レフシェッツの二重性

数学において、レフシェッツ双対性は、境界を持つ多様体に適用された、幾何学的位相幾何学におけるポアンカレ双対性の一種である。このような定式化は、ソロモン・レフシェッツ(1926)によって導入され 、同時に相対ホモロジーも導入され、レフシェッツ不動点定理に適用された。^{[1]現在、レフシェッツ双対性、}ポアンカレ–レフシェッツ双対性、アレクサンダー–レフシェッツ双対性の定式化は数多く存在する。

M をn次元の向き付け可能な コンパクト 多様体、境界を とし、を多様体Mの基本類とする。すると、z (またはコホモロジーにおけるその双対類)とのキャップ積により、 Mの(コ)ホモロジー群のペアリングと、ペア の相対的 (コ) ホモロジーが誘導される。さらに、これにより、すべての に対してとの同型、およびとの同型が生じる。^[2]${\displaystyle \partial (M)}$${\displaystyle z\in H_{n}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )}$${\displaystyle (M,\partial (M))}$${\displaystyle H^{k}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )}$${\displaystyle H_{nk}(M;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle H_{k}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )}$${\displaystyle H^{nk}(M;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle k}$

ここでは実際には空になる可能性があるため、ポアンカレ双対性はレフシェッツ双対性の特殊なケースとして現れます。 ${\displaystyle \partial (M)}$

三つ組のバージョンもあります。 を部分空間AとBに分解します。これらはコンパクトな有向多様体で、共通の境界Zを持ち、 AとBの交差です。すると、各 に対して同型性^[3]が存在します。${\displaystyle \partial (M)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle D_{M}\colon H^{k}(M,A;\mathbb {Z} )\to H_{nk}(M,B;\mathbb {Z} ).}$

• 「レフシェッツ双対性」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• レフシェッツ、ソロモン(1926)、「境界を持つ多様体の変換」、米国科学アカデミー紀要、12 (12)、米国科学アカデミー: 737– 739、Bibcode :1926PNAS...12..737L、doi : 10.1073/pnas.12.12.737、ISSN  0027-8424、JSTOR  84764、PMC  1084792、PMID  16587146