量子井戸

ポテンシャルが無限に高いため、解の波動関数は井戸の障壁領域には存在できません。したがって、以下の境界条件を課すことで、許容される波動関数が得られます。

${\displaystyle \psi (0)=\psi (d)=0.}$

解の波動関数は次の形式をとる。

${\displaystyle \psi _{n}(z)={\sqrt {\frac {2}{d}}}\sin(k_{n}z)\qquad k_{n}={\frac {n\pi }{d}}.}$

下付き文字${\displaystyle n}$、（${\displaystyle n>0}$)は整数量子数を表し、${\displaystyle k_{n}}$は、上記で示した各状態に対応する波数ベクトルです。対応する離散エネルギーは次のように与えられます。

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m_{\text{w}}^{*}}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{w}}^{*}}}\left({\frac {n\pi }{d}}\right)^{2}.}$

単純な無限井戸モデルは、量子井戸システムの物理と量子閉じ込め効果を分析するための良い出発点となる。このモデルは、井戸内のエネルギーが井戸の長さの二乗に反比例することを正しく予測する。これは、半導体層の幅、すなわち井戸の長さを精密に制御することで、井戸内のキャリアに許容されるエネルギー準位を精密に制御できることを意味する。これは、バンドギャップエンジニアリングにとって非常に有用な特性である。さらに、このモデルは、エネルギー準位が有効質量の逆数に比例することを示している。したがって、重い正孔と軽い正孔は、井戸に捕捉されたときに異なるエネルギー状態を持つことになる。重い正孔と軽い正孔は、曲率の異なる価電子帯の最大値が一致するときに発生し、結果として2つの異なる有効質量が生じる。^{[ 4 ]}

無限井戸モデルの欠点は、実際の量子井戸の壁は有限であるため、存在するエネルギー状態よりもはるかに多くのエネルギー状態を予測してしまう点です。また、このモデルは、実際には波動関数が井戸の境界でゼロになるのではなく、（量子トンネル効果によって）壁に「漏れ込み」、指数関数的にゼロに減衰するという事実を無視しています。この特性は、超格子やその他の新しい量子井戸デバイスの設計と製造を可能にし、有限井戸モデルによってより適切に説明されます。

関連する境界条件と、波動関数が井戸の端で連続でなければならないという条件を用いると、波数ベクトルの解が得られる。${\displaystyle k}$以下の超越方程式を満たすもの：

${\displaystyle \tan \left({\frac {k_{n}d}{2}}\right)={\frac {m_{\text{w}}^{*}\kappa }{m_{\text{b}}^{*}k_{n}}}\quad {\text{(even)}}}$

そして

${\displaystyle \tan \left({\frac {k_{n}d}{2}}\right)=-{\frac {m_{\text{b}}^{*}k_{n}}{m_{\text{w}}^{*}\kappa }}\quad {\text{(odd)}},}$

どこ${\displaystyle \kappa }$は障壁領域における指数関数的減衰定数であり、障壁領域で波動関数がゼロに減衰する速さの尺度です。井戸内の量子化されたエネルギー固有状態は、波数ベクトルと量子数 (${\displaystyle n}$) は次のように与えられます。

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m_{\text{w}}^{*}}}.}$

指数関数的減衰定数${\displaystyle \kappa }$次のように与えられます。

${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {2m_{\text{b}}^{*}(V_{0}-E_{n})}}{\hbar }}}$

それは束縛キャリアの固有状態に依存する${\displaystyle E_{n}}$井戸の深さ${\displaystyle V_{0}}$、バリア領域内のキャリアの実効質量、${\displaystyle m_{\text{b}}^{*}}$。

上記の超越方程式の解は、数値的または図解的方法を用いて容易に求めることができます。一般的に解はごく少数しかありません。しかし、ポテンシャルがどれほど小さくても、必ず少なくとも1つの解が存在し、井戸内には1つの束縛状態が存在します。無限井戸と同様に、井戸内の波動関数は正弦波状ですが、井戸の障壁内で指数関数的に減衰します。このため、量子井戸の束縛エネルギー状態は無限井戸に比べて減少します。^{[ 4 ]}

従来の単接合型太陽電池では、生成される電力は光電流とダイオード両端の電圧の積です。^{[ 17 ]}半導体はバンドギャップよりも高いエネルギーの光子のみを吸収するため、バンドギャップが小さい材料は太陽の放射スペクトルをより多く吸収し、結果として電流が大きくなります。達成可能な最大開放電圧は、材料の内蔵バンドギャップです。^{[ 17 ]}半導体のバンドギャップは電流と電圧の両方を決定するため、太陽電池の設計は常に、低いバンドギャップで電流出力を最大化することと、高いバンドギャップで電圧出力を最大化することのトレードオフになります。^{[ 18 ]}従来の太陽電池の効率の理論上の最大限界はわずか31%と決定されており、最高のシリコンデバイスでも最適な限界は25%です。^{[ 17 ]}

量子井戸 (QW) の導入により、単接合歪み QW シリコン デバイスの効率限界は 28.3% に上昇しました。^{[ 17 ]}この上昇は、内部電圧を決定する障壁材料のバンドギャップによるものです。一方、QW のバンドギャップが吸収限界を決定します。^{[ 17 ]}バーナムのグループは、p-i-n 接合フォトダイオードの実験で、QW を空乏領域に配置するとデバイスの効率が上昇することを示しました。^{[ 19 ]}研究者らは、結果として生じる増加は、吸収スペクトルに低エネルギーが含まれることによる新しいキャリアと光電流の生成が、量子井戸に捕捉されたキャリアの再結合による端子電圧の低下を上回ることを示していると推測しています。さらに研究を進めた結果、光電流の増加は吸収スペクトルの赤方偏移に直接関係していることが明らかになりました。^{[ 19 ]}

現在、非量子井戸型太陽電池の中で、III/V族多接合型太陽電池が最も効率が高く、高集光太陽光下で最大46%の効率を記録しています。多接合型太陽電池は、異なるバンドギャップの複数のピン接合を積み重ねることによって作られます。^{[ 9 ]}異なるバンドギャップの量子井戸をより多く導入することで、吸収スペクトルに太陽放射をより多く取り込むことにより、太陽電池の効率が向上します。バンドギャップと格子定数の直接的な関係が、多接合型太陽電池の進歩を妨げています。量子井戸（QW）をより多く一緒に成長させると、格子定数の変化により材料に転位が生じます。転位は拡散長とキャリア寿命を減少させます。^{[ 9 ]} したがって、量子井戸は、結晶転位を最小限に抑えた多接合型太陽電池への代替アプローチを提供します。

バンドギャップエネルギー

研究者たちは、量子井戸（QW）を用いて結晶転位を最小限に抑えた高品質の材料を成長させ、光吸収とキャリア収集の効率を高めて、より高効率な量子井戸太陽電池を実現しようとしている。バンドギャップの調整可能性は、研究者たちが太陽電池を設計する上で役立つ。量子井戸のバンドギャップエネルギーと、立体歪みによるバンドギャップエネルギーのシフト（量子閉じ込めシュタルク効果（QCSE）と量子サイズ効果（QSE））の関数として、有効バンドギャップを推定することができる。^{[ 9 ]}

${\displaystyle E_{G,{\text{eff}}}=E_{G}^{\text{well,relaxed}}+\Delta E_{G}^{\text{strain}}+\Delta E_{G}^{\text{QSE}}+\Delta E_{G}^{\text{QCSE}}}$

材料の歪みはバンドギャップエネルギーに2つの影響を及ぼします。1つ目は伝導帯と価電子帯の相対エネルギーの変化です。このエネルギー変化は歪みによって影響を受け、${\displaystyle \epsilon }$弾性剛性係数、${\displaystyle C_{11}}$そして${\displaystyle C_{12}}$、および静水圧変形ポテンシャル、${\displaystyle a}$[ ^{9 ] [ 20 ]​}

${\displaystyle \Delta E=-2a\left({\frac {C_{11}-C_{12}}{C_{11}}}\right)\epsilon }$

第二に、歪みにより、重ホールと軽ホールの縮退が分裂する。強く圧縮された材料では、重ホール（hh）はより高いエネルギー状態へ移動する。引張材料では、軽ホール（lh）はより高いエネルギー状態へ移動する。^{[ 9 ] [ 21 ]}せん断変形ポテンシャルから、hhとlhの分裂によるエネルギーの差を計算することができる。${\displaystyle b}$、 歪み、${\displaystyle \epsilon }$、および弾性剛性係数、${\displaystyle C_{11}}$そして${\displaystyle C_{12}}$[ ^{21 ]​}

${\displaystyle \Delta E_{\text{hh}}=b\left({\frac {C_{11}+2C_{12}}{C_{11}}}\right)\epsilon }$

${\displaystyle \Delta E_{\text{lh}}=-b\left({\frac {C_{11}+2C_{12}}{C_{11}}}\right)\epsilon }$

量子閉じ込めシュタルク効果は、井戸の厚さに依存したバンドギャップのシフトを引き起こします。${\displaystyle q}$は基本電荷です。${\displaystyle L_{\text{eff,CB}}}$そして${\displaystyle L_{\text{eff,VB}}}$はそれぞれ、伝導帯および価電子帯における量子井戸の実効幅である。${\displaystyle F}$は圧電分極および自発分極による誘導電場であり、${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数であり、エネルギーシフトは次のようになります。^{[ 9 ]}

${\displaystyle \Delta E_{G}^{\text{QCSE}}=\left({\frac {15-\pi ^{2}}{24\pi ^{2}}}\right)\left({\frac {m_{e}^{*}L_{\text{eff,CB}}^{4}+m_{\text{h}}^{*}L_{\text{eff,VB}}^{4}}{\hbar ^{2}}}\right)qF^{2}}$

量子サイズ効果（QSE）とは、電荷キャリアのボーア半径が井戸のサイズよりも大きい場合に、閉じ込めによって電荷キャリアが受けるエネルギーの離散化のことです。量子井戸の厚さが増加すると、QSEは減少します。QSEの減少は、${\displaystyle n=1}$状態が下に移動し、実効バンドギャップが減少する。^{[ 9 ]}量子状態の計算にはクロニッヒ・ペニーモデルが使用され、^{[ 22 ]}アンダーソンのルールが適用されて伝導帯と価電子帯のエネルギーオフセットが推定される。^{[ 23 ]}

1.1～1.3 eV の範囲で 、Sayed ら^{[ 9 ]は、Spectrolab [ 25 ]}による Ge 基板上の変成 InGaAs バルク サブセルの外部量子効率(EQE)を Fuji ら[ 26 ]による 100 周期の In _0.30 Ga _0.70 As(3.5 nm)/GaAs(2.7 nm)/ GaAs _0.60 P _0.40 (3.0 nm) QWSC と比較している。^{バルク材料は 880 ～} 900 nm 領域で QW よりも高い EQE 値を示すが、QW は 400～600 nm の範囲でより高い EQE 値を示す。^{[ 9 ]この結果は、歪みのバランスとキャリア輸送の問題により、QW の吸収閾値を}長波長に拡張することに苦労していることを示す証拠となる。しかし、バルク材料は変形が多く、少数キャリア寿命が低くなる。^{[ 9 ]}     

1.6～1.8 eV の範囲では、Heckelman ら^{[ 27 ]} による格子整合 AlGaAsと Jain ら [ 28 ] による InGaAsPが Sayed ^{[ 9 ]}によって格子整合 InGaAsP/InGaP QW 構造と比較されている^{[ 29 ] 1.1 ～} 1.3 eV の範囲と同様に、バルク材料の EQE はスペクトルの長波長領域で高くなっていますが、QW はスペクトルのより広い領域を吸収するという点で有利です。^さらに、 QW はより低い温度で成長させることができ、熱劣化を防ぐことができます。^{[ 9 ]} 

量子井戸を多くのデバイスに適用することは、これらのデバイスのエネルギー効率を高めるための有効な解決策です。レーザーにおいては、この改良によって既にLEDのような大きな成果が得られています。量子井戸太陽電池（QWSC）を用いることで、太陽光からエネルギーを収穫する手法は、より多くの太陽光を吸収し、電荷キャリアからより効率的にエネルギーを捕捉できるため、より強力なエネルギー生成方法となります。QWSCのような有効な選択肢は、温室効果ガスを排出するエネルギー源から、より環境に優しい代替エネルギーである太陽エネルギーへと移行する機会を人々に提供します。