半円形のポテンシャル井戸

量子力学では、 1次元リング内の粒子のケースは、箱内の粒子のケースに似ています。粒子は、からへの半円の経路をたどりますが、そこからは逃げることができません。これは、から へのポテンシャルが無限大であるためです。代わりに全反射があり、粒子はからの間を行ったり来たりします。半円に制限された自由粒子（技術的には、その配置空間は円） のシュレーディンガー方程式は、${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi}$ ${\displaystyle S^{1}}$

1次元半円上の円筒座標を用いると、波動関数は角 座標のみに依存するので、

ラプラシアンを円筒座標に代入すると、波動関数は次のように表される。

半円の慣性モーメントは、円筒座標で最もよく表現され、 です。積分を解くと、半円の慣性モーメントは であり、同じ半径の輪の場合とまったく同じであることがわかります。これで、波動関数は と表すことができ、これは簡単に解くことができます。 ${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\ファイ\,dz\!}$${\displaystyle I=ms^{2}}$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi }$

粒子はからの領域から脱出できないので、この微分方程式の一般解は ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi}$

を定義すると、エネルギーを として計算できます。次に、境界条件を適用します。ここで、と は連続であり、波動関数は正規化可能です。 ${\textstyle m={\sqrt {\frac {2IE}{\hbar ^{2}}}}}$${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle {\frac {d\psi }{d\phi }}}$

無限平方井戸と同様に、最初の境界条件は波動関数がとの両方で0に等しいことを要求します。基本的に ${\displaystyle \phi =0}$${\displaystyle \phi =\pi }$

波動関数 なので、係数 A は のため 0 に等しくなければなりません。波動関数 は においても 0 に等しいので、この境界条件を適用しなければなりません。B = 0である自明な解を捨てて、 なのでm が整数のときのみ波動関数となります。この境界条件は、エネルギーが に等しいところでエネルギーを量子化します。ここでm は任意の整数です。条件m =0 はどこでも であるため除外され、粒子はポテンシャル内にまったく存在しないことを意味します。負の整数も、正規化条件で容易に吸収されるため除外されます。 ${\displaystyle \psi (0)=0}$${\displaystyle \cos(0)=1}$${\displaystyle \phi =\pi }$${\displaystyle \psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )}$${\displaystyle \sin(n\pi)=0}$${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$${\displaystyle \psi =0}$

次に波動関数を正規化すると、 という結果が得られます。正規化された波動関数は ${\textstyle B={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$

システムの基底状態エネルギーは です。箱の中の粒子のように、システムの励起状態には と が両方とも0 であるノードが存在し、これはこれらのノードで粒子が見つかる確率が 0 であることを意味します。 ${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}}{2I}}}$${\displaystyle \psi (\phi )}$${\displaystyle \psi (\phi )^{2}}$

波動関数は方位角 のみに依存するため、システムの測定可能な量は、それぞれ演算子 と で表される角位置と角運動量です。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle L_{z}}$

円筒座標を使用すると、演算子とがそれぞれおよびとして表現され、これらの観測値は箱の中の粒子の位置と運動量と同様の役割を果たします。角位置と角運動量の交換関係と不確定性関係は次のように与えられます。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle L_{z}}$${\displaystyle \phi}$${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{d\phi }}}$

すべての量子力学の問題と同様に、境界条件が変化すると波動関数も変化します。粒子が 0 から までの範囲のリング全体の運動に制限されている場合、粒子は周期境界条件のみに従います (リング内の粒子を参照)。粒子がから までの動きに制限されている場合、偶奇パリティの問題が重要になります。 ${\displaystyle 2\pi }$${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

このようなポテンシャルの波動方程式は次のように与えられます。

ここで、 はそれぞれ奇数mと偶数mを表します。 ${\displaystyle \psi _{\rm {o}}(\phi )}$${\displaystyle \psi _{\rm {e}}(\phi )}$

同様に、半円形のポテンシャル井戸が有限井戸である場合、解は、角度演算子とが線形演算子xとpに置き換わった有限ポテンシャル井戸の解に似たものになります。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle L_{z}}$

• リング内の粒子
• 箱の中の粒子
• 有限ポテンシャル井戸
• デルタ関数ポテンシャル
• 箱入りガス
• 球対称ポテンシャル内の粒​​子