数値解析

バビロニア粘土板YBC 7289 (紀元前1800-1600年頃) 注釈付き。2の平方根の近似値は60進法で4桁、つまり10進法で約6桁である。1 + 24/60 + 51/60 ² + 10/60 ³ = 1.41421296... ^[1]

数値解析は、数学的解析（離散数学と区別）の問題に対して数値近似（記号操作とは対照的）を使用するアルゴリズムの研究である。これは、問題の正確な解決ではなく近似解を見つけようとする数値手法の研究である。数値解析は、工学と物理科学のすべての分野に応用されており、21世紀では経済学、医学、ビジネス、さらには芸術などの生命科学と社会科学にも応用されている。最近の計算能力の向上により、より複雑な数値解析を使用できるようになり、科学と工学において詳細で現実的な数学モデルが提供されるようになった。数値解析の例には、天体力学（惑星、恒星、銀河の動きを予測する）に見られる常微分方程式、データ分析における数値線型代数、 ^[2]^[3]^[4]、医学と生物学で生体細胞をシミュレートするための確率微分方程式とマルコフ連鎖がある。

現代のコンピュータが登場する以前は、数値計算法は大きな印刷された表のデータを使った手作業による補間式に頼ることが多かった。20世紀半ば以降、必要な関数はコンピュータで計算されるようになったが、ソフトウェアアルゴリズムでは同じ式の多くが引き続き使用されている。^[5]

数値的観点は、最も古い数学の文献にまで遡ります。イェール大学バビロニアコレクション( YBC 7289 ) の粘土板には、単位正方形の対角線の長さである2 の平方根の数値近似値が60 進数で示されています。

数値解析はこの長い伝統を引き継いでいます。つまり、実際の測定にのみ適用可能な数字に変換された正確な記号的な答えを与えるのではなく、指定された誤差範囲内の近似解が使用されます。

アプリケーション

数値解析の分野における全体的な目標は、記号的に解くことが不可能なさまざまな困難な問題に対して、近似的でありながら正確な解を与える技術の設計と分析です。

数値天気予報を実現するには、高度な数値手法が不可欠です。
宇宙船の軌道を計算するには、常微分方程式の正確な数値解が必要です。
自動車会社は、自動車衝突のコンピューターシミュレーションを使用することで、自社の自動車の衝突安全性を向上させることができます。このようなシミュレーションは、基本的に偏微分方程式を数値的に解くことから成ります。
金融分野では、（民間投資ファンド）やその他の金融機関が数値分析による定量的な金融ツールを用いて、株式やデリバティブの価値を他の市場参加者よりも正確に計算しようと試みている。^[6]
航空会社は、航空券の価格、航空機と乗務員の割り当て、燃料の必要量を決定するために、高度な最適化アルゴリズムを使用しています。歴史的に、このようなアルゴリズムは、オペレーションズ・リサーチの重複する分野で開発されてきました。
保険会社は保険数理分析に数値プログラムを使用します。

歴史

数値解析の分野は、現代のコンピュータの発明より何世紀も前に遡る。線形補間は2000年以上前にすでに使用されていた。過去の多くの偉大な数学者が数値解析に熱中していたことは、^[5]ニュートン法、ラグランジュ補間多項式、ガウスの消去法、オイラー法などの重要なアルゴリズムの名前からも明らかである。現代の数値解析の起源は、1947年のジョン・フォン・ノイマンとハーマン・ゴールドスタインの論文と結び付けられることが多いが、^[7]^[8]現代の数値解析は1912年のET・ウィテカーの研究に遡ると考える人もいる。^[7]

手計算を容易にするために、補間点や関数係数などの数式や表を収録した大きな本が出版された。これらの表は、関数によっては小数点以下16桁以上まで計算されることも多く、これを使用して、与えられた数式に代入する値を調べ、一部の関数について非常に正確な数値推定値を得ることができた。この分野の標準的な研究は、アブラモウィッツとステグンが編集したNIST出版物で、1000ページを超える本で、非常に多くのよく使用される数式と関数、および多くの点でのそれらの値が記載されている。コンピュータが利用できる場合、関数の値はもはやあまり役に立たないが、数式の大きなリストは依然として非常に便利である。

機械式計算機も手計算用のツールとして開発されました。これらの計算機は1940年代に電子計算機へと進化し、その後、これらの計算機は管理目的にも役立つことがわかりました。しかし、コンピュータの発明は数値解析の分野にも影響を与えました。^[5]より長く複雑な計算が可能になったからです。

数値解析に関するレスリー・フォックス賞は、 1985年に数学応用研究所によって創設されました。

重要な概念

直接法と反復法

直接法は、有限数のステップで問題の解を計算します。これらの方法は、無限精度の演算で実行された場合、正確な答えを出します。例としては、ガウス消去法、連立一次方程式を解くためのQR 分解法、線形計画法のシンプレックス法などがあります。実際には、有限精度が使用され、結果は真の解の近似値になります (安定性を前提としています)。

直接法とは対照的に、反復法は、たとえ無限精度が可能であったとしても、有限数のステップで終了することは期待されていません。反復法は、最初の推定から始めて、極限でのみ正確な解に収束する逐次近似を形成します。十分に正確な解が（うまくいけば）見つかったかどうかを判断するために、多くの場合残差を含む収束テストが指定されます。無限精度の演算を使用しても、これらの方法は（一般に）有限数のステップ内で解に到達しません。例として、ニュートン法、二分法、ヤコビ反復法などがあります。計算行列代数では、反復法は一般に大規模な問題に必要です。^[9]^[10]^[11]^[12]

数値解析では、反復法は直接法よりも一般的です。一部の方法は原理的には直接的ですが、通常は直接法ではないかのように使用されます。たとえば、GMRES 法や共役勾配法などです。これらの方法では、正確な解を得るために必要なステップ数が非常に多いため、反復法の場合と同様に近似値が受け入れられます。

例として、次の問題を解くことを考えてみましょう。

3 × ³＋4＝28

未知の量xについて。

反復法では、二分法をf ( x )= 3x3−24に適用します。初期値はa =0、b =3、f ( a )=−24、^f( b ) =57です。

この表から、解は 1.875 から 2.0625 の間であると結論付けることができます。アルゴリズムは、その範囲内の任意の数値を 0.2 未満の誤差で返す可能性があります。

コンディショニング

悪条件問題: 関数 $f (x) = 1/(x - 1)$ を取ります。f (1.1) = 10 およびf (1.001) = 1000 であることに注意してください。つまり、xの0.1 未満の変化は、f ( x ) の約 1000 の変化になります。 x = 1 付近でf ( x )を評価することは、悪条件問題です。

条件が整った問題: 対照的に、同じ関数 $f (x) = 1/(x - 1)を$ x = 10 の近くで評価することは条件が整った問題です。たとえば、f (10) = 1/9 ≈ 0.111 およびf (11) = 0.1 の場合、xがわずかに変化すると、 f ( x )もわずかに変化します。

離散化

さらに、連続的な問題は、解が連続的な問題の解に近似することが分かっている離散的な問題に置き換える必要がある場合があります。このプロセスは「離散化」と呼ばれます。たとえば、微分方程式の解は関数です。この関数は、その領域が連続体であっても、その領域内の有限個の点における値など、有限量のデータによって表される必要があります。

エラーの生成と伝播

誤差の研究は数値解析の重要な部分を占めます。問題の解決に誤差が生じる原因はいくつかあります。

切り上げ

丸め誤差は、有限のメモリを持つマシン（すべての実用的なデジタルコンピューターがこれに該当します）上ですべての実数を正確に表現することが不可能であるために発生します。

切り捨てと離散化エラー

打ち切り誤差は、反復法が終了したとき、または数学的手順が近似され、近似解が正確な解と異なるときに発生します。同様に、離散化は離散問題の解が連続問題の解と一致しないため、離散化誤差を引き起こします。の解を計算する上記の例では、10 回の反復後に計算された根はおよそ 1.99 です。したがって、打ち切り誤差はおよそ 0.01 です。 $3x^{3}+4=28$

一度エラーが発生すると、そのエラーは計算全体に波及します。たとえば、コンピューター上の演算 + は不正確です。⁠ ⁠型 $a+b+c+d+e$ の計算はさらに不正確です。

数学的手順を近似すると、切り捨て誤差が発生します。関数を正確に積分するには、無限の領域の合計を見つける必要がありますが、数値的には有限の領域の合計しか見つけることができず、したがって正確な解の近似値しか見つけることができません。同様に、関数を微分するには、微分要素がゼロに近づきますが、数値的には微分要素のゼロ以外の値しか選択できません。

数値安定性と適切問題

アルゴリズムが数値的に安定であるとは、原因が何であれ、計算中に誤差がそれほど大きくならないことを意味します。^[13]これは、問題が適切に条件付けられている場合、つまり、問題データが少し変更されても、解がわずかにしか変化しない場合に発生します。^[13]逆に、問題が「悪条件」である場合、データの小さな誤差は大きな誤差になってしまいます。^[13] 元の問題とその問題を解くために使用されるアルゴリズムは、どちらも適切に条件付けられている場合も悪条件である場合もあり、どのような組み合わせも可能です。したがって、適切に条件付けられた問題を解くアルゴリズムは、数値的に安定している場合も数値的に不安定な場合もあります。数値解析の技術は、適切に設定された数学の問題を解くための安定したアルゴリズムを見つけることです。

研究分野

数値解析の分野には多くのサブ分野が含まれます。主なものは次のとおりです。

関数の値を計算する

最も単純な問題の 1 つは、特定の点における関数の評価です。数式に数値を代入するだけの最も単純なアプローチは、あまり効率的でない場合があります。多項式の場合、必要な乗算と加算の回数を減らすことができるため、ホーナー方式を使用する方が適しています。一般に、浮動小数点演算の使用によって生じる丸め誤差を推定して制御することが重要です。

内挿、外挿、回帰

補間は、いくつかの点における未知の関数の値が与えられた場合、その関数は、指定された点間の他の点でどのような値を持つかという問題を解決します。

外挿は内挿と非常によく似ていますが、与えられた点の外側にある点における未知の関数の値を見つけなければならない点が異なります。^[14]

回帰も同様ですが、データが不正確であることを考慮に入れます。いくつかの点と、これらの点における何らかの関数の値の測定値（誤差を含む）が与えられると、未知の関数を見つけることができます。最小二乗法は、これを実現する方法の 1 つです。

方程式と連立方程式を解く

もう 1 つの基本的な問題は、与えられた方程式の解を計算することです。方程式が線形であるかどうかによって、2 つのケースが区別されます。たとえば、方程式は線形ですが、は線形ではありません。 $2x+5=3$ $2x^{2}+5=3$

線形方程式系を解く方法の開発には多大な努力が払われてきた。標準的な直接法、すなわち何らかの行列分解を使用する方法としては、ガウス消去法、LU分解、対称（またはエルミート）行列および正定値行列に対するコレスキー分解、非正方行列に対するQR分解などがある。大規模なシステムでは、通常、ヤコビ法、ガウス・ザイデル法、逐次過剰緩和法、共役勾配法^[15]などの反復法が好まれる。一般的な反復法は、行列分割を使用して開発することができる。

根を求めるアルゴリズムは非線形方程式を解くのに使われます（関数の根は関数がゼロになる引数なのでこのように呼ばれます）。関数が微分可能で導関数が分かっている場合は、ニュートン法がよく使われます。^[16]^[17] 線形化は非線形方程式を解くもう一つの手法です。

固有値問題または特異値問題を解く

いくつかの重要な問題は、固有値分解または特異値分解という観点から表現することができます。たとえば、スペクトル画像圧縮アルゴリズム^{[18]は特異値分解に基づいています。統計学における対応するツールは}主成分分析と呼ばれます。

最適化

最適化問題では、与えられた関数が最大化（または最小化）される点を求めます。多くの場合、その点はいくつかの制約も満たす必要があります。

最適化の分野は、目的関数と制約の形式に応じて、さらにいくつかのサブフィールドに分割されます。たとえば、線形計画法は、目的関数と制約の両方が線形である場合を扱います。線形計画法の有名な方法は、単体法です。

ラグランジュ乗数法は、制約付きの最適化問題を制約なしの最適化問題に簡略化するために使用できます。

積分の評価

数値積分は、場合によっては数値求積法とも呼ばれ、定積分の値を求めます。^[19]一般的な方法では、ニュートン・コーツの公式（中点法やシンプソンの法則など）またはガウス求積法を使用します。^[20]これらの方法は、「分割統治」戦略に依存しており、比較的大きな集合の積分をより小さな集合の積分に分割します。高次元では、これらの方法は計算量の点で法外に高価になるため、モンテカルロ法または準モンテカルロ法（モンテカルロ積分^[21]を参照）を使用するか、適度に大きな次元ではスパースグリッド法を使用します。

微分方程式

数値解析は、常微分方程式と偏微分方程式の両方の微分方程式の解を（近似的に）計算することにも関係しています。^[22]

偏微分方程式は、まず方程式を離散化し、有限次元の部分空間に持ち込むことによって解かれます。^[23]これは、有限要素法、^[24]^[25]^[26]有限差分法、^[27]または（特に工学では）有限体積法によって行うことができます。^[28]これらの方法の理論的正当性は、関数解析の定理にしばしば依存します。これにより、問題は代数方程式の解に還元されます。

ソフトウェア

20 世紀後半以降、ほとんどのアルゴリズムはさまざまなプログラミング言語で実装されています。Netlibリポジトリには、主にFortranとCで書かれた数値問題用のさまざまなソフトウェアルーチンのコレクションが含まれています。さまざまな数値アルゴリズムを実装した商用製品には、IMSLライブラリとNAGライブラリがあります。フリーソフトウェアの代替品としては、 GNU Scientific Libraryがあります。

長年にわたり、英国王立統計協会は、その「応用統計学」誌で多数のアルゴリズムを公開してきました(これらの「AS」関数のコードはこちら)。ACMも同様に、「数学ソフトウェアの取引」誌で公開してきました(「TOMS」コードはこちら)。海軍水上戦闘センターは、数学サブルーチンのライブラリを数回公開してきました (コードはこちら)。

数値計算アプリケーションとしては、MATLAB、^[29]^[30]^[31] TK Solver、S-PLUS、IDL ^[32]などが人気があり、また、FreeMat、Scilab、^[33]^[34] GNU Octave（Matlabに類似）、IT++ （C++ライブラリ）などの無料オープンソースの代替品もあります。また、 R ^[35]（S-PLUSに類似）、Julia、^[36]などのプログラミング言語や、NumPy、SciPy ^[37]^[38]^[39]、SymPyなどのライブラリを備えたPythonもあります。パフォーマンスは大きく異なります。ベクトル演算や行列演算は通常高速ですが、スカラーループでは速度が1桁以上変わることがあります。^[40]^[41]

Mathematicaなどの多くのコンピュータ代数システムも、より正確な結果を提供できる任意精度演算の恩恵を受けています。 ^[42]^[43]^[44]^[45]

また、任意のスプレッドシートソフトウェアを使用して、数値解析に関連する簡単な問題を解決できます。たとえば、 Excel には、行列を含む何百もの関数が用意されており、組み込みの「ソルバー」と組み合わせて使用できます。

参照

注記

参考文献

引用

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外部リンク

ジャーナル

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数値解析ジャーナル(SINUM)、第 1 巻～...、SIAM、1964 年～

オンラインテキスト

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Numerical Recipes、William H. Press（無料、過去の版をダウンロード可能）
数値解析の第一歩 (アーカイブ)、RJHosking、S.Joe、DCJoyce、JCTurner
CSEP (計算科学教育プロジェクト)、米国エネルギー省( 2017-08-01 アーカイブ)
数値計算法、第 3 章、数学関数のデジタルライブラリ
数値補間、微分および積分、数学関数ハンドブック（アブラモウィッツとステグン）の第 25 章

オンラインコース教材

数値的手法（2009年7月28日アーカイブ、Wayback Machine）、スチュアート・ダルジール、ケンブリッジ大学
数値解析に関する講義、デニス・デタークとハーバート・S・ウィルフペンシルバニア大学
数値解析法、ジョン・D・フェントンカールスルーエ大学
物理学者のための数値解析法、アンソニー・オヘアオックスフォード大学
数値解析の講義（アーカイブ）、R. ラドックマヒドン大学
工学のための数値解析入門、ヘンリック・シュミット、マサチューセッツ工科大学
工学のための数値解析、DWハーダーウォータールー大学
数値解析入門、ドロン・レヴィ・メリーランド大学
数値解析 - 数値手法（アーカイブ）、ジョン・H・マシューズカリフォルニア州立大学フラートン校

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