ポアンカレ二重性

数学において、アンリ・ポアンカレにちなんで名付けられたポアンカレ双対性定理は、多様体のホモロジー群とコホモロジー群の構造に関する基本的な結果である。この定理は、Mがn次元の向き付けられた閉多様体（コンパクトで境界がない）である場合、すべての整数kに対して、 Mのk番目のコホモロジー群はMの( n − k )番目のホモロジー群と同型であると述べている。

${\displaystyle H^{k}(M)\cong H_{nk}(M).}$

ポアンカレ双対性は、係数環に関して向き付けがなされている限り、任意の係数環に対して成り立ちます。特に、すべての多様体は法2に関して一意の向きを持つため、ポアンカレ双対性は向き付けの仮定なしに法2に関して成り立ちます。

ポアンカレ双対性の一形態は、1893 年にアンリ・ポアンカレによって証明なしに初めて述べられた。それはベッチ数を用いて次のように述べられた。閉じた（すなわちコンパクトで境界のない）向き付け可能なn次元多様体のk番目のベッチ数と( n − k )番目のベッチ数は等しい。コホモロジーの概念が明確化されるまでには、当時約 40 年を要した。1895 年の論文「Analysis Situs」で、ポアンカレは自身が考案した位相的交差理論を用いて定理を証明しようと試みた。ポール・ヘーガードによる彼の研究に対する批判により、彼は自身の証明に重大な欠陥があることに気づいた。「Analysis Situs」の最初の 2 つの補遺で、ポアンカレは双対三角分割を用いて新たな証明を与えた。

ポアンカレ双対性が現代的な形をとるようになったのは、1930年代にコホモロジーが登場し、エドゥアルト・チェフとハスラー・ホイットニーがカップ積とキャップ積を発明し、これらの新しい用語を用いてポアンカレ双対性を定式化してからである。

ポアンカレ双対性定理の現代的な表現は、ホモロジーとコホモロジーの観点から次のように表される。Mが閉じた向き付けられたn次元多様体である場合、標準的に定義された同型写像が存在する 。${\displaystyle H^{k}(M,\mathbb {Z} )\to H_{nk}(M,\mathbb {Z} )}$任意の整数kに対して。このような同型を定義するには、Mの固定された基本クラス[ M ] を選択する。これは、次の場合に存在します。${\displaystyle M}$は方向付けられている。次に、要素をマッピングすることによって同型が定義される。${\displaystyle \alpha \in H^{k}(M)}$キャップ製品へ${\displaystyle [M]\frown \alpha }$[ ^{1 ]​}

ホモロジー群とコホモロジー群は負の次数に対してゼロと定義されるため、特にポアンカレ双対性は、向き付け可能な閉じたn次元多様体のホモロジー群とコホモロジー群がnより大きい次数に対してゼロであることを意味します。

ここでは、ホモロジーとコホモロジーは積分ですが、同型性は任意の係数環上で有効です。向き付けられた多様体がコンパクトでない場合は、ホモロジーをボレル・ムーアホモロジーに置き換える必要があります。

${\displaystyle H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{ni}^{BM}(X),}$

または、コホモロジーをコンパクトサポートを持つコホモロジーに置き換える

${\displaystyle H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{ni}(X).}$

三角形分割された多様体に対して、対応する双対多面体分解が存在する。双対多面体分解は、多様体のセル分解であり、双対多面体分解のkセルは ( と全単射で対応している)${\displaystyle nk}$)-三角形分割のセルであり、双対多面体の概念を一般化したものである。

正確には、${\displaystyle T}$の三角測量である${\displaystyle n}$-多様体${\displaystyle M}$。 させて${\displaystyle S}$単体である${\displaystyle T}$。 させて${\displaystyle \Delta }$の上位次元単体である${\displaystyle T}$含む${\displaystyle S}$なので、${\displaystyle S}$頂点のサブセットとして${\displaystyle \Delta }$デュアルセルを定義する${\displaystyle DS}$に対応する${\displaystyle S}$となることによって${\displaystyle \Delta \cap DS}$凸包は​${\displaystyle \Delta }$頂点のすべての部分集合の重心の${\displaystyle \Delta }$含まれる${\displaystyle S}$確認できるのは、${\displaystyle S}$は${\displaystyle i}$次元の場合、${\displaystyle DS}$は${\displaystyle (ni)}$次元セル。さらに、デュアルセルは${\displaystyle T}$CW分解を形成する${\displaystyle M}$、そして唯一の（${\displaystyle ni}$)次元のデュアルセルが交差する${\displaystyle i}$-細胞${\displaystyle S}$は${\displaystyle DS}$こうしてペアリングされる${\displaystyle C_{i}M\otimes C_{ni}M\to \mathbb {Z} }$交差を取ることによって得られる同型性${\displaystyle C_{i}M\to C^{\,ni}M}$、 どこ${\displaystyle C_{i}}$三角形分割の細胞相同性${\displaystyle T}$、 そして${\displaystyle C_{ni}M}$そして${\displaystyle C^{\,ni}M}$これらはそれぞれ、多様体の双対多面体/CW分解のセルホモロジーとコホモロジーである。これが鎖状複体の同型写像であるという事実は、ポアンカレ双対性の証明である。大まかに言えば、これは三角形分割の境界関係が${\displaystyle T}$は、対応関係の下での双対多面体分解の関連性である。${\displaystyle S\longmapsto DS}$。

多様体Mがコンパクトで境界がなく、向き付け可能であると仮定して、

${\displaystyle \tau H_{i}M}$

のねじれ部分群を表す${\displaystyle H_{i}M}$そして

${\displaystyle fH_{i}M=H_{i}M/\tau H_{i}M}$

自由部分とは、このセクションで整数係数で取られたすべてのホモロジー群のことです。次に、双対ペアリングである双線形写像があります（以下で説明します）。

${\displaystyle fH_{i}M\otimes fH_{ni}M\to \mathbb {Z} }$

そして

$\displaystyle \tau H_{i}M\otimes \tau H_{ni-1}M\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$。

ここ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$は、有理数を整数で割った商であり、加法群として考えます。ねじれ連結形式では、次元に −1 があるため、ペアになった次元の合計はnではなくn − 1になります。

最初の形式は一般的に交差積と呼ばれ、2番目の形式はねじれ連結形式と呼ばれます。 多様体M が滑らかであると仮定すると、交差積は、ホモロジー類を横断的に摂動させ、それらの向き付けられた交差数を計算することによって計算されます。ねじれ連結形式の場合、nxを何らかのクラスzの境界として実現することにより、xとyのペアリングを計算します。この形式は、分子がzとyの横断的交差数であり、分母がnである分数に等しい値をとります。

ペアリングが双対ペアリングであるという記述は、随伴写像が

${\displaystyle fH_{i}M\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(fH_{ni}M,\mathbb {Z} )}$

そして

${\displaystyle \tau H_{i}M\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(\tau H_{ni-1}M,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$

これらは群の同型写像である。

この結果はポアンカレ双対性の応用である。

${\displaystyle H_{i}M\simeq H^{ni}M}$、

普遍係数定理と合わせて、識別を与える

${\displaystyle fH^{n-i}M\equiv \mathrm {Hom} (H_{n-i}M;\mathbb {Z} )}$

そして

${\displaystyle \tau H^{n-i}M\equiv \mathrm {Ext} (H_{n-i-1}M;\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{n-i-1}M;\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$。

したがって、ポアンカレ双対性は次のように述べている。${\displaystyle fH_{i}M}$そして${\displaystyle fH_{n-i}M}$同型であるが、同型を与える自然な写像はなく、同様に${\displaystyle \tau H_{i}M}$そして${\displaystyle \tau H_{n-i-1}M}$それらは同型であるが、自然な同型ではない。

中間寸法

ほとんどの次元では、ポアンカレ双対性は異なるホモロジー群間の双線形ペアリングを誘導するが、中間次元では単一のホモロジー群上の双線形形式を誘導する。結果として得られる交差形式は、非常に重要な位相不変量である。

「中間次元」の意味はパリティによって異なる。より一般的な偶数次元n = 2kの場合、これは文字通り中間次元kであり、中間ホモロジーの自由部分には次のような形式が存在する。

${\displaystyle fH_{k}M\otimes fH_{k}M\to \mathbb {Z} }$

対照的に、あまり議論されない奇数次元n = 2 k + 1の場合、最も単純には下位の中間次元kであり、その次元のホモロジーのねじれ部分には次のような形式が存在する。

${\displaystyle \tau H_{k}M\otimes \tau H_{k}M\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

しかし、下中間次元kと上中間次元k +1のホモロジーの自由部分の間にもペアリングが存在する。

${\displaystyle fH_{k}M\otimes fH_{k+1}M\to \mathbb {Z} .}$

結果として得られる群は、双線形形式を持つ単一の群ではないが、単純な鎖複体であり、代数的L理論で研究されている。

アプリケーション

このポアンカレ双対性へのアプローチは、Józef PrzytyckiとAkira Yasuharaによって、3次元レンズ空間の基本的なホモトピーと微分同相分類を与えるために使用されました。^{[ 2 ]}

ポアンカレ双対性から直ちに導かれる結果として、任意の奇数次元の閉じた多様体Mはオイラー標数がゼロであり、それによって、境界を持つ任意の多様体は偶数のオイラー標数を持つことがわかる。

ポアンカレ双対性はトム同型定理と密接に関連している。${\displaystyle M}$はコンパクトで境界のない向き付けられたn次元多様体であり、M × MはMとそれ自身との積である。VをM × Mの対角線の開いた管状近傍とする。次の写像を考える。

• ${\displaystyle H_{*}M\otimes H_{*}M\to H_{*}(M\times M)}$相同性クロス積
• ${\displaystyle H_{*}(M\times M)\to H_{*}\left(M\times M,(M\times M)\setminus V\right)}$包括性。
• ${\displaystyle H_{*}\left(M\times M,(M\times M)\setminus V\right)\to H_{*}(\nu M,\partial \nu M)}$切除マップ${\displaystyle \nu M}$対角線上の通常のディスク束は${\displaystyle M\times M}$。
• ${\displaystyle H_{*}(\nu M,\partial \nu M)\to H_{*-n}M}$トム同型写像。この写像は標準的な識別が存在するため、明確に定義されている。${\displaystyle \nu M\equiv TM}$これは向き付けられた束なので、トム同型が適用される。

これらを組み合わせると地図ができます${\displaystyle H_{i}M\otimes H_{j}M\to H_{i+j-n}M}$これは交差積であり、上で説明した交差積を一般化したものである。キュンネスの定理を用いた同様の議論により、ねじれ連結形式が得られる。

このポアンカレ双対性の定式化は、任意の一般化ホモロジー理論に対して、キュンネスの定理とトム同型が与えられた場合にポアンカレ双対性を定義するため、人気を博している^{[ 3 ]} 。ホモロジー理論に対するトム同型定理は、現在ではその理論の向き付け可能性の一般化された概念と見なされている。例えば、多様体上のスピン^C構造は、複素位相k理論における向き付けの正確な類似物である。

ポアンカレ・レフシェッツ双対性定理は、境界を持つ多様体に対する一般化である。非可定向の場合、局所的な向き付けの層を考慮に入れると、向き付け可能性に依存しない命題を与えることができる。ねじれポアンカレ双対性を参照のこと。

ブランシュフィールド双対性は、ポアンカレ双対性の一種であり、多様体のアーベル被覆空間のホモロジーと、コンパクトな台を持つ対応するコホモロジーとの間の同型写像を提供する。これは、アレクサンダー加群に関する基本的な構造的結果を得るために用いられ、結び目の符号を定義するためにも使用できる。

1955年頃からホモロジー理論がK理論やその他の特異な理論を含むように発展するにつれて、ホモロジーが${\displaystyle H'_{*}}$多様体上の積が構築されると、他の理論に置き換えることが可能になり、現在では一般論的な教科書的な解説も存在する。より具体的には、一般化ホモロジー理論に対する一般的なポアンカレ双対性定理があり、これはホモロジー理論に対する向きの概念を必要とし、一般化トム同型定理の観点から定式化される。この点において、トム同型定理は、一般化ホモロジー理論に対するポアンカレ双対性の着想源とみなすことができる。

ヴェルディエ双対性は、解析空間やスキームなどの（場合によっては特異な）幾何学的対象への適切な一般化である一方、交差ホモロジーは、実代数多様体や複素代数多様体などの層状空間に対して、ポアンカレ双対性をそのような層状空間に一般化するために、ロバート・マクファーソンとマーク・ゴレスキーによって開発された。

代数トポロジーには、レフシェッツ双対性、アレクサンダー双対性、ホッジ双対性、S双対性など、他にも多くの幾何学的双対性が存在する。

より代数的に言えば、ポアンカレ複体という概念を抽象化することができる。これは、多様体の特異鎖複体のように振る舞う代数的対象であり、特に、特定の要素（基本クラスに対応）に関して、そのホモロジー群上でポアンカレ双対性を満たす。これらは、外科理論において多様体に関する問題を代数化するために用いられる。ポアンカレ空間とは、その特異鎖複体がポアンカレ複体である空間のことである。これらはすべて多様体ではないが、多様体でないことは、障害理論によって測定できる。

• ブルハット分解
• 基礎クラス
• ワイルグループ

• ブランシュフィールド、リチャード C. (1957)、「作用素を持つ多様体の交差理論と結び目理論への応用」、Annals of Mathematics、65 (2): 340–356、doi : 10.2307/1969966、JSTOR 1969966、MR 0085512  
• グリフィス、フィリップ；ハリス、ジョセフ（1994）、『代数幾何学の原理』、ワイリー・クラシックス・ライブラリー、ニューヨーク：ワイリー、ISBN 978-0-471-05059-9MR 1288523​ 

• 多様体アトラスにおける交差形状
• マニフォールドアトラスのリンクフォーム