{Z}}$ ${\displaystyle P_{Z}=Z(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }}$

この式は、対象の方程式内の共変量の数と計数器の数が等しい場合、最初の式に収束します。したがって、過剰識別された IV は、識別されたばかりの IV の一般化です。

m < kの場合、同等の識別不十分な推定量が存在します。パラメータは線形方程式の解であるため、方程式のセットを使用する識別不十分なモデルには一意の解がありません。 ${\displaystyle Z'v=0}$

IV 推定値の計算に使用できる計算方法の 1 つは、2 段階最小二乗法 (2SLS または TSLS) です。第 1 段階では、関心のある方程式の内生共変量である各説明変数が、関心のある方程式の外生共変量と除外された手段の両方を含むモデル内のすべての外生変数に回帰されます。これらの回帰から予測値が得られます。

ステージ1: Xの各列をZに回帰します( )。 ${\displaystyle X=Z\delta +{\text{errors}}}$

${\displaystyle {\widehat {\delta }}=(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }X,\,}$

予測値を保存します。

${\displaystyle {\widehat {X}}=Z{\widehat {\delta }}={\color {ProcessBlue}Z(Z^{\mathrm {T} }Z)^{-1}Z^{\mathrm {T} }}X={\color {ProcessBlue}P_{Z}}X.\,}$

第 2 段階では、関心対象の回帰が通常どおり推定されますが、この段階では各内生共変量が第 1 段階の予測値に置き換えられます。

ステージ 2:ステージ 1 からの予測値に Y を回帰します。

${\displaystyle Y={\widehat {X}}\beta +\mathrm {noise} ,\,}$

これにより

${\displaystyle \beta _{\text{2SLS}}=\left(X^{\mathrm {T} }{\color {ProcessBlue}P_{Z}}X\right)^{-1}X^{\mathrm {T} }{\color {ProcessBlue}P_{Z}}Y.}$

この方法は線形モデルでのみ有効です。カテゴリカルな内生共変量の場合、通常の最小二乗法とは異なる第一段階、例えば第一段階にプロビットモデルを使用し、第二段階にOLSを使用するといった方法を使用する誘惑に駆られるかもしれません。これは、第二段階のIVパラメータ推定値が特殊な場合にのみ一致するため、計量経済学の文献では禁断の回帰としてよく知られています^{[15] 。 [16]}

の推定値は、数値的には上記の式と同一です。 の共分散行列が正しく計算されるように、第 2 段階の適合モデルの残差の二乗和に若干の修正を加える必要があります。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$

構造方程式の形式が不明な場合でも、次の方程式を通じて操作変数を定義できます。 ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle x=g(z,u)\,}$

${\displaystyle y=f(x,u)\,}$

ここで、と は2つの任意の関数であり、 は とは独立しています。しかし、線形モデルとは異なり、との測定では、の平均的な因果効果（ACEと表記） を識別することはできません。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Z,X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\text{ACE}}=\Pr(y\mid {\text{do}}(x))=\operatorname {E} _{u}[f(x,u)].}$

BalkeとPearl[1997]はACEの厳密な境界を導き出し、これがACEの符号と大きさに関する貴重な情報を提供できることを示した。^[17]

線型解析では、が に対して道具的であるという仮定を否定する検定法はない。 が離散的な場合にはこの限りではない。パール（2000）は、および のすべてについて、 が上記の2つの式を満たすときはいつでも、「道具的不等式」と呼ばれる次の制約が成立することを示した。 ^[10]${\displaystyle Z}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \max _{x}\sum _{y}[\max _{z}\Pr(y,x\mid z)]\leq 1.}$

上記の説明では、関心のある因果効果は観察ごとに変化しない、つまり定数であると仮定しています。一般に、被験者によって「治療」xの変化に対する反応は異なります。この可能性が認識されると、 xの変化がyに及ぼす集団内での平均効果は、特定のサブ集団内での効果と異なる場合があります。たとえば、職業訓練プログラムの平均効果は、実際に訓練を受けるグループと訓練を受けないことを選択したグループで大幅に異なる場合があります。これらの理由から、IV 法では、行動反応に関する暗黙の仮定、またはより一般的には、治療への反応と治療を受ける傾向との相関関係に関する仮定が採用されています。^[18]${\displaystyle \beta }$

標準IV推定量は、平均処置効果（ATE）ではなく、局所平均処置効果（LATE）を回復することができます。^[1] ImbensとAngrist（1994）は、弱い条件下では、線形IV推定値は局所平均処置効果の加重平均として解釈できることを実証しています。ここで、加重は、操作変数の変化に対する内生的回帰変数の弾力性に依存します。大まかに言えば、変数の効果は、操作変数の観察された変化の影響を受けるサブポピュレーションに対してのみ明らかにされ、操作変数の変化に最も反応するサブポピュレーションは、IV推定値の大きさに最も大きな影響を与えることを意味します。

たとえば、研究者が収入回帰分析において大学教育の手段として土地付与大学の存在を使用する場合、大学があれば大学の学位を取得し、大学がなければ学位を取得しないサブグループにおける大学が収入に与える影響を特定します。この経験的アプローチは、さらなる仮定がなければ、地元の大学が存在するかどうかに関係なく、常に大学の学位を取得するか、または決して取得しない人々に対する大学の影響について研究者に何も伝えません。

バウンド、イェーガー、ベイカー（1995）が指摘しているように、問題は「弱い」道具、つまり第一段階の方程式における内生的質問予測子の予測が不十分な道具を選択することによって生じます。^[19]この場合、道具による質問予測子の予測は不十分になり、予測値の変動は非常に少なくなります。その結果、第二段階の方程式で質問予測子の代わりに道具を使用しても、最終的な結果を予測するのにそれほど成功する可能性は低くなります。

上で議論した喫煙と健康の例で言えば、喫煙状況が税の変化にほとんど反応しないのであれば、たばこ税は喫煙に対する弱い手段である。税金を高くしても人々が喫煙をやめない（あるいは喫煙を始めない）のであれば、税率の変化は喫煙が健康に与える影響について何も教えてくれない。税金が喫煙への影響以外の経路で健康に影響を与えるのであれば、手段変数は無効であり、手段変数アプローチは誤った結果をもたらす可能性がある。例えば、比較的健康志向の人口が多い場所や時期では、喫煙率を一定​​に保ったままでもたばこ税が高く、健康状態も良好である可能性があるので、喫煙が健康に影響を与えないとしても、健康とたばこ税の間に相関関係が見られることになる。この場合、たばこ税と健康の間に観察された相関関係から喫煙が健康に因果関係があると推論するのは誤りである。

内生的共変量と道具変数の両方が観測可能であるため、道具変数の強さを直接評価することができる。^[20] 1つの内生的回帰変数を持つモデルに対する一般的な経験則は、第1段階の回帰分析で除外された道具変数が無関係であるという帰無仮説に対するF統計量は10より大きくなければならないということである。

共変量が外生である場合、OLS 推定量の小標本特性は、X を条件とする推定量のモーメントを計算することによって簡単に導き出すことができます。共変量の一部が内生であり、操作変数推定が実装されている場合、推定量のモーメントの簡単な式は取得できません。一般に、操作変数推定量は、有限標本ではなく、望ましい漸近特性のみを持ち、推定は推定量の標本分布の漸近近似に基づいています。操作変数が対象の方程式の誤差と相関していない場合や、操作変数が弱くない場合でも、操作変数推定量の有限標本特性は不十分な場合があります。たとえば、正確に識別されたモデルはモーメントのない有限標本推定量を生成するため、推定量は偏りも不偏もないと言えるため、検定統計量の名目サイズは大幅に歪む可能性があり、推定値は一般にパラメーターの真の値から大きく離れる可能性があります。^[21]

操作変数が対象の方程式の誤差項と相関していないという仮定は、正確に識別されたモデルでは検証できません。モデルが過剰識別されている場合、この仮定を検証するために使用できる情報があります。これらの過剰識別制約の最も一般的なテストは、Sargan–Hansen テストと呼ばれ、操作変数が本当に外生的である場合、残差は外生変数の集合と無相関であるはずであるという観察に基づいています。^[22] Sargan–Hansen テスト統計量は、残差の外生変数の集合への OLS 回帰から(観測値の数に決定係数を乗じた値) として計算できます。この統計量は、誤差項が操作変数と無相関であるという帰無仮説の下で、 m  −  kの自由度 で漸近的にカイ 2 乗されます。${\displaystyle TR^{2}}$

• 制御機能（計量経済学）  - 内生性の問題を補正するための統計的手法
• 最適インストゥルメント – 条件付きモーメントモデルにおける推定量の効率を向上させる手法

• グリーン、ウィリアム H. (2008)。計量経済分析(第 6 版)。アッパー サドル リバー: ピアソン プレンティス ホール。pp. 314–353。ISBN 978-0-13-600383-0。
• グジャラーティ、ダモダール N. ;ポーター、ドーン C. (2009)。基礎計量経済学(第 5 版)。ニューヨーク: マグロウヒル アーウィン。pp. 711–736。ISBN 978-0-07-337577-9。
• サーガン、デニス(1988)。『上級計量経済理論講義』オックスフォード:バジル・ブラックウェル。pp. 42–67。ISBN 978-0-631-14956-9。
• ウールドリッジ、ジェフリー・M（2013）。『入門計量経済学：現代的アプローチ』（第5版）。オハイオ州メイソン：サウスウェスタン。pp.490–528。ISBN 978-1-111-53439-4。

• Wooldridge, J. (1997): カウントデータのための準尤度法、応用計量経済学ハンドブック、第 2 巻、MH Pesaran および P. Schmidt 編、オックスフォード、ブラックウェル、pp. 352–406
• Terza, JV (1998):「内生的スイッチングによるカウント モデルの推定: サンプル選択と内生的処理効果」Journal of Econometrics (84)、pp. 129–154
• Wooldridge, J. (2002) 「クロスセクションとパネルデータの計量分析」、MIT Press、マサチューセッツ州ケンブリッジ。

• ダニエル・マクファデンの教科書からの章
• Mark ThomaによるYouTubeでの計量経済学の講義 (トピック: 操作変数) 。
• マーク・トーマによるYouTubeでの計量経済学講義 (トピック: 2 段階最小二乗法)