量子閉じ込めシュタルク効果

量子閉じ込めシュタルク効果（QCSE ）は、外部電場が量子井戸（QW）の光吸収スペクトルまたは発光スペクトルに及ぼす影響を表します。外部電場がない場合、量子井戸内の電子と正孔は、離散的なエネルギーサブバンドセット内の状態のみを占めることができます。システムの吸収または放出される光の周波数は、離散的なセットのみです。外部電場が適用されると、電子状態はより低いエネルギーにシフトし、正孔状態はより高いエネルギーにシフトします。これにより、許容される光吸収または放出周波数が低下します。さらに、外部電場は電子と正孔を井戸の反対側にシフトさせ、重なり積分を減少させ、システムの 再結合効率（蛍光量子収率）を低下させます。 ^[1] 電子と正孔の空間的分離は、量子井戸の周囲のポテンシャル障壁の存在によって制限されるため、電場の影響下でもシステム内に励起子が存在できます。量子閉じ込めシュタルク効果はQCSE光変調器に利用されており、光通信信号のオン/オフを高速に切り替えることができます。^[2]

量子物体（例えば、井戸、ドット、ディスク）が一般に物質のバンドギャップよりも高いエネルギーで光を放出したり吸収したりする場合でも、QCSE はエネルギーをギャップよりも低い値にシフトする可能性があります。これは最近、ナノワイヤに埋め込まれた量子ディスクの研究で証明されました。^[3]

吸収線のシフトは、バイアスのない量子井戸とバイアスのある量子井戸のエネルギー レベルを比較することで計算できます。バイアスのないシステムでは、対称性があるため、エネルギー レベルを見つける方が簡単です。外部電場が小さい場合は、バイアスのないシステムに対する摂動として扱うことができ、摂動論を使用してそのおおよその効果を見つけることができます。

量子井戸のポテンシャルは次のように表される。

${\displaystyle V(z)={\begin{cases}0;&|z|<L/2\\V_{0};&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$、

ここで、は井戸の幅、 はポテンシャル障壁の高さです。井戸内の束縛状態は離散エネルギーのセットにあり、関連する波動関数はエンベロープ関数近似を使用して次のように表すことができます。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\phi _{n}(z){\frac {1}{\sqrt {A}}}e^{i(k_{x}\cdot {x} +k_{y}\cdot {y})}u(\mathbf {r} ).}$

この式では、は量子化方向に垂直なシステムの断面積であり、はバルク半導体のエネルギーバンドエッジの周期的なブロッホ関数であり、はシステムのゆっくり変化するエンベロープ関数です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle u(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \phi _{n}(z)}$

量子井戸が非常に深い場合、箱の中の粒子モデルで近似することができます。この簡略化されたモデルでは、束縛状態の波動関数の解析的表現は、次の形式で存在します。 ${\displaystyle V_{0}\to \infty }$

${\displaystyle \phi _{n}(z)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\times {\begin{cases}\cos \left({\frac {n\pi z}{L}}\right)&n\,{\text{odd}}\\\sin \left({\frac {n\pi z}{L}}\right)&n\,{\text{even}}\end{cases}}.}$

束縛状態のエネルギーは

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}n^{2}\pi ^{2}}{2m^{*}L^{2}}},}$

ここで、これは特定の半導体における電子の 有効質量です。${\displaystyle m^{*}}$

電場がZ方向に偏っていると仮定すると、

${\displaystyle \mathbf {F} =F\mathbf {z} ,}$

摂動ハミルトニアン項は

${\displaystyle H'=eFz.}$

対称性のため、エネルギーレベルに対する一次補正はゼロになります。

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|eFz|n^{(0)}\rangle =0}$。

2次の補正は、例えばn=1の場合、

${\displaystyle E_{1}^{(2)}=\sum _{k\neq 1}{\frac {|\langle k^{(0)}|eFz|1^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{1}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}\approx {\frac {|\langle 2^{(0)}|eFz|1^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{1}^{(0)}-E_{2}^{(0)}}}=-24\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{6}{\frac {e^{2}F^{2}m_{e}^{*}L^{4}}{\hbar ^{2}}}}$

電子の場合、kが偶数でkが2より大きい束縛状態による摂動項を無視するという追加の近似が導入されています。比較すると、奇数k状態からの摂動項は対称性によりゼロになります。

同様の計算を、電子の有効質量を正孔の有効質量に置き換えることで正孔にも適用できます。全有効質量を導入すると、QCSE によって誘発される最初の光学遷移のエネルギーシフトは次のように近似できます。 ${\displaystyle m_{e}^{*}}$${\displaystyle m_{h}^{*}}$${\displaystyle m_{tot}^{*}=m_{e}^{*}+m_{h}^{*}}$

${\displaystyle \Delta E\approx -24\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{6}{\frac {e^{2}F^{2}m_{tot}^{*}L^{4}}{\hbar ^{2}}}.}$^[4]

上記の式で説明した閉じ込められたエネルギーレベルの低下は、フランツ・ケルディッシュ効果と呼ばれます。

これまでの近似は非常に粗いものですが、それでもエネルギーシフトは実験的に印加電場からの二乗則依存性を示しており、^[5]予測どおりです。

光遷移の低エネルギー方向への赤方偏移に加えて、DC 電場は、関連する価電子帯と伝導帯の波動関数の重なり積分を減少させるため、吸収係数の大きさの減少も引き起こします。これまでの近似と、Z 方向の電場が適用されていないことを考慮すると、遷移の重なり積分は次のようになります。 ${\displaystyle n_{valence}=n_{conduction}}$

${\displaystyle \langle \phi _{c,n}|\phi _{v,n}\rangle =1}$。

この積分が量子閉じ込めシュタルク効果によってどのように変化するかを計算するために、再び時間に依存しない摂動論を用いる。波動関数の一次補正は

${\displaystyle \phi _{n}^{'}=\sum _{k\neq n}{\frac {\langle \phi _{n}|H'|\phi _{k}\rangle }{E_{n}-E_{k}}}|\phi _{k}\rangle }$。

再びエネルギーレベルに注目し、レベルからの摂動のみを考えます（摂動は対称性によるもの であることに注意してください）。${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle =0}$

${\displaystyle \phi _{c,1}=\phi _{c,1}^{0}+\phi _{c,1}^{'}={\frac {1}{A}}\left(\cos \left({\frac {\pi z}{L}}\right)-\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{4}{\frac {2m_{e}^{*}eFL^{3}}{\hbar ^{2}}}\sin \left({\frac {\pi z}{L}}\right)\right)}$

${\displaystyle \phi _{v,1}=\phi _{v,1}^{0}+\phi _{v,1}^{'}={\frac {1}{A}}\left(\cos \left({\frac {\pi z}{L}}\right)+\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{4}{\frac {2m_{h}^{*}eFL^{3}}{\hbar ^{2}}}\sin \left({\frac {\pi z}{L}}\right)\right)}$

はそれぞれ伝導帯と価電子帯で、正規化定数として導入されている。印加電場に対して、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\hat {z}}\neq 0}$

${\displaystyle \langle \phi _{c,1}|\phi _{v,1}\rangle <1}$。

したがって、遷移確率は上記の重なり合う積分に依存するという フェルミの黄金律によれば、光遷移の強度は弱まります。

2次摂動論による量子閉じ込めシュタルク効果の記述は極めて単純で直感的です。しかし、QCSEを正しく描写するには励起子の役割を考慮する必要があります。励起子は電子正孔対の束縛状態からなる準粒子であり、バルク材料におけるその結合エネルギーは水素原子 の結合エネルギーとしてモデル化できます。

${\displaystyle E_{X,n}={\frac {\mu }{m_{e}\varepsilon _{r}^{2}}}{\frac {R_{H}}{n^{2}}}}$

ここで、 はリュードベリ定数、は電子正孔対の換算質量、は相対誘電率です。励起子結合エネルギーは、光子吸収過程のエネルギーバランスに含める必要があります。 ${\displaystyle R_{H}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \varepsilon _{r}}$

${\displaystyle h\nu >E_{g}-E_{X}}$。

したがって、励起子生成は光学バンドギャップを低エネルギー側に赤方偏移させる。バルク半導体に電界をかけると、フランツ・ケルディッシュ効果により吸収スペクトルがさらに赤方偏移することが観察される。励起子を構成する電子と正孔は、反対の電荷を持つため、外部電界の影響下で引き離される。電界が十分に強い場合、

${\displaystyle -e{\vec {F}}\cdot {\vec {r_{X}}}>|E_{X}|}$

すると、励起子はバルク材料中に存在しなくなります。これにより、印加電場によって誘発される赤方偏移が励起子生成の欠如による高エネルギー方向へのシフトによって打ち消されるため、変調目的におけるフランツ・ケルディッシュの適用性がいくらか制限されます。

この問題はQCSEでは発生しません。なぜなら、電子と正孔は量子井戸に閉じ込められているからです。量子井戸の深さが励起子ボーア半径に匹敵する限り、印加電場の大きさに関わらず強い励起子効果が現れます。さらに、量子井戸は2次元系として動作し、バルク材料に対して励起子効果を強く増強します。実際、2次元系における クーロンポテンシャルのシュレーディンガー方程式を解くと、励起子結合エネルギーは次のようになります。

${\displaystyle E_{X,n}={\frac {\mu }{m_{e}\varepsilon _{r}^{2}}}{\frac {R_{H}}{n^{2}-1/2}}}$

これは3次元の場合の解の4倍である。^[6]${\displaystyle 1s}$

量子閉じ込めシュタルク効果の最も有望な応用は、近赤外スペクトル範囲で光変調を実行できることであり、これはシリコンフォトニクスと光相互接続のダウンスケーリングにとって非常に興味深い。^{[2] [7]} QCSEベースの電界吸収型変調器は、真性領域に複数の量子井戸が含まれ、キャリア信号の導波路として機能するPIN構造で構成される。PINダイオードに外部逆バイアスを印加することで、量子井戸に対して垂直に電界を誘導し、QCSEを引き起こすことができる。このメカニズムは、バイアスされていないシステムのバンドギャップ未満で、QCSEによって誘導された赤方偏移の範囲内で波長を変調するために使用できる。

最初にGaAs / Al _x Ga _1-x As量子井戸で実証されましたが、 ^{[1] QCSEは}Ge / SiGeでの実証後に注目を集め始めました。^[8] III/V半導体とは異なり、Ge / SiGe量子井戸スタックは、2つの間に何らかのバッファ層が存在することを条件に、シリコン基板の上にエピタキシャル成長させることができます。これは、Ge / SiGe QCSEをCMOSテクノロジー^[9]およびシリコンフォトニクスシステム と統合できるようにするという決定的な利点です。

ゲルマニウムは間接ギャップ半導体であり、バンドギャップは 0.66 eVです。しかし、伝導帯の相対的極小値も で持ち、直接バンドギャップは 0.8 eV で、これは 1550 nmの波長に相当します。したがって、Ge/SiGe 量子井戸の QCSE は 1.55 の光を変調するために使用できます。^[9] 1.55 は光ファイバーの透過窓であり、通信で最も広く使用されている波長であるため、これはシリコンフォトニクスアプリケーションにとって重要です。量子井戸の深さ、二軸歪み、井戸内のシリコン含有量などの材料パラメータを微調整することにより、Ge/SiGe 量子井戸システムの光学バンドギャップを 1310 nm で変調するように調整することもできます。^{[9] [10]}これも光ファイバーの透過窓に相当します。 Ge/SiGe量子井戸を用いたQCSEによる電気光学変調は、1ビットあたりのエネルギーが108 fJと低く、23GHzまで実証されている。^[11] SiGe導波路上の導波路構成に統合されている^[12]${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mu m}$${\displaystyle \mu m}$

• フランツ・ケルディッシュ効果

• マーク・フォックス、「固体の光学特性」、オックスフォード、ニューヨーク、2001年。
• Hartmut Haug、「半導体の光学的および電子的特性の量子理論」、World Scientific、2004 年。
• https://web.archive.org/web/20100728030241/http://www.rle.mit.edu/sclaser/6.973%20lecture%20notes/Lecture%2013c.pdf
• Shun Lien Chuang、「フォトニクスデバイスの物理学」、Wiley、2009年。